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In der linearen Algebra ist die Determinante eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Einträgen berechnet werden kann. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert, und ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Allgemeiner kann die Determinante einer linearen Selbstabbildung (Endomorphismus) zugeordnet werden.

Zum Beispiel kann die Determinante einer -Matrix

mit der Formel

berechnet werden.

Mit Hilfe von Determinanten kann man beispielsweise feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit Hilfe der cramerschen Regel explizit angeben. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Schreibt man Vektoren im als Spalten einer quadratischen Matrix, so kann die Determinante dieser Matrix gebildet werden. Bilden bei dieser Festlegung die Vektoren eine Basis, so kann das Vorzeichen der Determinante dazu verwendet werden die Orientierung von euklidischen Räumen zu definieren. Der Absolutbetrag dieser Determinante entspricht zugleich dem Volumen des Parallelepipeds (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird.

Wird die lineare Abbildung durch die Matrix repräsentiert und ist eine beliebige messbare Teilmenge, dann folgt, dass das Volumen von durch gegeben ist.

Wird die lineare Abbildung durch die -Matrix repräsentiert und ist eine beliebige messbare Teilmenge, so gilt im Allgemeinen, dass das -dimensionale Volumen von durch gegeben ist.

Inhaltsverzeichnis

GeschichteBearbeiten

Historisch hängen Determinanten (lat. determinare „abgrenzen“, „bestimmen“) und Matrizen sehr eng zusammen, was auch nach unserem heutigen Verständnis noch so ist. Allerdings wurde der Begriff der Matrix erst über 200 Jahre nach den ersten Überlegungen zu Determinanten geprägt. Ursprünglich wurde eine Determinante im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen betrachtet. Die Determinante „determiniert“, ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich null ist). Die ersten Betrachtungen dieser Art für 2×2-Matrizen wurden von Gerolamo Cardano Ende des 16. Jahrhunderts durchgeführt. Zirka hundert Jahre später studierten Gottfried Wilhelm Leibniz und Seki Takakazu unabhängig voneinander Determinanten größerer linearer Gleichungssysteme.[1] Seki, der mittels Determinanten versuchte, schematische Lösungsformeln für Gleichungssysteme anzugeben, fand für den Fall von drei Unbekannten eine Vorschrift, die der späteren sarrusschen Regel entsprach.[2]

Im 18. Jahrhundert wurden Determinanten ein fester Bestandteil der Technik zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Im Zusammenhang mit seinen Studien zu Schnittpunkten zweier algebraischer Kurven berechnete Gabriel Cramer die Koeffizienten eines allgemeinen Kegelschnitts

 

der durch fünf vorgegebene Punkte verläuft und stellte dabei die heute nach ihm benannte Cramersche Regel auf. Für Gleichungssysteme mit bis zu vier Unbekannten trat diese Formel schon bei Colin Maclaurin auf.[2]

Mehrere bekannte Mathematiker wie Étienne Bézout, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange und Pierre-Simon Laplace befassten sich nun vor allem mit der Berechnung von Determinanten. Einen wichtigen Fortschritt in der Theorie erzielte Alexandre-Théophile Vandermonde in einer 1771 vollendeten und 1776 erschienenen Arbeit zur Eliminationstheorie. Darin formulierte er einige grundlegende Aussagen über Determinanten und gilt daher als ein Begründer der Theorie der Determinante. Zu diesen Resultaten gehörte beispielsweise die Aussage, dass eine gerade Anzahl von Vertauschungen zweier benachbarter Spalten oder Zeilen das Vorzeichen der Determinante nicht ändert, wohingegen sich das Vorzeichen der Determinante bei einer ungeraden Anzahl von Vertauschungen benachbarter Spalten oder Zeilen ändert.[2]

Während seiner Untersuchungen von binären und ternären quadratischen Formen verwendete Gauß die schematische Notation einer Matrix ohne dieses Zahlenfeld als Matrix zu bezeichnen. Dabei definierte er als Nebenprodukt seiner Untersuchungen die heutige Matrizenmultiplikation und zeigte für gewisse Spezialfälle den Determinantenproduktsatz. Augustin-Louis Cauchy systematisierte die Theorie der Determinante weiter. Er führte beispielsweise die konjugierten Elemente ein und unterschied klar zwischen den einzelnen Elementen der Determinante beziehungsweise zwischen den Unterdeterminanten verschiedener Ordnung. Außerdem formulierte und bewies er Sätze über Determinanten wie zum Beispiel den Determinantenproduktsatz oder dessen Verallgemeinerung, die Formel von Binet-Cauchy. Außerdem trug er wesentlich dazu bei, dass sich der Begriff „Determinante“ für diese Abbildung durchsetzte. Daher kann insgesamt auch Augustin-Louis Cauchy als Begründer der Theorie der Determinante angesehen werden.[2]

