Tensorprodukt

Das Tensorprodukt ist ein universelles Objekt der multilinearen Algebra und somit ein vielseitiger Begriff der Mathematik: In der linearen Algebra und in der Differentialgeometrie dient es zur Beschreibung multilinearer Abbildungen, in der kommutativen Algebra und in der algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts

(für einen Vektorraum mit Dualraum , oft ) als Tensoren, kontravariant der Stufe und kovariant der Stufe . Kurz spricht man von Tensoren vom Typ . So lassen sich lineare Abbildungen als Tensoren aus oder aber als Tensoren auf dem Dualraum interpretieren. Wie sich diese zunächst verwirrende Vielfalt widersprüchlich erscheinender Auffassungen dem allgemeinen Verständnis von Tensoren unterordnet, erklären die Abschnitte über Homomorphismen als Tensoren und Tensoren vom Typ (r,s). (Vgl. auch Artikel Tensor).

Dieser Artikel legt den Schwerpunkt auf die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorproduktes, ohne jedoch die Koordinatendarstellung ganz zu übergehen: Siehe hier und dort. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor.

Der Begriff wird zunächst am einfachsten Beispiel des Tensorprodukts auf Vektorräumen erläutert, bevor skizziert wird, wie er auf Moduln verallgemeinert wird. Darauf folgt der Fall des Tensorprodukts von Algebren sowie des Tensorprodukts von Darstellungen (etwa solcher endlicher Gruppen).

Tensorprodukt von VektorräumenBearbeiten

EinleitungBearbeiten

Das Tensorprodukt ist ein universelles Objekt der multilinearen Algebra. Als solches ist es nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Was auf den ersten Blick enttäuschend klingen mag, bedeutet in Wahrheit jedoch die äußerst flexible Anwendbarkeit dieses Begriffs. Im Mittelpunkt stehen – als Erweiterung des Begriffs der linearen Abbildungen – die multilinearen Abbildungen. Dies sind Abbildungen in linearen Variablen (Vektoren), die in jeder einzelnen für sich genommen, während die anderen unverändert bleiben, linear sind. Dass Messgrößen in dieser Weise voneinander abhängen, beobachtet die Physik häufig. Im Falle von spricht man von (uni)linearen, bei von bilinearen, für von trilinearen, im allgemeinen Falle von -fach multilinearen Abbildungen.

In Parenthese: Man mag die Situation mit der elementaren Situation für einen Körper vergleichen, der ja über sich selbst einen Vektorraum bildet und dessen Elemente also als Vektoren aufgefasst werden können: Eine unilineare, d. h., lineare () Abbildung ist eine Multiplikation mit einem Körperelement („Skalar“) , d. h.: . Bilineare Abbildungen sind Produkte zweier linearer Abbildungen: und haben daher quadratische Ordnung. Trilineare Abbildungen haben entsprechend kubische Ordnung, und allgemein sind -fach multilineare Abbildungen das Produkt von linearen Abbildungen. Das Tensorprodukt von Vektorräumen verallgemeinert diese Bildung: Allerdings müssen zu diesem Zweck – im Gegensatz zu der eben beschriebenen elementaren Situation – sowohl eine (-fach multilineare) „Multiplikation für Vektoren“ (zumal aus unterschiedlichen -Vektorräumen), nämlich das Tensorprodukt, als auch der Tensorproduktraum, in welchem diese Produkte liegen, erst geschaffen werden. Dabei werden der Tensorproduktraum und das Tensorprodukt als ein universelles Objekt definiert, so dass jede multilineare Abbildung mit ihnen linear parametrisiert werden kann.

Beispiele für multilineare Abbildungen auf ein und demselben Vektorraum der Dimension sind (insbesondere aus dem Anschauungsraum ) bekannt:

  • Das (innere) Skalarprodukt: Dies ist ein Produkt zweier Vektoren () aus dem Vektorraum mit Werten im Grundkörper . Es misst die Länge der (gerichteten) Projektion des einen Vektors auf den anderen skaliert mit dessen Länge.
  • Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt oder äußere Produkt: Dies ist ein Produkt von Vektoren aus dem Vektorraum und liefert einen Vektor, dessen Länge im -Dimensionalen das vorzeichenbehaftete (da orientierte) Volumen des Hyperquaders misst, der von Vektoren aufgespannt wird, und der senkrecht (orthogonal) auf dem Hyperquader steht.
  • Die Determinante misst (als Volumenform) im -Dimensionalen das Volumen des von Vektoren aufgespannten Quaders als Skalargröße. Für sie ist also . Sie lässt sich auch als Skalarprodukt von einem ihrer Vektoren mit dem Vektorprodukt der übrigen Vektoren errechnen. (Dem entspricht die Entwicklungsformel nach einer Spalte oder Zeile.) Sie lässt sich durch das Spatprodukt (verallgemeinert ins -Dimensionale) vom Kreuzprodukt ableiten.

Die Duale Paarung hingegen ist eine bilineare Abbildung auf einem Vektorraum und seinem Dualraum mit Werten im Grundkörper, also eine Bilinearform: Sie besteht in der bloßen Auswertung eines Kovektors (einer Linearform) auf einem Vektor und ermöglicht es, einen Vektorraum als einen Unterraum seines Bidualraumes aufzufassen, bei endlicher Dimension sogar mit ihm kanonisch zu identifizieren.

All diese „Produkte“ verdienen diesen Namen, weil sie bilinear bzw. multilinear sind, und stellen daher – trotz ihrer Verschiedenheit – Beispiele für Tensoren dar. Tensoren sind multilineare Abbildungen, und das Tensorprodukt lässt sich als ein universeller Tensor verstehen: Alle denkbaren multilinearen Abbildungen (Produkte von Vektoren aus vorgegebenen Vektorräumen) lassen sich mit Hilfe des Tensor(produkt)raumes einheitlich beschreiben. Der Fall ist aus der (uni)linearen Algebra bekannt: Der Koordinatenraum ist ein Modell für jeden -dimensionalen -Vektorraum. So könnte dieser unilineare Fall auch als Induktionsanfang für eine induktive Definition benutzt werden, doch ist die Definition für den allgemeinen Fall auch unmittelbar möglich.

Lineare Abbildungen können in Koordinatenräumen dargestellt werden. Insbesondere können sie durch Linearformen (also durch lineare Abbildungen in den Grundkörper) dargestellt werden, wie kurz erläutert werden soll: Es seien dazu und Vektorräume über dem Grundkörper mit den Basen bzw. . Jede Abbildung einer Menge (!) in den Vektorraum zerfällt in naheliegender Weise in die Summe von Komponentenabbildungen definiert durch , wobei die kanonischen Projektionen bezeichne. In dieser Weise lassen sich alle vektorwertigen Funktionen zerlegen, insbesondere lineare Abbildungen in die Summe der zugehörigen Linearformen .

