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Spatprodukt

mathematisches Objekt im Euklidischen Vektorraum
Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird

Das Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor. Es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds). Sein Betrag ist somit gleich dem Volumen des aufgespannten Spats. Das Vorzeichen ist positiv, falls diese drei Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden; bilden sie ein Linkssystem, so ist es negativ. Liegen die drei Vektoren in einer Ebene, so ist ihr Spatprodukt Null.

In kartesischen Koordinaten lässt sich das Spatprodukt auch mit Hilfe der aus den drei Vektoren gebildeten Determinante berechnen.

DefinitionBearbeiten

Das Spatprodukt   dreier Vektoren  ,   und   des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums   kann wie folgt definiert werden:

 .

NotationBearbeiten

Oft wird für das Spatprodukt keine eigene Notation eingeführt, sondern man schreibt einfach  . Andere gebräuchliche Notationen sind:  ,   und  .

EigenschaftenBearbeiten

 .
  • Man kann das Spatprodukt mit Hilfe der Determinante berechnen. Für
 
gilt
 .
Der Beweis kann zum Beispiel durch einfaches Ausrechnen erbracht werden, siehe unten.
  • Da im Spatprodukt die Vektoren zyklisch vertauscht werden können und das Skalarprodukt kommutativ ist, gilt
 .
Man kann also bei entsprechend angepasster Klammerung (die anders unsinnig wäre) die beiden Rechenzeichen „vertauschen“.
  • Im Gegensatz zur zyklischen Vertauschung tritt bei der Vertauschung zweier Faktoren ein Vorzeichenwechsel auf:
 .
  • Weiter gilt wegen  :
 .
  • Die Multiplikation mit einem Skalar   ist assoziativ:
 .
 .

Geometrische InterpretationBearbeiten

Betrag des Volumens und orientiertes VolumenBearbeiten

Das Volumen   des von den drei Vektoren   aufgespannten Spats (Parallelepipeds) ist gleich dem Betrag des Spatprodukts:

 .

Verzichtet man darauf, den Betrag zu bilden, so erhält man das orientierte Volumen. Der von den 3 Vektoren aufgespannte (unregelmäßige) Tetraeder hat   des Volumens des Spats.

HerleitungBearbeiten

Das Volumen eines Spats errechnet sich aus dem Produkt seiner Grundfläche und seiner Höhe.

 

Das Kreuzprodukt   ist der Normalenvektor auf der durch   und   aufgespannten Grundfläche, der mit   und   ein rechtshändiges Koordinatensystem bildet und dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt des durch   und   aufgespannten Parallelogramms ist, also  .

Die Höhe des Spats ist die Projektion des Vektors   auf die Richtung dieses Normalenvektors (dessen Einheitsvektor). Wenn diese den Winkel   einschließen, gilt nach der Definition des Skalarprodukts

 .

Es folgt

 .

Das Volumen ist null für   gleich 90°, wenn also die Vektoren in einer Ebene liegen. Sie heißen dann komplanar und linear abhängig.

Das orientierte Volumen ist negativ, falls   größer ist als 90°. Dann zeigen Vektorprodukt und projizierte Höhe in entgegengesetzte Richtungen, weil die Vektoren ein Linkssystem bilden.

Herleitung der algebraischen EigenschaftenBearbeiten

Das Spatprodukt kann auch mit dem Levi-Civita-Symbol hergeleitet werden. Dafür wird zuerst das Skalarprodukt durch eine Summe dargestellt:

 

Das Kreuzprodukt wird nun mit dem Levi-Civita-Symbol durch eine Summenschreibweise dargestellt:

 

Der total antisymmetrische Epsilontensor   ist gleich   bzw. gleich  . Damit lässt sich das Spatprodukt wie folgt ausdrücken:

 

Die Summenzeichen können vertauscht werden. Außerdem kann man nun geschickt Klammern setzen:

 

Schreibt man die Kreuzprodukte nun wieder ohne Levi-Civita-Symbol, so ergibt sich die gewünschte Identität:

 

WortherkunftBearbeiten

Die Bezeichnung Spatprodukt geht auf die Bezeichnung „Spat“ für ein Parallelflach (Parallelepiped, Parallelotop) zurück. In der Geologie deutet die Nachsilbe -spat auf eine gute Spaltbarkeit des betreffenden Minerals hin. Beispiele: Feldspat, Kalkspat. Diese Spate weisen klare Bruchlinien auf. Insbesondere die Kristalle des Kalkspates ähneln dem geometrischen Ideal eines Parallelflachs sehr stark. Über die Volumenberechnung eines solchen Parallelflachs bzw. Spates ergibt sich damit die Bezeichnung Spatprodukt.

LiteraturBearbeiten

  • Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2.

WeblinksBearbeiten