Die axiomatische Behandlung der Determinante als Funktion von   unabhängigen Variablen gibt als erster Karl Weierstraß in seinen Berliner Vorlesungen (spätestens ab dem Jahre 1864 und möglicherweise schon davor), an die dann Ferdinand Georg Frobenius in seinen Berliner Vorlesungen des Sommersemesters 1874 anknüpft und dabei unter anderem und vermutlich als erster den laplaceschen Entwicklungssatz systematisch auf diese Axiomatik zurückführt.[3]

DefinitionBearbeiten

Determinante einer quadratischen Matrix (axiomatische Beschreibung)Bearbeiten

Eine Abbildung   vom Raum der quadratischen Matrizen in den zugrunde liegenden Körper   bildet jede Matrix auf ihre Determinante ab, wenn sie folgende drei Eigenschaften (Axiome nach Karl Weierstraß)[4] erfüllt, wobei eine quadratische Matrix spaltenweise als   geschrieben wird:

  • Sie ist multilinear, d. h. linear in jeder Spalte:
Für alle   gilt:
 
Für alle   und alle   gilt:
 
  • Sie ist alternierend, d. h., wenn in zwei Spalten das gleiche Argument steht, ist die Determinante gleich 0:
Für alle   und alle   gilt:
 
Hieraus folgt, dass sich das Vorzeichen ändert, wenn man zwei Spalten vertauscht:
Für alle   und alle   gilt:
 
Oft wird diese Folgerung zur Definition von alternierend verwendet. Im Allgemeinen ist diese jedoch nicht zur obigen äquivalent. Wird alternierend nämlich auf die zweite Weise definiert, gibt es keine eindeutige Determinantenform, wenn der Körper, über dem der Vektorraum gebildet wird, ein von 0 verschiedenes Element   mit   besitzt (Charakteristik 2).
 

Es lässt sich beweisen (und Karl Weierstraß hat dies 1864 oder sogar früher getan),[3] dass es eine und nur eine solche normierte alternierende Multilinearform auf der Algebra der  -Matrizen über dem zugrundeliegenden Körper gibt – nämlich diese Determinantenfunktion   (Weierstraßsche Determinantenkennzeichnung).[5] Auch die schon erwähnte geometrische Interpretation (Volumeneigenschaft und Orientierung) folgt daraus.

Leibniz-FormelBearbeiten

Für eine  -Matrix wurde die Determinante von Gottfried Wilhelm Leibniz durch die heute als Leibniz-Formel bekannte Formel für die Determinante einer Matrix   definiert:

 

Die Summe wird über alle Permutationen   der symmetrischen Gruppe   vom Grad n berechnet.   bezeichnet das Signum der Permutation   (+1, falls   eine gerade Permutation ist, und −1, falls sie ungerade ist) und   ist der Funktionswert der Permutation   an der Stelle  .

Diese Formel enthält   Summanden und wird deshalb umso unhandlicher, je größer   ist. Sie eignet sich jedoch gut zum Beweis von Aussagen über Determinanten. Beispielsweise ist mit ihrer Hilfe die Stetigkeit der Determinantenfunktion ersichtlich.

Eine alternative Schreibweise der Leibniz-Formel verwendet das Levi-Civita-Symbol und die Einsteinsche Summenkonvention:

 

Determinante eines EndomorphismusBearbeiten

Da ähnliche Matrizen die gleiche Determinante haben, kann man die Definition der Determinante von quadratischen Matrizen auf die durch diese Matrizen dargestellten linearen Selbstabbildungen (Endomorphismen) übertragen:

Die Determinante   einer linearen Abbildung   eines Vektorraums   in sich ist die Determinante   einer Darstellungsmatrix   von   bezüglich einer Basis von  . Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis.

Hierbei kann   ein beliebiger endlichdimensionaler Vektorraum über einem beliebigen Körper   sein. Allgemeiner kann man auch einen kommutativen Ring   mit Einselement und einen freien Modul vom Rang   über   betrachten.