Aus der (uni)linearen Algebra ist bekannt, dass derartige Linearformen als Kovektoren bezeichnet werden und dual zu den Ursprungsvektoren beschrieben werden: Werden die Vektoren als Spaltenvektoren dargestellt (bezogen auf die gewählte Basis), so können die Kovektoren als Zeilenvektoren dargestellt werden und sind als Elemente des Dualraumes zu verstehen: Als solche sind sie eindeutig als eine Linearkombination der zu dualen Basis darstellbar. Bei endlicher Dimension besteht eine – freilich basisabhängige – Isomorphie zwischen Dualraum und Ursprungsraum, während die Isomorphie zwischen Bidualraum und Ursprungsraum kanonisch ist. („Der Ursprungsraum ist der Dualraum seines Dualraums.“)

Zusammengefasst: Jede lineare Abbildung lässt sich als Linearkombination von Linearformen (Kovektoren) darstellen. Die elementaren Bausteine linearer Abbildungen sind also Kovektoren , und diese sind mit dem Dualraum gut bekannt. Die Koordinatenabbildung liefert eine konkrete Darstellung als Spalten- bzw. Zeilenvektoren, mit deren Hilfe jede lineare Abbildung mit einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung als Kompositum dargestellt werden kann.

Das -fache Tensorprodukt klärt dieselbe Fragestellung für -fach multilineare Abbildungen und wird ebenfalls liefern: Jede derartige multilineare Abbildung ist mit Hilfe einer eindeutig bestimmten linearen Abbildung darstellbar als . Um alle multilinearen Abbildungen („Tensoren)“ zu kennen, genügt es also, das Tensorprodukt zu kennen, denn es ist universell: Jede multilineare Abbildung ist ein (sogar eindeutig bestimmtes) lineares Abbild des Tensorprodukts. So erscheint das Tensorprodukt als eine multilineare Koordinatenabbildung, mit der jeder Tensor auf eindeutige Weise linear parametrisiert werden kann. Man darf sie sich als eine multilineare Koordinatenabbildung vorstellen, die minimal mit der Eigenschaft ist, dass jede multilineare Abbildung ihr lineares Abbild ist. Die Minimalität sichert die Eindeutigkeit des linearen Abbildes. Als Koordinatenraum für die Koordinatendarstellung von Tensoren wird sich der Raum der -dimensionalen (Super-)Matrizen empfehlen.

Da – zumal im endlichdimensionalen Falle – etliche Identifikationen rund um Vektorräume, ihre Dualräume und die Räume linearer Abbildungen möglich sind, gibt es für den Tensorproduktraum viele isomorphe Deutungen. Daher lassen sich in der Literatur viele Zugänge und unterschiedliche Betrachtungsweisen finden. Das Wesen des Tensorprodukts liegt jedoch in der Betrachtung multilinearer Abbildungen , also Abbildungen, die in jeder einzelnen Komponente () bei festgehaltenen übrigen Komponenten -linear sind. Der Raum dieser Abbildungen ist in naheliegender Weise ein Vektorraum über und wird mit bezeichnet. Es ist .

Wie erwähnt, beobachtet die Physik häufig, dass eine Messgröße, sei sie skalar- oder vektorwertig, von mehreren anderen abhängt und zwar von jeder einzelnen in linearer Weise. Wie sich die Abhängigkeit insgesamt beschreiben lässt, gibt der zugehörige Tensor an. Typischerweise entstammen die Observablen demselben Vektorraum oder aber seinem Dualraum . Dies führt zum in der Physik üblichen Begriff der (gemischten) Tensoren vom Typ , der -fach kontravarianten und und -fach kovarianten Tensoren (der Stufe ). Tatsächlich entstand der Begriff des Tensors zuerst in der Physik der Spannungstensoren, wie im Artikel zum Tensor nachzulesen ist (siehe auch Kontinuumsmechanik, Trägheitstensor und Verzerrungstensor).

Unter den Tensoren gibt es solche mit weiteren speziellen Eigenschaften wie symmetrische Tensoren, alternierende Tensoren (siehe auch alternierende Multilinearformen, alternierende Matrizen bzw. antisymmetrische Tensoren und symmetrische und antisymmetrische Tensoren), insbesondere das Vektorprodukt (siehe auch im Kontext krummliniger Koordinaten), schiefsymmetrische Tensoren etc.

Da Tensorprodukträume ihrerseits Vektorräume sind, lassen sich multilineare Abbildungen auf ihnen und damit ihr Tensorprodukt bilden: Äußeres (siehe auch hier) und inneres Produkt sowie Tensorverjüngung (siehe auch Abschnitte zur Spurbildung und Verjüngung bzw. Kontraktion) sind Beispiele multilinearer Abbildungen von Tensoren. Formelsammlungen befinden sich in der Formelsammlung Tensoralgebra oder im Internet.[Anm 1]

In der Tensoranalysis werden Tensorfelder betrachtet. Sie kommen durch die Tangentialräume und Tensorbündel ins Spiel, hier befindet sich eine Formelsammlung dazu.

Es wird zunächst der Fall der bilinearen Abbildungen () behandelt, bevor der allgemeine Fall der multilinearen Abbildungen in verdichteter Form betrachtet wird.

Für den komplexen Fall ist zu beachten, dass an die Stelle der Bilinearität häufig die Sesquilinearität tritt, etwa im Falle hermitescher Sesquilinearformen wie es positiv definite Skalarprodukte sind: Das heißt, dass die Abbildung nur in einem der beiden Argumente linear ist, im anderen stattdessen antilinear oder semilinear: Dies bedeutet, dass die komplexe Konjugation als Involution ins Spiel kommt – und darin auch bleibt. Somit ist an manchen Stellen die Linearität durch Antilinearität (Semilinearität) zu ersetzen.

Zur Motivation aus quantenmechanischer SichtBearbeiten

In der Quantenmechanik ist der Zustandsraum eines Objekts ein Hilbertraum. Hat man Teilchen mit Zuständen in Hilberträumen und betrachtet nun die Zustände des aus den Teilchen gebildeten Systems , so sind da zunächst die Zustände, die die Information zusammenfassen, die in den Zuständen dieser Teilchen, jedes für sich allein, enthalten ist, und die man Produktzustände nennt. Da die Quantenmechanik verlangt, dass auch jede Überlagerung von Zuständen eines Objekts (hier ) wieder ein möglicher Zustand des Objekts ist, muss das mathematische Modell außer den genannten Produkten auch beliebige Linearkombinationen enthalten, die dann insgesamt den Hilbertraum des Systems bilden. Der neue Vektorraum wird mit bezeichnet und Tensorprodukt genannt.

Definition durch koordinatenbasierte KonstruktionBearbeiten

Es seien und zwei Vektorräume über einem gemeinsamen Skalarkörper . Unter dem Tensorprodukt dieser beiden Vektorräume versteht man ein Paar bestehend aus

  • einem Tensorproduktraum und
  • einer bilinearen Abbildung .

Der Tensorproduktraum wird hier, die bilineare Abbildung wird dort konstruiert.

Zuvor jedoch ein Hinweis: Häufig spricht man abkürzend vom Tensorprodukt oder Tensorraum unter Vernachlässigung der bilinearen Abbildung . Da dies leicht das Verständnis des Tensorprodukt erschwert, soll in diesem Artikel die Rolle der bilinearen Abbildung hervorgehoben werden. Gelegentlich wird aber auch gerade diese Abbildung als das Tensorprodukt angesprochen. Die Elemente des Tensorraumes werden ebenfalls als Tensoren bezeichnet. Doch auch bilineare Abbildungen werden als Tensoren bezeichnet: Unter ihnen befindet sich also auch das Tensorprodukt selbst, und es zeichnet eine Eigenschaft aus, die als „universell“ genannt wird: Es ist ein universeller Tensor. Wie in weiteren Abschnitten deutlich werden wird, gibt es eine Fülle kanonischer Identifikationen rund um die Tensorräume. So können auch lineare, bilineare und multilineare Abbildungen als Tensoren begriffen werden, zumal wenn die (nicht notwendig kanonische) Identifikation eines endlichdimensionalen Vektorraums mit seinem Dualraum stillschweigend vorgenommen wird – auch dieses Vorgehen verschleiert das Konzept des Tensorprodukts. Grundlage bildet jedoch die nun folgende Definition der beiden Bestandteile und .

