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Das Tensorprodukt ist ein sehr vielseitiger Begriff der Mathematik: In der linearen Algebra und in der Differentialgeometrie dient es zur Beschreibung von multilinearen Abbildungen, in der kommutativen Algebra und in der algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts

(für einen Vektorraum mit Dualraum , oft ) als Tensoren, kontravariant der Stufe und kovariant der Stufe . Kurz spricht man von Tensoren vom Typ .

Dieser Artikel beschreibt die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorproduktes. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor.

Tensorprodukt von VektorräumenBearbeiten

Zur MotivationBearbeiten

In der Quantenmechanik ist der Zustandsraum eines Objekts ein Hilbertraum. Hat man   Teilchen mit Zuständen   in Hilberträumen   und betrachtet nun die Zustände des aus den Teilchen gebildeten Systems  , so sind da zunächst die Zustände, die die Information zusammenfassen, die in den Zuständen   dieser Teilchen, jedes für sich allein, enthalten ist, und die man Produktzustände   nennt. Da die Quantenmechanik verlangt, dass auch jede Überlagerung von Zuständen eines Objekts (hier  ) wieder ein möglicher Zustand des Objekts ist, muss das mathematische Modell außer den genannten Produkten auch beliebige Linearkombinationen enthalten, die dann insgesamt den Hilbertraum des Systems   bilden. Der neue Vektorraum wird mit   bezeichnet und Tensorprodukt genannt. Die Bedürfnisse der Physik und auf Seiten der Mathematik das Bestreben, die Konstruktion so einfach wie möglich zu halten, führen zu der unten gegebenen Definition. Das Skalarprodukt des Hilbertraumes bleibt dabei als zusätzliche Struktur zunächst unberücksichtigt.

DefinitionBearbeiten

Sind   und   zwei Vektorräume über einem gemeinsamen Skalarkörper  , so ist das Tensorprodukt

 

ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist   eine Basis von   und   eine Basis von  , dann ist   ein Vektorraum, genannt Tensorproduktraum, in dem es eine Basis gibt, die auf eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts

 

der Basen der Ausgangsräume identifiziert werden kann. Die Dimension von   ist demzufolge gleich dem Produkt der Dimensionen von   und  . Das Element dieser Basis, das dem geordneten Paar   entspricht, wird als   notiert. Das Symbol   hat dabei bis hierher keine tiefere Bedeutung. Ein beliebiges Element des Tensorprodukts   hat dann die Gestalt

 

wobei   und   endliche Teilmengen der Indexmengen   und   sind und   für jedes   und   gilt.

Man kann nun mit Hilfe dieser Basis ein Produkt von Vektoren aus   und   definieren, das mit demselben Verknüpfungssymbol notiert wird. Natürlicherweise ist das Produkt zweier Basisvektoren   und   gerade der Basisvektor, der mit   bezeichnet wurde. Das Produkt beliebiger Vektoren kann nun durch bilineare Fortsetzung erhalten werden,

 

und

 

mit endlichen Teilmengen   wird das Produkt

 

zugeordnet.

Endlichdimensionaler FallBearbeiten

Für endlichdimensionale Vektorräume   mit Basis   und   mit Basis   kann das Tensorprodukt direkt als Raum von Matrizen konstruiert werden. Die Zeilen werden mit dem Basisindex   von   nummeriert, die Spalten mit dem Basisindex   von  . Das Tensorprodukt zweier Vektoren  ,   ist diejenige Matrix, deren Eintrag an der Stelle   die  -te Koordinate von   bezüglich   multipliziert mit der  -ten Koordinate von   bezüglich   ist. In der Sprache der Matrizen heißt diese Konstruktion auch dyadisches Produkt der Koordinatenvektoren.

EigenschaftenBearbeiten

Für das Tensorprodukt von Vektoren gelten folgende Rechenregeln für alle   und   sowie  :

  (1)
  (2)
  (3)

Mit anderen Worten: Die Abbildung  ;   ist  -bilinear. Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze, was den Namen Tensorprodukt motiviert.

Ein Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, denn für   gehören die Tensoren

  und  

nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume   und   identisch sind. Jedoch sind auch in diesem Fall die Tensoren   und   im Allgemeinen verschieden.

Tensorprodukt von Vektorräumen mit linearen AbbildungenBearbeiten

Gegeben seien zwei Vektorräume   je mit einer linearen Abbildung auf einen weiteren Vektorraum,   Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung   die   zu einer Abbildung   fortsetzt. Diese Abbildung wird mit demselben Verknüpfungssymbol als   geschrieben und heißt das Tensorprodukt von   und   Im Sinne der Kategorientheorie bildet das Paar von Abbildungen

 

einen Funktor. Die in einem Funktor zusammengefassten Abbildungen mit dem gleichen Symbol (hier  ) zu bezeichnen, ist üblich.

