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Der metrische Tensor (auch Metriktensor oder Maßtensor) dient dazu, mathematische Räume, insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten.

Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden: im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich raumartig oder einheitlich zeitartig sind.

Für die Differentialgeometrie und die Allgemeine Relativitätstheorie bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine über inneres Produkt und Norm definierte Metrik, vom Ort abhängen kann.

Inhaltsverzeichnis

Definition und BedeutungBearbeiten

Der metrische Tensor   über einem affinen Punktraum   mit reellem Verschiebungsvektorraum   ist eine Abbildung von   in den Raum der Skalarprodukte auf  . Das heißt, für jeden Punkt   ist

 

eine positiv definite, symmetrische Bilinearform.

In Anlehnung an die Unterscheidung zwischen Metrik und Pseudometrik wird manchmal auch der Fall betrachtet, dass   für einige oder alle Punkte   nur positiv semidefinit ist, d.h. die Forderung der Definitheit

  für alle  

wird abgeschwächt zu

  für alle  .

Ein solcher Tensor   heißt dann pseudometrischer Tensor.

Ein metrischer Tensor definiert eine (vom Punkt   abhängige) Länge (Norm)   auf dem Vektorraum  :

 

Analog zum Standardskalarprodukt ist der Winkel   im Punkt   zwischen zwei Vektoren   definiert durch:

 

KoordinatendarstellungBearbeiten

Wenn ein lokales Koordinatensystem   auf   mit Basis   aus   gewählt wird, schreibt man die Komponenten von   als  . Unter Verwendung der einsteinschen Summenkonvention ist dann für die Vektoren   und  

 .

Im Sinne der Kategorientheorie ist der metrische Tensor kontravariant, da unter (affin) linearen injektiven Abbildungen   natürlicherweise aus einem metrischen Tensor auf   ein metrischer Tensor auf   konstruiert werden kann,

 .

In der Physik wird der metrische Tensor, oder besser seine Koordinatendarstellung   als kovariant bezeichnet, da sich seine Komponenten unter einem Koordinatenwechsel in jedem Index wie die Basis transformieren. Ist ein Koordinatenwechsel als

  bzw.  

gegeben, so transformieren sich Basisvektoren als

 

und es gilt für den metrischen Tensor

 

Länge von KurvenBearbeiten

Ist eine differenzierbare Kurve   im affinen Punktraum gegeben, so hat diese in jedem Zeitpunkt   einen Tangentialvektor

 .

Der gesamten Kurve oder einem Segment davon kann man nun mit Hilfe des metrischen Tensors eine Länge

 

zuordnen.

LinienelementBearbeiten

Der Ausdruck

 ,

wieder unter der Verwendung der Summenkonvention, heißt Linienelement. Substituiert man gemäß der Kettenregel

  und  ,

so ergibt sich

 .

  ist daher der Integrand des obigen Integrals zur Bestimmung einer Kurvenlänge.

Induzierter MetriktensorBearbeiten

Hat man eine  -dimensionale Untermannigfaltigkeit eines riemannschen Raumes mit der Metrik  , die mittels der Parameterdarstellung

 

gegeben ist, wird eine Metrik   induziert. Die   nennt man induzierte Koordinaten. Betrachtet man eine Kurve

 

auf dieser Teilmannigfaltigkeit, so erhält man für die Bogenlänge gemäß der Kettenregel

 .

Die Größe

 

ist der induzierte Metriktensor. Mit diesem ergibt sich die Kurvenlänge schließlich als

 .

BeispieleBearbeiten

Euklidischer RaumBearbeiten

In einem euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten ist der metrische Tensor durch die Einheitsmatrix

 

gegeben. Im euklidischen Raum ist nämlich das Skalarprodukt   gegeben und nach Voraussetzung soll der metrische Tensor diesem Skalarprodukt entsprechen. Also gilt für diesen in lokalen Koordinaten   wobei   die Vektoren der Standardbasis sind. Für beliebige Vektoren   und   des euklidischen Raums gilt

 

Hier wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Für die Kurvenlänge

 

und den Winkel

 

erhält man die üblichen Formeln der Vektoranalysis.

Wenn eine Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist, dann ergibt sich ihr metrischer Tensor aus der Jacobi-Matrix   der Einbettung als

 

In einigen anderen Koordinatensystemen lautet der metrische Tensor und das Linienelement des Euklidischen Raums wie folgt:

  • In Polarkoordinaten  :
 , bzw.
 
  • In Zylinderkoordinaten  :
 , bzw.
 
  • In Kugelkoordinaten  :
 , bzw.
 

Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie)Bearbeiten

Hauptartikel: Minkowski-Raum

Der flache Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie beschreibt eine vierdimensionale Raum-Zeit ohne Gravitation. Räumliche Abstände und Zeitspannen hängen in diesem Raum von der Wahl eines Inertialsystems ab; wenn man einen physikalischen Vorgang in zwei verschiedenen, gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen beschreibt, können sie verschiedene Werte annehmen.

Invariant unter Lorentztransformationen ist hingegen der sogenannte Viererabstand, der räumliche und zeitliche Abstände zusammenfasst. Unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit c berechnet sich dieser Viererabstand aus räumlichem Abstand   und Zeitspanne   als

 

Im Minkowski-Raum wird der kontravariante Orts-Vierervektor definiert durch  .

Der metrische (genauer: pseudometrische) Tensor lautet in einer Konvention, die vor allem in der Quantenfeldtheorie verwendet wird (Signatur −2, also +,−,−,−)

 .

In einer Konvention, die hauptsächlich in der Allgemeinen Relativitätstheorie benutzt wird (Signatur +2, also −,+,+,+), schreibt man

 .

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist der metrische Tensor ortsabhängig und bildet daher ein Tensorfeld, da die Krümmung der Raumzeit an verschiedenen Punkten meist verschieden ist.

LiteraturBearbeiten

  • Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit: Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-322-94260-0.
  • Chris Isham: Modern Differential Geometry for Physicists. Allied Publishers, 2002, ISBN 81-7764-316-9.