Die Definition lässt sich ohne Verwendung von Matrizen folgendermaßen formulieren: Es sei   eine Determinantenfunktion. Dann ist   bestimmt durch  , wobei   der Rücktransport von Multilinearformen durch   ist. Es sei   eine Basis von  . Dann gilt:

 

Es ist   unabhängig von der Wahl von   und der Basis. Geometrisch interpretiert erhält man das Volumen des von   aufgespannten Spates, indem man das Volumen des von   aufgespannten Spates mit dem Faktor   multipliziert.

Eine alternative Definition ist die folgende: Es sei   die Dimension von   und   die  -te äußere Potenz von  . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung  , die durch

 

festgelegt ist. (Diese Abbildung   ergibt sich durch universelle Konstruktion als Fortsetzung von   auf die äußere Algebra  , eingeschränkt auf die Komponente vom Grad  .)

Da der Vektorraum   eindimensional ist, ist   einfach nur die Multiplikation mit einem Körperelement. Dieses Körperelement ist  . Es gilt also

 .

BerechnungBearbeiten

Quadratische Matrizen bis zur Größe 3 × 3Bearbeiten

Rechenregeln für die Berechnung der DeterminanteBearbeiten

Die  -Matrix hat die Determinante 1.

Für eine nur aus einem Koeffizienten bestehende  -Matrix   ist

 

Ist   eine  -Matrix, dann ist

 

Für eine  -Matrix   gilt die Formel

 

Will man diese Determinante von Hand berechnen, so stellt die Regel von Sarrus dafür ein einfaches Schema zur Verfügung.

SpatproduktBearbeiten

Liegt eine  -Matrix vor, lässt sich deren Determinante auch über das Spatprodukt berechnen.

Gaußsches Eliminationsverfahren zur DeterminantenberechnungBearbeiten

Allgemein können Determinanten mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren unter Verwendung der folgenden Regeln berechnet werden:

  • Ist   eine Dreiecksmatrix, dann ist das Produkt der Hauptdiagonalelemente die Determinante von  .
  • Falls   sich aus   ergibt, indem man zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, dann ist  .
  • Falls   sich aus   ergibt, indem man ein Vielfaches einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte addiert, dann ist  .
  • Falls   sich aus   ergibt, indem man das  -Fache einer Zeile oder Spalte bildet, dann ist  .

Beginnend mit einer beliebigen quadratischen Matrix benutzt man die letzten drei dieser vier Regeln, um die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen, und berechnet dann die Determinante als Produkt der Diagonalelemente.

Auf diesem Prinzip basiert auch die Determinantenberechnung mittels der LR-Zerlegung. Da sowohl   als auch   Dreiecksmatrizen sind, ergeben sich ihre Determinanten aus dem Produkt der Diagonalelemente, die bei   alle auf 1 normiert sind. Gemäß dem Determinantenproduktsatz ergibt sich die Determinante damit aus dem Zusammenhang

 

Laplacescher EntwicklungssatzBearbeiten

Entwicklung der Determinante nach Spalte oder ZeileBearbeiten

Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Determinante einer  -Matrix „nach einer Zeile oder Spalte entwickeln“. Die beiden Formeln lauten

  (Entwicklung nach der  -ten Spalte)
  (Entwicklung nach der  -ten Zeile),

wobei   die  -Untermatrix von   ist, die durch Streichen der  -ten Zeile und  -ten Spalte entsteht. Das Produkt   wird Cofaktor   genannt.

Genau genommen gibt der Entwicklungssatz nur ein Verfahren an, die Summanden der Leibniz-Formel in einer bestimmten Reihenfolge zu berechnen. Dabei wird die Determinante bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert. Falls gewünscht, kann das Verfahren so lange angewandt werden, bis sich ein Skalar ergibt. Ein Beispiel ist

 

(Entwicklung nach der ersten Zeile) oder allgemein

 

Der laplacesche Entwicklungssatz lässt sich auf folgende Weise verallgemeinern. Statt nur nach einer Zeile oder Spalte kann man auch nach mehreren Zeilen oder Spalten entwickeln. Die Formel dafür lautet

 

mit den folgenden Bezeichnungen:   und   sind Teilmengen von   und   ist die Untermatrix von  , die aus den Zeilen mit den Indizes aus   und den Spalten mit den Indizes aus   besteht.   und   bezeichnen die Komplemente von   und  .   ist die Summe der Indizes aus  . Für die Entwicklung nach den Zeilen mit den Indizes aus   läuft die Summe über alle  , wobei die Anzahl dieser Spaltenindizes   gleich der Anzahl der Zeilen   ist, nach denen entwickelt wird. Für die Entwicklung nach den Spalten mit den Indizes aus   läuft die Summe über  . Die Anzahl der Summanden ergibt sich als der Binomialkoeffizient   mit  .