Die Konstruktion geht aus von Basen   von   und   Die   bilden (s. o.) eine Basis von   Die Forderung   auf den Elementen dieser Basis definiert eindeutig eine lineare Abbildung   Hierdurch wird   auch für die anderen Elemente von   nicht nur für die Paare   Aus den Darstellungen von   und   als   und   ergibt sich nämlich

 

Beginnt man die Konstruktion mit anderen Basen   von   und   definiert man also eine lineare Abbildung   durch   so ergibt sich nun   Die Abbildungen   und   stimmen auf den Elementen einer Basis von   überein, sind also identisch. Die Konstruktion von   ist von der Wahl der Basen unabhängig.

UniversaldefinitionBearbeiten

Bisher wurde die Frage umgangen, welcher Natur denn der mit   bezeichnete Vektorraum im allgemeinen Fall ist. Die bisher angegebenen Forderungen an diesen Vektorraum können verkürzt, aber eindeutig in Form einer Universaldefinition angegeben werden.

Als Tensorprodukt der  -Vektorräume   und   wird jeder  -Vektorraum   bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung   gibt, welche die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Jede weitere bilineare Abbildung   in einen  -Vektorraum   faktorisiert linear eindeutig über  . Dies heißt exakter, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung   gibt, sodass für beliebige Paare von Vektoren gilt:
 
also
 

Gibt es einen solchen Vektorraum, so ist er bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, d. h. für jede andere bilineare Abbildung   mit der universellen Eigenschaft gibt es einen Isomorphismus  , sodass   gilt. Es wird   und   notiert. Die universelle Eigenschaft kann also als   geschrieben werden, oft verzichtet man auf die Vergabe unterschiedlicher Bezeichnungen, da der Definitionsbereich aus dem Argument ablesbar ist.

Um nun tatsächlich Vektorräume anzugeben, die diese Definition erfüllen, gibt es zwei übliche Wege: einmal im endlichdimensionalen Fall über den Raum der Bilinearformen auf den Dualräumen, wie im Folgenden angegeben, und zum anderen durch die Konstruktion eines einfach anzugebenden, aber zu großen Raumes, von dem ein Quotientenraum nach einem geeigneten Unterraum die Eigenschaften des Tensorproduktes erhält. Die letztgenannte Konstruktion wird im Artikel Tensorprodukt von Moduln ausgeführt.

Natürliche HomomorphismenBearbeiten

Aus der Universaldefinition folgt, dass der Vektorraum   der bilinearen Abbildungen   kanonisch isomorph zum Vektorraum   der linearen Abbildungen   ist:

Es sei   eine bilineare Abbildung. Dann kann man zeigen, dass durch

 

eine lineare Abbildung definiert wird.

Ist umgekehrt

 

eine lineare Abbildung, so ist die Abbildung

 

bilinear.

Weiterhin gibt es einen natürlichen Monomorphismus  , definiert durch  . Dieser ist genau dann ein Isomorphismus, wenn   oder   endlichdimensional ist.[1]

Durch Currying erhält man außerdem einen Isomorphismus  .

Für endlichdimensionale Vektorräume und   gilt also

 

wobei z. B.   der Dualraum von   ist und der Isomorphismus   verwendet wird. Allgemein ist  , definiert durch  , ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Ersetzt man   durch seinen Dualraum und benutzt die natürliche Identifikation   mit dem Bidualraum, so erhält man einen Isomorphismus  , definiert durch  . Für den Fall, dass beide Vektorräume unendlichdimensional sind, hat man nur einen natürlichen Monomorphismus.[2]

Tensorprodukt und BilinearformenBearbeiten

Aus der Universaldefinition folgt  . Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume kann man das Tensorprodukt von   und   also auch als den Dualraum des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen   definieren.

Ein Grund, weshalb man nicht statt des Tensorproduktes mit dem Raum der Bilinearformen arbeitet, ist: Multilinearformen, also beispielsweise Abbildungen

 

für drei  -Vektorräume  ,  ,  , die linear in jeder Komponente sind, entsprechen linearen Abbildungen

 

aber es gibt keine ähnlich einfache Möglichkeit, Räume von Multilinearformen durch Räume von Bilinearformen auszudrücken; dabei bezeichnet

 

die Räume

  bzw.  

die mit Hilfe von

 

kanonisch identifiziert werden können. Diese Identifizierung entspricht dem Umstand, dass man aus einer Multilinearform

 

einerseits durch Festhalten des Argumentes aus   eine Bilinearform

 

andererseits durch Festhalten des Argumentes aus   eine Bilinearform

 

erhalten kann.

Erweiterung der SkalareBearbeiten

Ist   ein Vektorraum über   und   ein Erweiterungskörper von  , so kann man das Tensorprodukt

 

bilden, indem man auch   als  -Vektorraum auffasst; dies wird durch   symbolisiert.   wird zu einem Vektorraum über  , wenn man

 

setzt. Die Dimension von   als  -Vektorraum ist gleich der Dimension von   als  -Vektorraum: Ist   eine  -Basis von  , so bildet die Menge

 

eine  -Basis von  .

