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Einheit (Mathematik)

in der Mathematik in einem unitären Ring jeder beidseitige Teiler von 1

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Monoid, wobei mit   das neutrale Element bezeichnet wird. Dann heißt ein Element   eine Einheit, wenn es invertierbar ist, also wenn es ein   gibt mit

 .

Das Element   mit dieser Eigenschaft ist eindeutig bestimmt und wird als das inverse Element von   bezeichnet und oft als   notiert.[1]

Elemente, die keine Einheiten sind, werden oft als Nichteinheiten bezeichnet.

Die Menge   aller Einheiten eines Monoids, also

 

bildet eine Gruppe, die Einheitengruppe von  .[2] Eine weitere übliche Bezeichnung für die Einheitengruppe ist  .

Spezialfall: Einheiten in unitären RingenBearbeiten

Sei   ein unitärer Ring, also ein Ring mit einem neutralen Element bezüglich der Multiplikation, das mit   bezeichnet wird. Dann ist   ein Monoid und damit ist der Begriff der Einheit für einen unitären Ring definiert und ist gerade die Menge der invertierbaren Elemente.[3]

BeispieleBearbeiten

  •   ist immer eine Einheit, weil  .
  •   ist in einem Ring genau dann eine Einheit, wenn der Ring der Nullring ist.
  • In einem Körper   ist  . Das heißt, in einem Körper ist außer der 0 jedes Element eine Einheit. Allgemein werden vom Nullring verschiedene Ringe, in denen außer   alle Elemente Einheiten sind, als Schiefkörper bezeichnet.
  • In dem Polynomring über einem Integritätsring   gilt  . Insbesondere erhält man für einen Körper  , dass  . Die Einheiten entsprechen hier genau den Polynomen mit Grad null.
  • Die Einheiten im Ring der formalen Potenzreihen   über einem kommutativen Ring   sind genau die Potenzreihen, deren Absolutglied   eine Einheit in   ist.
  • Für einen unitären Ring   ist die Einheitengruppe im Matrizenring   die allgemeine lineare Gruppe   bestehend aus den regulären Matrizen.
  • Im Ring   der ganzen Zahlen gibt es nur die Einheiten   und  .
  • Im Ring   der ganzen gaußschen Zahlen gibt es die vier Einheiten  .
  • Im Ring   gibt es unendlich viele Einheiten. Es ist   und damit sind auch alle   für   Einheiten.
  • Die letzten beiden Ringe sind Beispiele für Ganzheitsringe quadratischer Zahlkörper. Bei diesen sind die Erzeuger der Einheitengruppe bekannt. Über allgemeineren Zahlkörpern trifft der Dirichletsche Einheitensatz eine schwächere Aussage über die Struktur der Einheiten.

EigenschaftenBearbeiten

  • Einheiten in unitären Ringen sind nie Nullteiler.
  • Sind   Einheiten, dann sind auch   und   Einheiten. Daraus folgt, dass die Einheitengruppe tatsächlich eine Gruppe ist.
  • Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Integritätsrings sind stets zyklisch.[4]
  • Jede Nichteinheit eines kommutativen unitären Rings liegt in einem maximalen Ideal. Insbesondere ist die Einheitengruppe gerade das Komplement der Vereinigung aller maximaler Ideale und ein Ring hat genau dann nur ein maximales Ideal, ist also ein lokaler Ring, wenn die Nichteinheiten ein Ideal bilden.

Verallgemeinerung: Links- und RechtseinheitenBearbeiten

Ist das Monoid   nicht kommutativ, so können auch einseitige Einheiten betrachtet werden

  • Ein Element  , das die Bedingung   für ein Element   erfüllt, heißt Linkseinheit.
  • Ein Element  , das die Bedingung   für ein Element   erfüllt, heißt Rechtseinheit.

Ein Element   ist genau dann eine Einheit, wenn es gleichzeitig eine Linkseinheit und eine Rechtseinheit ist. In einem kommutativen Monoid stimmen die drei Begriffe überein.   bleibt auch im nicht-kommutativen Fall eine beidseitige Einheit.

BeispielBearbeiten

Es gibt den folgenden Ring  , in dem es eine Linkseinheit   gibt, die keine Rechtseinheit ist, und eine Rechtseinheit  , die keine Linkseinheit ist. Außerdem sind   und   noch einseitige Nullteiler.

  bestehe aus allen Matrizen der Größe „abzählbar-mal-abzählbar“ mit Komponenten in den reellen Zahlen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte nur endlich viele Nicht-Nullen stehen (insgesamt dürfen dabei unendlich viele Nicht-Nullen enthalten sein).   ist ein Ring mit der gewöhnlichen Matrizenaddition und Matrizenmultiplikation. Die Einheitsmatrix   hat nur Einsen auf der Hauptdiagonalen und sonst Nullen, sie ist das Einselement von   (das neutrale Element der Multiplikation).

  sei die Matrix in  , die in der ersten oberen Nebendiagonalen nur Einsen hat und sonst nur Nullen:

 

  sei die Transponierte   von  , also die Matrix, die in der ersten Diagonalen unterhalb der Hauptdiagonalen nur Einsen hat, und sonst nur Nullen.

Es ist  , also ist   eine Linkseinheit und   eine Rechtseinheit. Für jedes Element   von   hat aber das Produkt   in der ersten Spalte nur Nullen, und das Produkt   in der ersten Zeile nur Nullen. Damit kann   keine Rechtseinheit und   keine Linkseinheit sein. Mit der Matrix  , die nur in der Komponente   eine Eins und sonst nur Nullen enthält, ist   und  , also ist   ein Linksnullteiler und   ein Rechtsnullteiler.

Eine funktionalanalytische Variante dieses Beispiels ist der unilaterale Shiftoperator.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Karpfinger, Meyberg: Algebra 2013, S. 9
  2. Karpfinger, Meyberg: Algebra 2013, Lemma 2.4
  3. Karpfinger, Meyberg: Algebra 2013, 13.3
  4. Karpfinger, Meyberg: Algebra 2013, 14.9