Definition des bilinearen Tensorproduktraums durch KonstruktionBearbeiten

Der Tensorproduktraum ist ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist eine Basis von und eine Basis von , dann ist ein Vektorraum, genannt Tensorproduktraum, in dem es eine Basis gibt, die auf umkehrbar eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts

der Basen der Ausgangsräume identifiziert werden kann.

NB: Diese Formulierung zeigt, dass der Tensorproduktraum nicht eindeutig festgelegt ist: Es kann durchaus verschiedene Realisierungen geben. Ihnen allen gemeinsam ist aber, dass sie (durch eine Bijektion der Basen aufeinander, wie beschrieben, und lineare Fortsetzung) sämtlich miteinander identifiziert werden können, d. h. isomorph sind. Tensorprodukt(räume) sind also nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Die Dimension von ist demzufolge gleich dem Produkt der Dimensionen von und . Das Element dieser Basis, das dem geordneten Paar entspricht, wird als notiert. Das Symbol hat dabei bis hierher keine tiefere Bedeutung. Es erhält erst durch die Definition der bilinearen Abbildung seine Bedeutung.

Da der Tensorproduktraum ein Vektorraum ist, hat also ein beliebiges Element des Tensorprodukts die Gestalt

wobei die Summe endlich ist oder – was auf dasselbe hinausläuft – fast alle Koeffizienten verschwinden (gleich Null sein) müssen. Die Redensweise „fast alle“ bedeutet hierbei gemäß üblichem Sprachgebrauch „alle, bis auf endlich viele“. Das ließe sich auch mit dem Begriff der eingeschränkten Summe notieren: , vergleiche hierzu etwa den Artikel zum eingeschränkten direkten Produkt. Ein Tensor des Tensor(produkt)raumes wird daher häufig mit der Matrix identifiziert, ähnlich wie Vektoren mit den sie darstellenden Koordinatenvektoren.

Mit anderen Worten: Der Tensorraum wird von den linear unabhängigen Elementen , die zunächst nur als Symbole begriffen werden, über dem Grundkörper frei erzeugt (vgl. die Artikel Direkte Summe und (allgemeiner) Produkt und Koprodukt):

.

Definition der bilinearen Abbildung durch explizite Festlegung auf ErzeugendenBearbeiten

Man kann nun mit Hilfe dieser Basis ein Produkt von Vektoren aus und definieren, das mit demselben Verknüpfungssymbol notiert wird. Natürlicherweise ist das Produkt zweier Basisvektoren und gerade der Basisvektor, der mit bezeichnet wurde. Das Produkt beliebiger Vektoren wird nun durch bilineare Fortsetzung festgelegt:

Zwei Vektoren
und (wie oben auch hier: endliche Summen, da ein Grenzwertbegriff oder Konvergenzbegriff mangels topologischer Struktur nicht zur Verfügung steht)
wird das Produkt
zugeordnet. Diese Summe ist ebenfalls endlich, weil fast alle Produkte sind, da dies schon für die Koeffizienten und gilt. Somit ist die bilineare Abbildung definiert (unter Benutzung der obigen Bezeichnungen):

Tensoren, die sich in der Gestalt mit einem geeigneten Paar darstellen lassen, heißen elementare oder einfache Tensoren. Im Allgemeinen sind Tensoren jedoch keine elementaren Tensoren, sondern benötigen eine Summendarstellung (wie oben dargestellt) mit mehr als einem Summanden.

EigenschaftenBearbeiten

Im Folgenden werden einige Eigenschaften zusammengestellt, die für das Tensorprodukt wesentlich sind.

BilinearitätBearbeiten

Für das Tensorprodukt von Vektoren gelten (gemäß der obigen Konstruktion durch die bilineare Fortsetzung) folgende Rechenregeln für alle und sowie :

(1)
(2)
(3)

Mit anderen Worten: Die Abbildung ; ist -bilinear, das heißt in jeder der beiden Komponenten, während die andere unverändert bleibt, linear. (Das soll nicht überraschen, denn sie wurde durch bilineare Fortsetzung gewonnen.)

Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze, was den Namen Tensorprodukt motiviert.

DimensionsformelBearbeiten

Die Dimensionsformel wurde bereits erwähnt: .

Kommutativität nicht gegebenBearbeiten

Ein Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, denn für gehören die Tensoren

und

nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume und identisch sind. Jedoch sind auch in diesem Fall die Tensoren und im Allgemeinen verschieden: Siehe dazu Beispiele im Abschnitt über die Realisierung von Tensoren als Homomorphismen und im Abschnitt zum endlichdimensionalen Fall (Kronecker-Produkt).

Elementare Tensoren als ErzeugendeBearbeiten

Tensoren der einfachen Gestalt heißen elementare oder einfache Tensoren. Keineswegs hat jeder Tensor diese Gestalt: Allgemeine Tensoren sind – gemäß obiger Konstruktion – eine Linearkombination (eine endliche Summe) elementarer Tensoren. Dabei genügt es sogar, sich auf die elementaren Tensoren zu beschränken, die von den Ausgangsbasen und herrühren, wie bereits im Rahmen der Konstruktion erwähnt wurde und auch aus den Rechenregeln ableitbar ist.

Lineare Fortsetzung von Abbildungen auf elementaren TensorenBearbeiten

Die Tatsache, dass der Tensorproduktraum von den elementaren Tensoren über linear erzeugt wird, hat ein wichtiges Prinzip zur Folge, das die Definition linearer Abbildungen betrifft. Es bezeichne einen -Vektorraum und den Raum aller linearer Abbildungen .

Das Prinzip besagt:

Um eine lineare Abbildung wohl zu definieren, genügt es, sie auf elementaren Tensoren festzulegen. Es genügt sogar die Bilder der elementaren Tensoren anzugeben. Die Abbildung , die bis dato erst eine Abbildung ist, kann dann auf den gesamten Tensorraum linear fortgesetzt werden, und zwar auf eindeutige Weise, und ist dadurch wohldefiniert.
Mit anderen Worten: Die Restriktionsabbildung
die eine lineare Abbildung auf die Menge der Erzeugenden einschränkt, ist ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung wird gerade durch die lineare Fortsetzung geliefert.
Dabei mögen die beiden Notationen die Menge aller Abbildungen von einer Menge in eine Gruppe (hier: Vektorraum) bezeichnen, deren Werte an fast allen („“) Stellen verschwindet: .
Anmerkung: Dieses Prinzip ist gerade diejenige universelle Eigenschaft, die gemäß der oben stehenden (oder der unten stehenden allgemeinen) Konstruktion des Tensorproduktraums als des freien abelschen Erzeugnisses einer Menge (für das Tensorprodukt wurde gewählt) über dem Körper mit sich bringt und allgemein so formuliert wird:
Ist eine Menge und eine injektive Abbildung (Inklusion) in die Menge der Vektoren eines Vektorraums , so heißt das frei abelsche (lineare) Erzeugnis von über dem Körper , wenn es zu jeder Abbildung in die Menge von Vektoren eines anderen Vektorraumes mit für nur endlich viele (m.a.W.: zu jeder Abbildung ) eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung mit von Vektorräumen gibt.
Äquivalent ist die Forderung, dass folgende Abbildung (die Restriktion auf die Inklusion) ein Isomorphismus ist:

Universelle EigenschaftBearbeiten

Damit wird deutlich, dass das auf diese Weise mit konstruierte Tensorprodukt

unter allen bilinearen Abbildungen

in einen beliebigen Vektorraum

eine besondere Eigenschaft hat. Es ist nämlich universell in dem Sinne, dass jede bilineare Abbildung lediglich ein lineares Abbild des Tensorprodukts ist, soll heißen:

Ist eine bilineare Abbildung in einen -Vektorraum , so kann aus durch Anhängen einer (sogar eindeutig bestimmten) linearen Abbildung gewonnen werden. Dazu muss sie – wie soeben beschrieben – nur auf den elementaren Tensoren durch definiert werden.