Tensorprodukt von DarstellungenBearbeiten

Seien

 

lineare Darstellungen. Wir definieren die lineare Darstellung

 

in das Tensorprodukt von   und   durch

 

für  , wobei das Tensorprodukt von Matrizen das Kronecker-Produkt ist. Diese Darstellung wird äußeres Tensorprodukt der Darstellungen   und   genannt. Existenz und Eindeutigkeit folgen aus den Eigenschaften des Tensorprodukts.

Seien   und   zwei lineare Darstellungen derselben Gruppe und sei   dann kann

 

definiert werden durch

 

für   Man schreibt dafür   Die Abbildung   definiert dann eine lineare Darstellung von   die ebenfalls Tensorprodukt der gegebenen Darstellungen genannt wird.

Man muss diese beiden Fälle jedoch strikt unterscheiden. Der erste Fall ist eine Darstellung des Produkts zweier Gruppen in das Tensorprodukt der jeweils zugehörigen Darstellungsräume. Der zweite Fall ist eine Darstellung einer Gruppe   ins Tensorprodukt von Darstellungsräumen dieser Gruppe. Der zweite Fall kann jedoch als Spezialfall des ersten Falls angesehen werden, indem man die diagonale Untergruppe   betrachtet. Die Definitionen können endlich oft iteriert werden.

Seien   und   Darstellungen der Gruppe   dann ist   eine Darstellung, wie durch die Identifikation

 

ersichtlich ist. Sei   und sei   die Darstellung auf     die Darstellung auf     die Darstellung auf   Dann liefert die obige Identifikation die Gleichung

 

für alle  

Die irreduziblen Darstellungen von   sind bis auf Isomorphie genau die Darstellungen  , für die   und   die irreduziblen Darstellungen von   bzw.   sind.

Dieses Ergebnis schränkt das Studium der Darstellungen von   auf das Studium der Darstellungen von   und   ein.

Das folgende Beispiel illustriert den Unterschied zwischen direkter Summe und Tensorprodukt. Sei

 

die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

 

Und sei

 

die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

 

Dann ist das äußere Tensorprodukt

 

gegeben durch   wobei  
Die lineare Abbildung   die zum Erzeuger   gehört, ist dann in der Basis von   gegeben durch:

 

Ein Vergleich mit der direkten Summe zeigt den Unterschied. Die erhaltenen Darstellungen besitzen auch nicht denselben Grad.

Symmetrisches und alternierendes QuadratBearbeiten

Sei   eine lineare Darstellung von   und   eine Basis von   Definiere

 

indem wir

 

linear fortsetzen. Dann gilt

 

und   Damit zerfällt   in

 

wobei

 

und

 

Diese Unterräume sind  invariant und definieren so Teildarstellungen, die symmetrisches bzw. alternierendes Quadrat genannt werden. Diese Teildarstellungen existieren auch für   werden dann allerdings mit Hutprodukt   und symmetrisches Produkt   bezeichnet. Im Falle   ergibt sich   dann im Allgemeinen nicht mehr als die direkte Summe der beiden Produkte.

Tensorprodukt von ModulnBearbeiten

Der Begriff des Tensorprodukts lässt sich von dem des Tensorprodukts von Vektorräumen über einem Körper auf den des Tensorprodukts von Moduln über einem (beliebigen, auch nichtkommutativen) Ring mit 1 verallgemeinern.

Um interessante Objekte auch im nichtkommutativen Fall zu erhalten, muss die Bedingung (3) geringfügig abgeschwächt werden.

Struktur der ElementeBearbeiten

Elementare TensorenBearbeiten

Ein elementarer Tensor (auch reiner oder einfacher Tensor) im Tensorprodukt   ist ein Element von der Form   mit  .

Allgemeine GestaltBearbeiten

Jedes Element des Tensorprodukts ist eine endliche Summe von elementaren Tensoren. Im Allgemeinen lässt sich nicht jeder Tensor als elementarer Tensor schreiben.

Zum Beispiel ist der Tensor   kein elementarer Tensor im Tensorprodukt  , wobei   die Standardbasisvektoren sind (dagegen   durchaus).

Ist   ein kommutativer Ring und   ein von einem Element erzeugter  -Modul, dann ist jeder Tensor des Tensorprodukts   ein elementarer Tensor für jeden beliebigen  -Modul  

Weiterführende BegriffeBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gottfried Köthe: Topological Vector spaces I (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 159). 2. Auflage. Springer, New York 1969, ISBN 0-387-04509-0, § 9. The algebraic dual space. Tensor products, 7. Linear mappings of tensor products, S. 80 (deutsch: Topologische Lineare Räume I. Übersetzt von D. J. H. Garling).
  2. Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3. 2. Auflage. Springer, 1998, ISBN 3-540-64243-9, § 4. Relations between tensor products and homomorphism modules. 2., S. 271 (Textarchiv – Internet Archive).