Klaasen gewann neun Doppeltitel auf der Challenger Tour. In den Jahren 2011 und 2012 gewann er drei davon mit seinem Partner John Paul Fruttero, mit der er außerdem in diesem Zeitraum in fünf weiteren Finals stand. Im Jahr 2013 gewann er mit Partner Johan Brunström seine ersten beiden Doppeltitel auf der ATP World Tour, dem er drei weitere Titel mit seinem neuen Partner Eric Butorac folgen ließ. Mit diesem überraschte er bei den Australian Open 2014, als die beiden auf dem Weg ins Finale unter anderem die an Position eins gesetzten Favoriten Bob und Mike Bryan besiegten. Im Endspiel unterlagen sie Robert Lindstedt und Łukasz Kubot mit 3:6 und 3:6.
Klaasen war von 2009 bis 2023 Mitglied des südafrikanischen Davis-Cup-Teams. In 23 Begegnungen gewann er 13 seiner 20 Doppelpartien, außerdem bestritt er vier Einzel, von denen er drei gewann.