Es genügt also, das Tensorprodukt zu kennen, um alle bilinearen Abbildungen durch (uni)lineare Abbildung zu gewinnen. Somit birgt das Tensorprodukt alle Informationen für bilineare Abbildungen.

Die universelle Eigenschaft ist sogar geeignet, das Tensorprodukt hinreichend zu kennzeichnen: Dies geschieht durch die Universaldefinition, welche koordinatenfrei, basisunabhängig formuliert ist.

Endlichdimensionaler FallBearbeiten

Haben die Vektorräume und endliche Dimension über , sind also und endliche Mengen der Mächtigkeit bzw. , so ist der Tensorproduktraum offenbar mit dem -dimensionalen Raum zu identifizieren. Wie aber sieht diese Identifikation aus? Aus der obigen Definition geht hervor, dass der Tensorproduktraum nur bis auf Isomorphie bestimmt ist. Dies soll an diesem Beispiel illustriert werden, indem verschiedene Möglichkeiten der Identifikation vorgestellt werden. Dadurch soll verdeutlicht werden, dass es nicht genügt, unter dem Tensorprodukt lediglich das Produkt zweier Räume zu verstehen, sondern es muss zusätzlich angegeben werden, wie das Produkt zweier Vektoren definiert sein soll. Zwar ist es üblich, vom Tensorprodukt von Vektorräumen zu sprechen, aber es wäre besser, vom Tensorprodukt auf Vektorräumen zu sprechen, einer „Multiplikation“ von Vektoren, deren Ergebnis in einem neuen Raum liegt, eben dem Tensorproduktraum. Zu diesem Zweck sei der Einfachheit halber direkt in die Koordinatenräume übergangen: und .

  • Identifikation von mit einem Vektorraum von Matrizen
Die Zeilen werden mit dem Basisindex von nummeriert, die Spalten mit dem Basisindex von . Das Tensorprodukt zweier Vektoren und ist die Matrix : Ihr Eintrag an der Stelle ist das Produkt aus der -ten Koordinate von bezüglich und der -ten Koordinate von bezüglich .
Das Tensorprodukt lautet in diesem Falle und liefert -Matrizen.
  • Identifikation von mit dem üblichen Kronecker-Produkt
Für zwei Vektoren
und setze
In der Sprache der Matrizen heißt diese Konstruktion auch dyadisches Produkt der Koordinatenvektoren und ordnet sich dem Kronecker-Produkt von Matrizen unter.
Dies Produkt ist bilinear, jedoch nicht kommutativ, denn Vertauschung der Faktoren führt zu einer Permutation der Bild-Koordinaten.
  • Identifikation von mit dem opponierten Kronecker-Produkt
Ebenso gut ließe sich auch umgekehrt (vgl. Artikel Gegenring) definieren:
Auch dieses Tensorprodukt ist bilinear.

Diese Beispiele sollen verdeutlichen, dass das Tensorprodukt von Vektoren nur bis auf Isomorphie bestimmt ist: Die obigen Tensorprodukte sind nicht gleich, aber isomorph, und dies, obwohl die Tensorprodukträume gleich sind.

UniversaldefinitionBearbeiten

Bisher wurde nicht auf die Frage eingegangen, auf welche Weise der mit bezeichnete Vektorraum ohne Bezugnahme auf vorgegebene Basen der beiden Vektorräume beschrieben werden kann. Dies soll nun anhand der Universaldefinition geschehen, welche diesen Vektorraum allein anhand der universellen Eigenschaft eindeutig – bis auf Isomorphie – kennzeichnet. Allerdings war dies auch schon in der obigen Definition der Fall, da dort lediglich verlangt wurde, dass eine Basis haben solle, die umkehrbar eindeutig mit den Paaren von Basisvektoren aus bzw. identifizierbar sei. Tatsächlich darf man sich – zumindest aus mathematischer Sicht – das Tensorprodukt zweier Vektoren nicht als ein „durch Multiplikation errechenbares“ Produkt in einem unverrückbar festgelegten Produktraum vorstellen. Vielmehr kann es verschiedene „Realisierungen“ geben. Beachte: Selbst beim Aufbau des Zahlensystems, für die vertrauten natürlichen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen, gibt es verschiedene, lediglich äquivalente Beschreibungsweisen. Immerhin stellt das Kronecker-Produkt ein konkretes (da koordinatengebundenes) Beispiel dar (siehe die Beispiele für den endlichdimensionalen Fall). Wesentlich und allen Realisierungen gemeinsam sind jedoch Eigenschaften, die das Tensorprodukt als solches eindeutig charakterisieren. Dies ist der Inhalt der folgenden universellen Eigenschaft des Tensorprodukts. Dabei müsste man also streng genommen nicht von dem Tensorprodukt sprechen, sondern von einem Tensorprodukt oder von einer Realisierung des Tensorprodukts. Das ist aber nicht üblich, stattdessen wird die Identifikation isomorpher Realisierungen stillschweigend unterstellt – ganz so, wie man es bei Zahlen schließlich auch tut.

Einige vorbereitende Festlegungen vorab: Es seien also und sowie und Vektorräume über dem Körper . Der Vektorraum der linearen Abbildungen von nach sei mit bezeichnet, und der Vektorraum der bilinearen Abbildungen werde mit bezeichnet.

Allgemein gilt nun: Ist eine bilineare Abbildung gegeben, so ist für jeden Vektorraum die Abbildung

ein Homomorphismus.

Zur Erklärung:

Es ist leicht zu nachzuprüfen, dass für jede lineare Abbildung das Kompositum bilinear ist. Die obige Abbildung ist also wohldefiniert. Sie ist zudem ein Vektorraum-Homomorphismus (also eine lineare Abbildung).

Definition: Als Tensorprodukt der -Vektorräume und wird jeder -Vektorraum zusammen mit einer bilinearen Abbildung bezeichnet, welcher die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Jede bilineare Abbildung in einen -Vektorraum faktorisiert linear eindeutig über , das heißt:
Es gibt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung gibt, sodass gilt: , das heißt:
Für beliebige Paare von Vektoren gilt dann: .
Man notiert dann und versteht darunter den – bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten – Vektorraum .
Die (zum Tensorprodukt gehörige) bilineare Abbildung wird als notiert. Es ist wichtig zu beachten, dass diese wesentlicher Bestandteil des Tensorproduktes ist: Einen Tensorproduktraum zu betrachten, ohne zu wissen, welche bilineare Abbildung als „Produkt“ in ihn führt, ist sinnlos.