EffizienzBearbeiten

Der Aufwand für die Berechnung nach dem laplaceschen Entwicklungssatz für eine Matrix der Dimension   ist von der Ordnung  , während die üblichen Verfahren nur von   sind und teilweise noch besser (siehe beispielsweise Strassen-Algorithmus) gestaltet werden können. Dennoch kann der laplacesche Entwicklungssatz bei kleinen Matrizen und Matrizen mit vielen Nullen gut angewendet werden.

EigenschaftenBearbeiten

DeterminantenproduktsatzBearbeiten

Die Determinante ist eine multiplikative Abbildung in dem Sinne, dass

  für alle  -Matrizen   und  .

Das bedeutet, dass die Abbildung   ein Gruppenhomomorphismus von der allgemeinen linearen Gruppe in die Einheitengruppe   des Körpers ist. Der Kern dieser Abbildung ist die spezielle lineare Gruppe.

Allgemeiner gilt für die Determinante einer quadratischen Matrix, die das Produkt zweier (nicht notwendig quadratischer) Matrizen ist, der Satz von Binet-Cauchy. Noch allgemeiner ergibt sich als unmittelbare Folgerung aus dem Satz von Binet-Cauchy eine Formel für die Berechnung eines Minors der Ordnung   eines Produktes zweier Matrizen. Ist   eine  -Matrix und   eine  -Matrix und ist   und   mit  , dann gilt mit den Bezeichnungen wie beim verallgemeinerten Entwicklungssatz

 

Der Fall   liefert den Satz von Binet-Cauchy (der für   zum gewöhnlichen Determinantenproduktsatz wird) und der Spezialfall   liefert die Formel für die gewöhnliche Matrizenmultiplikation.

Multiplikation mit SkalarenBearbeiten

Es ist einfach zu sehen, dass   und somit

      für alle  -Matrizen   und alle Skalare  .

Existenz der inversen MatrixBearbeiten

Eine Matrix   ist genau dann invertierbar (also regulär), falls   eine Einheit des zugrundeliegenden Ringes ist (das heißt   für Körper). Falls   invertierbar ist, dann gilt für die Determinante der Inversen  .

Transponierte MatrixBearbeiten

Eine Matrix und ihre Transponierte haben dieselbe Determinante:

 

Ähnliche MatrizenBearbeiten

Falls   und   ähnlich sind, das heißt, falls eine invertierbare Matrix   existiert, sodass  , dann stimmen ihre Determinanten überein, denn

 .

Deswegen kann man unabhängig von einer Koordinatendarstellung die Determinante einer linearen Selbstabbildung   definieren (wobei   ein endlichdimensionaler Vektorraum ist), indem man eine Basis für   wählt, die Abbildung   durch eine Matrix relativ zu dieser Basis beschreibt und die Determinante dieser Matrix nimmt. Das Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Basis.

Es gibt Matrizen, die die gleiche Determinante haben, aber nicht ähnlich sind.

DreiecksmatrizenBearbeiten

Bei einer Dreiecksmatrix sind alle Einträge unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonale gleich  , die Determinante ist das Produkt aller Hauptdiagonalelemente:

 

BlockmatrizenBearbeiten

Für die Determinante einer  -Blockmatrix

 

mit quadratischen Blöcken   und   kann man unter gewissen Voraussetzungen Formeln angeben, welche die Blockstruktur ausnutzen. Für   oder   folgt aus dem verallgemeinerten Entwicklungssatz:

 .

