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Der Hauptraum ist ein Begriff aus der linearen Algebra und eine Verallgemeinerung des Eigenraums. Haupträume spielen eine große Rolle beim Aufstellen der jordanschen Normalform und der Berechnung einer zugehörigen Basis.

Inhaltsverzeichnis

Definition des HauptraumsBearbeiten

Ist   eine lineare Abbildung aus einem endlichdimensionalen Vektorraum   in sich selbst,   ein Eigenwert von   und bezeichnet   die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes  , dann nennt man den Kern der  -fachen Hintereinanderausführung von   Hauptraum zum Eigenwert  , d. h.

 .

Dabei steht   für die identische Abbildung auf  . Der Hauptraum wird also von genau den Vektoren   aufgespannt, für die   gilt. Insbesondere ist der Eigenraum zu einem Eigenwert ein Untervektorraum des Hauptraums zu diesem Eigenwert.

HauptvektorBearbeiten

Die Elemente des Hauptraums werden manchmal auch Hauptvektoren genannt. Diesen Hauptvektoren kann man eine Stufe oder einen Level zuordnen. Sei   ein Endomorphismus und   ein Eigenwert des Endomorphismus. Ein Vektor   heißt Hauptvektor der Stufe  , wenn

 

aber

 

gilt. Alle Eigenvektoren sind somit Hauptvektoren der Stufe 1.

Satz über die HauptraumzerlegungBearbeiten

Es sei   ein Endomorphismus, und sein charakteristisches Polynom

 

zerfalle vollständig in Linearfaktoren mit paarweise verschiedenen  . Dann gilt:

  1. Der Hauptraum ist  -invariant, das heißt  .
  2. Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also  .
  3. Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung (innere direkte Summe) von  . Es gilt also  .
  4. Der Endomorphismus   besitzt eine Zerlegung  . Darin ist   diagonalisierbar,   ist nilpotent, und es gilt  .

BeispielBearbeiten

Sei eine Matrix   gegeben, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt:

 .

Außerdem soll gelten:

 

Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 2 beträgt 3 und die des Eigenwerts 4 beträgt 3. Die Eigenräume haben die Dimension 2 bzw. 1, also kleiner als die jeweilige algebraische Vielfachheit, weshalb die Matrix nicht diagonalisierbar ist. Es lässt sich aber die Jordansche Normalform   konstruieren

 

über eine Ähnlichkeitstransformation mit der Transformationsmatrix  

 ,

wobei die Spaltenvektoren von   den Hauptvektoren   entsprechen:

 

Die Transformation   lautet mit Hilfe der Hauptvektoren:

 

Somit folgt:

 

 ,   und   sind Hauptvektoren erster Stufe (also Eigenvektoren),   und   Hauptvektoren zweiter Stufe und   ist ein Hauptvektor dritter Stufe.

Damit werden die Kerne der Abbildungen   wie folgt von den Hauptvektoren aufgespannt:

 

Die Haupträume und Eigenräume zu den beiden Eigenwerten lauten damit, wobei die Eigenräume Unterräume der jeweiligen Haupträume sind:

 

Die Dimensionen der Haupträume stimmen mit den Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynoms überein, also   und  . Die Haupträume bilden eine direkte Zerlegung von  , d. h.  .

Die Matrix   besitzt eine Zerlegung  , wobei   diagonalisierbar und   nilpotent ist:   mit

 

LiteraturBearbeiten