Bemerkung: Gibt es eine bilineare Abbildung in einen Vektorraum mit dieser universellen Eigenschaft, so ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Zur Erklärung:

Nutzt man nämlich die universelle Eigenschaft für gegenüber und ebenso – mit vertauschten Rollen – für gegenüber , so erhält man zwei Homomorphismen bzw. mit und . Also sind beide zueinander invers: . Daher sind zwei Realisierungen des Tensorproduktes zueinander isomorph.[1]

NB: Wesentlich ist es, hierbei zu beachten, dass die Isomorphie sich nicht nur auf die beiden Räume und als Vektorräume bezieht: Vielmehr beziehen die beiden zueinander inversen Isomorphismen die jeweiligen bilinearen Abbildungen ein, indem sie auch sie aufeinander abbilden. Hieran wird deutlich, dass das Tensorprodukt zweier Vektorräume nicht lediglich als ein neuer Vektorraum verstanden werden darf. In Wahrheit bewegt sich das Tensorprodukt also nicht in der Kategorie der Vektorräume, sondern in der Kategorie der bilinearen Abbildungen . Darin bildet ein initiales oder Anfangsobjekt, weil jede bilineare Abbildung über die bilineare Abbildung eindeutig faktorisiert. Am zugehörigen Diagramm spiegelt sich diese Tatsache darin wider, dass es ein Dreieck ist: Beide bilinearen Abbildungen erscheinen darin, und es kommutiert: Es geht nicht allein um einen Isomorphismus , sondern um einen Isomorphismus, der mit den bilinearen Abbildungen verträglich ist. Daher sollte man unter der Begrifflichkeit „Tensorprodukt“ nicht den Produktraum zu verstehen suchen, sondern eine universelle bilineare Abbildung in eine geeignete Realisierung. „Produkt“ steht also nicht für ein Produkt von Räumen, sondern für ein Produkt auf Räumen (in einen anderen Raum), für eine Multiplikation, eben eine bilineare Abbildung, die im Übrigen nicht kommutativ ist.

Vor dem Hintergrund der eingangs gemachten Anmerkung über die Abbildung lässt sich die Universaldefinition nun auch so formulieren:

Äquivalente Definition: Der Vektorraum wird als Tensorprodukt von und bezeichnet, wenn die Abbildung für jeden Vektorraum bijektiv, mithin also ein Isomorphismus ist. Man schreibt dann auch und .

Zur Erklärung:

Es bleibt lediglich noch nachzuweisen, dass die Bijektivität von mit der Aussage der universellen Eigenschaft äquivalent ist: Diese sichert nämlich gerade zu, dass es zu jeder bilinearen Abbildung eine lineare Abbildung gibt (Existenzaussage), so dass , und dass diese Abbildung zudem eindeutig bestimmt (Eindeutigkeitsaussage) ist. Die Existenzaussage ist mit der Surjektivität, die Eindeutigkeitsaussage mit der Injektivität von äquivalent. Also besagt die universelle Eigenschaft gerade, dass der Homomorphismus ein Isomorphismus ist.
Hinweis: Zwar ist der Homomorphismus zunächst nur auf jedem elementaren Tensor durch festgelegt. Durch lineare Fortsetzung ist damit jedoch auf dem gesamten Tensorraum wohldefiniert, wie im Abschnitt über die Fortsetzbarkeit von Abbildungen auf elementaren Tensoren zu Homomorphismen auf dem Tensorraum erklärt wurde.

Diese Definition liefert also unmittelbar eine wichtige Interpretation (Realisierung) des Tensorprodukts:

Für jeden Vektorraum besteht ein Isomorphismus:
vermöge .

Wenn es also einen Vektorraum mit der universellen Eigenschaft gibt, so ist er – eben aufgrund der universellen Eigenschaft – nur bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Allerdings lässt die Universaldefinition die Frage offen, ob es überhaupt einen Vektorraum mit diesen Eigenschaften gibt. Um also die Existenz eines solchen Vektorraumes sicherzustellen, muss entweder ein solcher Vektorraum konstruiert werden oder aber „zufällig“ ein solcher Vektorraum „gefunden“ werden. Einen Existenzbeweis durch Konstruktion führt (in einem allgemeineren Falle) der Artikel Tensorprodukt von Moduln aus: Dazu wird zunächst ein zu großer Vektorraum konstruiert, der anschließend nach einem Unterraum fakturiert wird, so dass der Quotientenraum „erzwungenermaßen“ genau die gewünschten Eigenschaften hat.

Die Universaldefinition zeigt einen Weg zu einer Realisierung des Tensorproduktes auf: Dieser Gedanke wird im Abschnitt Natürliche Homomorphismen berührt und im Abschnitt Homomorphismen als Tensoren vertieft. Darin wird ein Vektorraum benannt, von dem sich (mit Hilfe der universellen Eigenschaft) recht leicht erkennen lässt, dass er die gewünschte universelle Eigenschaft des Tensorraums hat. Dieses Vorgehen gelingt allerdings nur für den Fall, dass oder endliche Dimension über ihrem Grundkörper haben, weil Eigenschaften des Dualraumes genutzt werden, die eben die endliche Dimension als Voraussetzung benötigen.

Der triviale eindimensionale FallBearbeiten

Ein Seitenblick möge zeigen, wie der Fall das Tensorprodukt „trivialisiert“: Dabei zeigt sich, dass sich die Situation ganz analog zu den (uni)linearen Abbildungen aus der elementaren linearen Algebra verhält. Einzig bemerkenswert ist, dass die Kommutativität des Grundkörpers eine Rolle spielt, im Gegensatz zum linearen Fall.

Der Skalarkörper bildet über sich selbst in natürlicher Weise einen eindimensionalen Vektorraum. Für eine bilineare Abbildung und beliebige Körperelemente gilt

NB: Man beachte, wie hierbei fast unbemerkt die Kommutativität des Körpers eingeht.

Also ist eine bilineare Abbildung bereits durch den Wert von festgelegt, und bis auf diesen Wert (als Faktor) ist sie mit der Körpermultiplikation identisch: Die Eigenschaften der Bilinearität gehen in die Distributivität der Multiplikation über, im Verbund mit der Assoziativität und der Kommutativität: .

Also ist in diesem Falle der Körper selbst mit dem Tensorprodukt identifizierbar: . Die universelle Eigenschaft bedeutet: Setzt man , so vermittelt das lineare Abbild der bilinearen Abbildung , wie es die universelle Eigenschaft fordert. Schließlich gilt ja .

Das Tensorprodukt zweier Skalare (aufgefasst als Vektoren) liefert also nichts Neues: Es ist bis auf den Skalarfaktor mit der Körpermultiplikation identisch, lässt sich also durch ein Monom beschreiben. Dieser Skalarfaktor darf allerdings nicht verschwinden: Wäre nämlich , so wäre die universelle Eigenschaft verletzt: Die einzige bilineare Abbildung, die lineares Abbild dieses „Null-Produktes“ ist, ist nämlich die triviale Nullabbildung. Die genaue Wahl des Skalarfaktors tut aber auch nichts zur Sache: Das Tensorprodukt ist ja nur bis auf Isomorphie festgelegt, und jede andere bilineare Abbildung unterscheidet sich um einen Linearfaktor. Es kann naheliegenderweise normiert werden.