Diese Formel wird auch Kästchensatz genannt.[6]

Ist   invertierbar, so folgt aus der Zerlegung

 

die Formel

 

Wenn   invertierbar ist, so lässt sich formulieren:

 [7]

Im Spezialfall, dass alle vier Blöcke die gleiche Größe haben und paarweise kommutieren, ergibt sich daraus mit Hilfe des Determinantenproduktsatzes

 

Dabei bezeichne   einen kommutativen Unterring des Ringes aller  -Matrizen mit Einträgen aus dem Körper  , sodass   (zum Beispiel den von diesen vier Matrizen erzeugten Unterring), und   sei die entsprechende Abbildung, die einer quadratischen Matrix mit Einträgen aus   ihre Determinante zuordnet. Diese Formel gilt auch, falls A nicht invertierbar ist, und verallgemeinert sich für Matrizen aus  .[8]

Eigenwerte und charakteristisches PolynomBearbeiten

Ist das charakteristische Polynom der  -Matrix  

 
 ,

so ist   die Determinante von  .

Zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren (mit nicht notwendigerweise verschiedenen  ):

 ,

so ist insbesondere

 .

Sind   die verschiedenen Eigenwerte der Matrix   mit  -dimensionalen verallgemeinerten Eigenräumen, so ist

 .

Stetigkeit und DifferenzierbarkeitBearbeiten

Die Determinante von reellen quadratischen Matrizen fester Dimension   ist eine Polynomfunktion  , was direkt aus der Leibniz-Formel folgt. Als solche ist sie überall stetig und differenzierbar. Ihr totales Differential an der Stelle   kann mit Hilfe von Jacobis Formel dargestellt werden:

 

wobei   die zu   komplementäre Matrix und   die Spur einer Matrix bezeichnet. Insbesondere ergibt sich für invertierbares  , dass

 

oder als Näherungsformel

 

falls die Werte der Matrix   hinreichend klein sind. Der Spezialfall, wenn   gleich der Einheitsmatrix   ist, ergibt

 

PermanenteBearbeiten

Die Permanente ist ein „vorzeichenloses“ Analogon zur Determinante, wird allerdings viel seltener verwendet.

VerallgemeinerungBearbeiten

Die Determinante kann auch auf Matrizen mit Einträgen in einem kommutativen Ring mit Eins definiert werden. Dies erfolgt mit Hilfe einer gewissen antisymmetrischen multilinearen Abbildung: Falls   ein kommutativer Ring ist und   der  -dimensionale freie  -Modul, dann sei

 

die eindeutig bestimmte Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:

  •   ist  -linear in jedem der   Argumente.
  •   ist antisymmetrisch, d. h., falls zwei der   Argumente gleich sind, so liefert   Null.
  •  , wobei   das Element von   ist, das eine 1 als  -te Koordinate hat und sonst Nullen.

Eine Abbildung mit den ersten beiden Eigenschaften wird auch als Determinantenfunktion, Volumen oder alternierende  -Linearform bezeichnet. Man erhält die Determinante, indem man   auf natürliche Weise mit dem Raum der quadratischen Matrizen   identifiziert:

 

Spezielle DeterminantenBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wikiversity: Einführung der Determinante – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

LiteraturBearbeiten

  • Ferdinand Georg Frobenius: Zur Theorie der linearen Gleichungen. In: J. Reine Ang. Math. (Crelles Journal). Band 129, 1905, S. 175–180.
  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15., verbesserte Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0031-7.
  • Günter Pickert: Analytische Geometrie. 6., durchgesehene Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1967.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eberhard Knobloch: Erste europäische Determinantentheorie. In: Erwin Stein, Albert Heinekamp (Hrsg.): Gottfried Wilhelm Leibniz – Das Wirken des großen Philosophen und Universalgelehrten als Mathematiker, Physiker, Techniker. Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Gesellschaft, Hannover 1990, S. 32–41. ISBN 3-9800978-4-6.
  2. a b c d Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 335–339.
  3. a b Ferdinand Georg Frobenius: Zur Theorie der linearen Gleichungen. In: J. Reine Ang. Math. (Crelles Journal). Band 129, 1905, S. 179–180.
  4. Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15., verbesserte Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0031-7, S. 178.
  5. Günter Pickert: Analytische Geometrie. 6., durchgesehene Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1967, S. 130.
  6. Christoph Ableitinger, Angela Herrmann: Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra. Ein Arbeits- und Übungsbuch. 1. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1724-2, S. 114.
  7. Matrix Reference Manual.
  8. John R. Silvester: Determinants of Block Matrices. In: The Mathematical Gazette. Bd. 84, Nr. 501 (November 2000), S. 460–467, (PDF; 152 kB). (Memento vom 10. Juni 2009 im Internet Archive). Bei: mth.kcl.ac.uk.