Haben jedoch die beiden Vektorräume und mehr als eine Dimension (), so liegt das Tensorprodukt zweier Vektoren in einem Vektorraum, der erst konstruiert oder „gefunden“ werden muss, eben einer Realisierung des Tensorproduktraums. Das Tensorprodukt dreier Vektoren liegt in einem weiteren, davon verschiedenen Raum usw. usf. Die Tensoralgebra liefert den geeigneten Produktraum für Produkte mit beliebig (doch endlich) vielen Faktoren.

Mit anderen Worten: Unilineare Abbildungen zwischen Vektorräumen verallgemeinern lineare Abbildungen . Bilineare Abbildungen verallgemeinern die Körpermultiplikation , die quadratische Ordnung hat: .

Für mehr als zwei Faktoren gilt Entsprechendes.

Das Tensorprodukt als Bifunktor: Das Tensorprodukt linearer AbbildungenBearbeiten

Es seien zwei Vektorräume mit je einer linearen Abbildung auf einen weiteren Vektorraum gegeben: und . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung , welche auf den elementaren Tensoren gerade mit dem Tensorprodukt der Bildvektoren übereinstimmt:

für jedes Paar

Die Abbildung kann also auf den elementaren Tensoren (oder gar auf den Basisvektoren ) definiert und linear fortgesetzt werden.

Diese Abbildung wird mit demselben Verknüpfungssymbol als geschrieben und heißt das Tensorprodukt der beiden Homomorphismen und .

Sind weitere Vektorräume bzw. lineare Abbildungen und gegeben, und ist , so gilt darüber hinaus:

Wie sich aus der obigen Konstruktion durch lineare Fortsetzung einer auf den elementaren Tensoren definierten Abbildung ergibt, gilt: Die Konstruktion von ist von der Wahl der Basen unabhängig.

Mit anderen Worten:

Es gibt also einen natürlichen Monomorphismus , definiert durch . Dieser ist genau dann ein Isomorphismus, wenn oder endlichdimensional ist.[2]

Dies zeigt, dass das Tensorprodukt in der Sprache der Kategorientheorie ein (kovarianter) Bifunktor auf der Kategorie der -Vektorräume (in die Kategorie der -bilinearen Abbildungen) ist.

Vertauschbarkeit mit dem KoproduktBearbeiten

Aus der Konstruktion geht hervor, dass das Tensorprodukt (als Bifunktor) mit dem Koprodukt (direkte Summe) vertauschbar ist, das heißt, für -Vektorräume bestehen folgende Isomorphismen:

folglich

und

Natürliche HomomorphismenBearbeiten

Wenn den Dualraum von bezeichnet, dann liefert die oben erwähnte Beziehung für endlichdimensionale Vektorräume und für den Fall die Isomorphien:

Dabei wurde der Isomorphismus verwendet. Allgemein ist , definiert durch , ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Durch Currying erhält man – unabhängig von Überlegungen zum Tensorprodukt – einen Isomorphismus

Zusammen mit der Universaldefinition erhält man auf diese Weise für die folgende Identifikation:

Nun besteht ein kanonischer Isomorphismus zwischen einem endlichdimensionalen Vektorraum und seinem Bidualraum:

Nutzt man diese Tatsache, so kann man das Tensorprodukt von und also auch als den Dualraum des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen realisieren, endliche Dimensionen vorausgesetzt:

In Worten: Der Dualraum des Raumes der bilinearen Abbildungen ist eine Realisierung des Tensorprodukts . Setzt man hierbei so erhält man als Sonderfall die eben bereits verwendete Tatsache zurück, dass der Bidualraum eines endlichdimensionalen Vektorraums mit diesem kanonisch identifiziert werden kann.

Wer sogar die nicht-kanonische Identifikation vornimmt (etwa aufgrund eines auf definierten Skalarproduktes), gelangt sogar zur (leicht Verwirrung stiftenden) Identifikation , denn sie verschweigt die Beimischung eines weiteren Tensors (eben des Skalarprodukts).

Diese Homomorphismen werden in den folgenden Unterabschnitten näher betrachtet.

Homomorphismen als TensorenBearbeiten

Dieser Isomorphismus lässt sich (wie folgt) explizit auf den elementaren Tensoren angeben und wird linear auf allgemeine Tensoren fortgesetzt:

Ersetzt man nun durch seinen Dualraum und benutzt die natürliche Identifikation mit dem Bidualraum für einen Vektorraum endlicher Dimension, so erhält man einen Isomorphismus

Für den Fall, dass beide Vektorräume unendlichdimensional sind, hat man nur einen natürlichen Monomorphismus.[3]

Ebenso lässt sich , falls von endlicher Dimension, durch seinen Dualraum ersetzen, und man erhält:

Wenn beide durch ihr Dual ersetzt werden, erhält man:

Für den Vektorraum von Homomorphismen lässt sich unter diesen Voraussetzungen explizit zeigen, dass er die für geforderte universelle Eigenschaft erfüllt, zusammen mit der bilinearen Abbildung . Auf diese Weise hat man für – auch ohne Konstruktion – eine konkrete Realisierung des Tensorproduktes gefunden, entsprechend natürlich für die anderen Beispiele.

Diese Realisierung liefert zudem ein greifbares Beispiel dafür, dass das Tensorprodukt auch für nicht kommutativ ist:

Es ist unmittelbar abzulesen, dass die beiden Tensoren auf verschiedene Homomorphismen abbildet, sobald sie nur linear unabhängig sind. Ist jedoch , so gilt für die Bilder unter tatsächlich , ganz analog zu der schon zuvor bekannten Rechenregel für Tensoren .

Bringt man – dank der endlichen Dimensionen – den natürlichen Isomorphismus zusammen mit bzw. ins Spiel, so erhält man weitere Identifikationen.

Die Umkehrabbildung von – unter Voraussetzung endlicher Dimension von – wird folgendermaßen konstruiert:[4]

Die Tatsache, dass für jede lineare Abbildung und jede Linearform das Kompositum linear ist, bedeutet, dass folgende Abbildung wohldefiniert und ihrerseits linear ist:
Sie ist injektiv, weil die duale Paarung nicht ausgeartet ist, das heißt, weil für jedes ein existiert mit .
Die Surjektivität folgt so: Ist eine Bilinearform, so ist für jedes (festgehaltene) die partielle Abbildung als ein Vektor des Bidualraumes zu verstehen, der jedoch (unter Verwendung von beim Ausrufezeichen) in kanonischer Weise mit selbst zu identifizieren ist. Setzt man nun , so erhält man eine lineare Abbildung mit , wie gewünscht.
Diese Abbildung tauchte bereits oben als Abbildung auf, die durch bloßes Currying gewonnen wurde: Dafür ist lediglich durch zu ersetzen. Tatsächlich ist bereits durch Currying klar, dass eine Bilinearform als Homomorphismus zu verstehen ist, wenn man beim Gleichheitszeichen die Identifikation voraussetzen darf.

Homomorphismen aus lassen sich also als Bilinearformen interpretieren. Die Abbildungen und bzw. die Umkehrabbildung liefern im Falle Interpretationen der so genannten gemischten Tensoren als Endomorphismen auf ; weitere Einzelheiten siehe diesen Abschnitt.

Aus Sicht des MatrizenkalkülsBearbeiten

Es lohnt sich zu beleuchten, was die Abbildung im Licht des Matrizenkalküls besagt: Dann nämlich wird deutlich, was sie konkret bedeutet. Um das Ergebnis vorwegzunehmen: Die Abbildung besagt, dass eine Matrix

welche einen Homomorphismus bezüglich zweier Basen von bzw. darstellt, sich auch als Tensor auffassen lässt, indem man die Zeilen als Linearformen auf dem als Spaltenvektoren notierten Vektorraum auffasst:

Denn genau dies geschieht bei der Multiplikation der Matrix mit einem Koordinatenvektor.

Zur Erläuterung: Es seien also Vektorräume über dem Körper endlicher Dimension mit und ,

eine Basis von und eine Basis von .

Dann sind diese Vektorräume die (inneren) direkten Summen ihrer eindimensionalen Unterräume bzw. :

Mit den kanonischen Projektionen (für ) gilt für jedes die Beziehung , also lässt sich als Summe

einzelner Abbildungen

darstellen, wobei (genau genommen) noch die Einbettung vorgenommen wird, da sie nur in diesem gemeinsamen „Oberraum“ addiert werden können. Definiert man nun für jedes eine Abbildung vermöge der Gleichung

so erhält man Linearformen , für die folgende Beziehung gilt:

Damit wird deutlich, wie die Abbildung zu verstehen ist: Die lineare Abbildung ist unter das Bild des Tensors :

Die Abbildung lässt sich also vermittels als Tensor auffassen, nämlich als Summe elementarer Tensoren , deren jeder die reduzierte (projizierte) Abbildung darstellt.

Mit der obigen darstellenden Matrix bestimmt man für einen Vektor mit Koordinatendarstellung gemäß Matrizenkalkül die Koordinatendarstellung des Bildvektors bekanntlich gemäß der Gleichung

Durch Vergleich mit der obigen Gleichung erkennt man, wie sich die Linearformen in der darstellenden Matrix wiederfinden: Es sind gerade die Zeilenvektoren. Für die Koeffizienten der Matrix gilt also:

Hierin drückt sich die bekannte Merkregel aus, dass in der -ten Spalte () der darstellenden Matrix der – auf die Basis des Bildraums bezogene – Koordinatenvektor der Bildes des Basisvektors steht.

Anmerkung: Die dazu duale Merkregel besagt, dass in der -ten Zeile () der darstellenden Matrix der – auf die zur Basis des des Definitionsraums duale Basis des Dualraums bezogene – Koordinatenvektor desjenigen Kovektors steht, welcher die Abbildung in der -ten Bildkomponente darstellt: .

Im Folgenden soll demonstriert werden, dass die Anwendung des Matrizenkalküls auf die Spaltenvektoren der zugehörigen Koordinatenräume bzw. implizit genau diese Zerlegung der linearen Abbildung in die Summe von Linearformen vornimmt. Dazu sei zunächst darauf hingewiesen, dass Skalare – aufgefasst als -Matrizen – an Spaltenvektoren von rechts, an Zeilenvektoren jedoch von links heran multipliziert werden müssen. Dies ist zwar bei kommutativen Körpern (wie hier) gleichgültig, doch ist für den Formalismus hilfreich, dies im Hinterkopf zu behalten. Nun kann man die Matrix in folgender – zunächst zweckfrei erscheinenden – Weise zerlegen:

Die Linearformen sind als Kovektoren (hier also Zeilenvektoren) im Koordinatenraum bezüglich der zu dualen Basis (definiert durch (Kroneckersymbol)) dargestellt. Die links von diesen Linearformen stehenden Einheitsvektoren stehen für die Koordinatenvektoren der Basisvektoren bzw. für die Projektionen . Multipliziert man nun einen Koordinatenvektor für einen Vektor (von rechts) an die Matrix , beachtet Distributivität und Assoziativität des Matrizenkalküls, so ergibt sich:

Dabei stellen die links von den Skalarfaktoren stehenden Einheitsvektoren gerade die Koordinatenvektoren der Basisvektoren dar. Diese Beziehung ist also die Entsprechung für die obige Zerlegung der Abbildung in eine Summe elementarer Tensoren . Sie überträgt diese Zerlegung in die zugehörigen Koordinatenräume (bei gegebener Basiswahl) und zerlegt die Matrix in eine Summe von Linearformen. Die Abbildung wird im Matrizenkalkül also inhärent vollzogen.

Die oben erwähnte Merkregel hat auf diese Weise ihre duale Entsprechung: In der -ten Zeile der darstellenden Matrix stehen die Koordinaten derjenigen Linearform , welche die -te Reduktion auf den vom Basisvektor aufgespannten Unterraum beschreibt.

Ähnlich lässt sich mit Hilfe der kanonischen Einbettungen eine (zu duale) Zerlegung angeben. Insgesamt ergibt sich die bekannte Tatsache, dass die Familie der linearen Abbildungen durch die Familie (lies: Matrix) von Koeffizienten gegeben ist: für .

Kovektoren, Endomorphismen und die Spur eines EndomorphismusBearbeiten

Der Vektorraum habe endliche Dimension. Setzt man in den obigen natürlichen Homomorphismen , so erhält man den Isomorphismus

Die Umkehrabbildung kann wie folgt beschrieben werden:

Es sei eine Basis von , , so dass . Die kanonischen Projektionen seien mit bezeichnet. Für sei , so dass . Die Abbildung definiert eine Linearform durch . Mit diesen Kovektoren gilt gerade .
Bezeichnet die dazu duale Basis aus Kovektoren (Linearformen) , so können die Kovektoren als Summe dargestellt werden: . Dann ist
.

Die quadratische Matrix stellt den Tensor (bezüglich der Basis ) dar und ist zugleich die diesbezügliche Darstellungsmatrix des Endomorphismus auf .

Nun betrachte die naheliegende Bilinearform

Anmerkung: Diese Abbildung ist die (durch die Auswertung der Linearform induzierte) duale Paarung: Bei den Betrachtungen über den Bidualraum wird gezeigt, dass sie nicht ausgeartet und bei endlicher Dimension folglich eine perfekte Paarung ist, so dass kanonisch isomorph sind: Ein Vektor induziert durch die jeweilige Auswertung der Kovektoren auf ihm eine Linearform auf den Kovektoren, also können Vektoren als Linearformen auf den Kovektoren aufgefasst werden.

Gemäß der universellen Eigenschaft gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung mit .

Auf diese Weise erhält man eine Bilinearform, die so genannte Spur(bildung) (trace):

Diese Abbildung lässt sich (mit Hilfe von ) als Abbildung auf den Endomorphismen von interpretieren. Da für die duale Basis (gemäß ihrer Definition) (Kronecker-Delta) gilt, folgt für die Spur eines Endomorphismus: , in Worten: Die Spur eines Endomorphismus ist die Summe der Diagonaleinträge einer Darstellungsmatrix. Dabei zeigen die Überlegungen, dass die Spur unabhängig von der Basiswahl ist.

Für Matrizen (gemäß der Koordinatendarstellung von Tensoren) lässt sich dies unmittelbar einsehen:[5]

Denn die Spur ist gegenüber Vertauschung invariant. Sind nämlich und zwei Matrizen, so gilt
Also ist für drei Matrizen . Ist eine Übergangsmatrix mit Inverser , so erhält man die Unabhängigkeit von der Basiswahl.

Eine weitere Perspektive auf die Spur liefert das charakteristische Polynom eines Endomorphismus bzw. einer dazugehörigen Darstellungsmatrix : , wobei . Dieses Polynom (in der Unbekannten ) hängt nicht von der Basiswahl ab: . Die Spur ist gerade der Koeffizient des Monoms .

Hintergrund: Ein Endomorphismus induziert auf die Struktur eines Moduls über dem Polynomring in einer Unbekannten durch . Auf diese Weise wird zu einem Modul über dem Hauptidealring , der wegen endlich erzeugt ist. (Dieser Polynomring enthält den Körper und ist sogar ein euklidischer Ring.) Das charakteristische Polynom ist eine Strukturinvariante dieses Moduls, die durch den Elementarteilersatz (verstanden als Struktursatz für Moduln über Hauptidealringen) in Erscheinung tritt: Der Satz von Cayley-Hamilton[Anm 2] zeigt, dass es sich um einen Torsionsmodul handelt, da . Daher teilt das Minimalpolynom das charakteristische Polynom, denn es ist das (hinsichtlich der Gradfunktion als Bewertungs- oder Höhenfunktion) „minimale“ Polynom mit dieser Eigenschaft. Das Absolutglied des charakteristischen Polynoms ist im Übrigen die Determinante: bzw. .

Die Spur ist ein Spezialfall der Tensorverjüngung oder Kontraktion für Tensoren vom Typ : Siehe dazu den Abschnitt über Tensoren vom Typ (r,s).

Multilineare Abbildungen und das mehrfache TensorproduktBearbeiten

Einer Erweiterung der bisherigen Betrachtungen auf mehr als zwei Vektorräume als „Faktoren“ des Tensorprodukts steht nichts entgegen: Es geht dann nicht mehr um bilineare Abbildungen, sondern um multilineare Abbildungen und das -fache Tensorprodukt.

Für eine endliche Indexmenge mögen Vektorräume über dem Grundkörper der (nicht notwendig endlichen) Dimensionen bezeichnen. Ihre Basen seien mit (für ) bezeichnet. Die Basisvektoren seien mit bezeichnet.

Eine -fach multilineare Abbildung in einen -Vektorraum ist eine Abbildung, die in jeder Komponente (bei festgehaltenen übrigen Komponenten) linear über ist. Der Raum dieser multilinearen Abbildungen wird mit bezeichnet.

Definition durch KonstruktionBearbeiten

Zur Bequemlichkeit sei gesetzt.

Setze als Tensorproduktraum

Anmerkung 1: Mit der oben definierten Notationsweise besteht übrigens eine Identifikation durch . Die Verwendung des Zeichens für das Koprodukt soll auf den größeren kategoriellen Zusammenhang hinweisen. Im vorliegenden Falle darf es schlicht als direkte Summe verstanden werden.
Anmerkung 2: Dabei ist als eine multiindizierte Koordinate zu verstehen. Dazu fasse in folgender Weise als einen Multiindex auf:
Anmerkung 3: Die Supermatrix wird häufig mit dem Tensor, den sie darstellt, identifiziert. Sie ist sozusagen die Koordinatenmatrix des Tensors und wird mit ihm identifiziert, ähnlich wie Koordinatenvektoren mit dem durch sie dargestellten Vektor identifiziert werden. Die Bezugnahme auf die Basen fließt bei dieser Identifikation stillschweigend ein.

Dabei sei zunächst lediglich als ein Symbol aufgefasst. Für steht es also für . (Die Schreibweise wird vermieden, weil sie die Frage der Operatorassoziativität aufwürfe.)

Nun definiere die Abbildung

Durch multilineare Fortsetzung von auf den gesamten Raum definiere die gewünschte -fach multilineare Abbildung , das Tensorprodukt

Der (uni)lineare FallBearbeiten

Für den Fall der „Unilinearität“ liefert die obige basisabhängige Konstruktion des Tensorprodukts lediglich die von der gewählten Basis abhängige Koordinatendarstellung eines Vektorraumes . Die universelle Eigenschaft zeigt auf, dass jede „unilineare“ (das heißt lineare) Abbildung als lineare Abbildung dieses Koordinatenraums dargestellt werden kann – eine wohlvertraute Tatsache. Das Tensorprodukt verallgemeinert sie für den multilinearen Kontext des Produkts . Hierin lässt sich das Wesen des Tensorprodukts erblicken.

Der triviale Fall mehrerer eindimensionaler FaktorenBearbeiten

Wie schon im bilinearen () Falle trivialisiert sich das multilineare Tensorprodukt für den Fall, dass alle Vektorräume eindimensional sind: . Es ist dann – bis auf eine Isomorphie, die sich in einem Skalarfaktor niederschlägt – durch ein Monom gegeben und mithin mit der Körpermultiplikation (linear) identifizierbar. Eine beliebige multilineare Abbildung ist ein lineares Abbild durch Multiplikation mit dem skalierenden Faktor .

Mit anderen Worten: Eine -fach multilineare Abbildung verallgemeinert die Multiplikation von Faktoren aus dem Körper und entspricht somit einem Monom -ten Grades: Bilinearität verallgemeinert quadratische Monome, Trilinearität kubische Monome etc. pp.

Definition durch universelle EigenschaftBearbeiten

Unter einem Tensorprodukt der (endlichen) Familie von -Vektorräumen versteht man eine -fach multilineare Abbildung in einen -Vektorraum mit einer der beiden folgenden äquivalenten Eigenschaften:

  • Ist eine multilineare Abbildung in einen -Vektorraum , so existiert genau eine lineare Abbildung mit .
  • Für jeden -Vektorraum liefert der durch gestiftete Rückzug einen Isomorphismus von Vektorräumen

Man notiert das Tensorprodukt .

Definition durch Zurückführung auf bilineare Abbildungen und das Tensorprodukt mit zwei FaktorenBearbeiten

Eine -fach multilineare Abbildung lässt sich auf eine -fach multilineare Abbildung zurückführen, denn die Definition der Multilinearität lässt sich durch Currying in folgende Gleichungen kleiden:

bzw.

wobei die Schreibweise die Tilgung des durchgestrichenen Vektorraums bedeuten möge.

Setzt man also sukzessive , so erhält man

Auf diese Weise lässt sich das -fache Tensorprodukt schrittweise auf das gewöhnliche -fache (bilineare) Tensorprodukt zurückführen – oder umgekehrt von ihm ausgehend mit Iterationsschritten aufbauen.

Dabei zeigt sich, dass die Frage der Operatorassoziativität müßig ist: Beispielsweise sind die beiden -fachen Tensorprodukte und (als trilineare Abbildungen) isomorph. Dies ist der Grund dafür, dass die Klammern auch fortgelassen werden können:

Koordinatendarstellung von TensorenBearbeiten

Unter einem Tensor versteht man eine multilineare Abbildung

.

Gemäß der universellen Eigenschaft ist ein Tensor durch die Werte auf den Basistupeln festgelegt. Werden die Basen mit bezeichnet, so definiert die Familie

von Werten den Tensor .

Im Falle , der ohnehin von besonderem Interesse ist, handelt es sich also um eine Supermatrix mit Koeffizienten aus .

Dies ist die Koordinatendarstellung eines Tensors .

Beispiele:

  • Im Falle eines Skalarproduktes, das eine Metrik liefert, führt dies zum Maßtensor.
  • Im Falle der Determinante gelangt man zum Levi-Civita-Symbol oder Epsilontensor.

Lineare Abbildungen und Tensoren vom Typ (r,s)Bearbeiten

Von besonderem Interesse – vor allem in der Physik – ist der Fall, dass sämtliche Vektorräume – bis auf dimensionsbehaftete Skalarfaktoren – gleich ein und demselben Vektorraum oder seinem Dualraum sind. Zur Abkürzung setze nun . Bei endlicher Dimension haben dann beide gleiche Dimension