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Die jordansche Normalform ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Benannt wurde sie nach Marie Ennemond Camille Jordan, der sie 1870 für endliche Körper und 1871 im Zusammenhang mit der Lösung komplexer Differentialgleichungssysteme für komplexe Matrizen herleitete, die aber auch schon 1868 Karl Weierstraß in seiner Behandlung bilinearer Formen im Komplexen bekannt war[1]. Die jordansche Normalform ist ein einfacher Vertreter der Äquivalenzklasse der zu einer trigonalisierbaren Matrix ähnlichen Matrizen. Die Trigonalisierbarkeit ist gleichbedeutend damit, dass das charakteristische Polynom der Matrix vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Matrizen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind immer trigonalisierbar und daher immer ähnlich einer jordanschen Normalform.

Für jede lineare Abbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums, deren charakteristisches Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt, kann eine Vektorraumbasis gewählt werden, so dass die Abbildungsmatrix, die die Abbildung bezüglich dieser Basis beschreibt, jordansche Normalform hat.

Für jede beliebige, auch nicht trigonalisierbare Matrix liefert die rationale Normalform oder Frobenius-Normalform einen standardisierten Repräsentanten der Ähnlichkeitsklasse dieser Matrix.

DefinitionBearbeiten

Die jordansche Normalform zu einer quadratischen  -Matrix   über den komplexen Zahlen   ist eine Matrix   in der folgenden Blockdiagonalform:

 

Die Matrix   ist die Matrix der Eigenvektoren und Hauptvektoren, aus denen sie spaltenweise besteht.   bezeichnet dabei die inverse Matrix von  . Die Matrizen   heißen Jordanblöcke und sie sind Bidiagonalmatrizen mit der folgenden Form:

 

Die   sind dabei die Eigenwerte von  . Zu jedem Eigenwert   gibt es seiner geometrischen Vielfachheit entsprechend viele Jordanblöcke. Die geometrische Vielfachheit ist dabei die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert  . Die Gesamtdimension aller Jordanblöcke eines Eigenwertes entspricht seiner algebraischen Vielfachheit, d. h. seiner Vielfachheit im charakteristischen Polynom.

In einem Jordanblock sind die sogenannten Jordanketten „gespeichert“ (siehe Hauptvektor). Besteht   z. B. nur aus einem Jordanblock mit Eigenwert   und bezeichne   einen Hauptvektor  -ter Stufe. Dabei ist   ein Eigenvektor zum Eigenwert   und es gilt   und   für  . Es gilt dann   und   für  , das heißt, die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis   ist tatsächlich ein Jordanblock.

Es existiert noch die alternative Darstellung der Jordanblöcke mit 1 in der unteren Nebendiagonalen.

Im Spezialfall einer diagonalisierbaren Matrix ist die jordansche Normalform eine Diagonalmatrix.

Form der TransformationsmatrixBearbeiten

Es seien   Hauptvektoren der jeweils  -ten Stufe, wobei   die Dimension des  -ten Jordanblocks ist,  .

Dann ist  , definiert durch

 

eine Transformationsmatrix, die mittels   die Jordan-Normalform   von   herstellt.

In Worten: Die Spalten von   sind die Eigenvektoren mit den dazugehörigen Hauptvektoren in der Reihenfolge der dazugehörigen Jordanblöcke. Allerdings ist   nicht eindeutig bestimmt.

Algorithmus zur Bestimmung einer komplexen jordanschen NormalformBearbeiten

Für die jordansche Normalform eines Endomorphismus   eines  -dimensionalen  -Vektorraums   wählt man eine Basis   des Vektorraums   und berechnet die jordansche Normalform der Abbildungsmatrix   von   bezüglich der Basis  .

Im Folgenden wird daher   gesetzt und die komplexe jordansche Normalform einer quadratischen Matrix   bestimmt. Die Einheitsmatrix wird mit   bezeichnet.

Bestimmung der EigenwerteBearbeiten

Mit Hilfe des charakteristischen Polynoms

 

errechnet man aus seinen Nullstellen die paarweise verschiedenen Eigenwerte

 

Die Eigenwerte werden hier also nicht ihrer Vielfachheit entsprechend aufgeführt.

Bestimmung der Größe der JordanblöckeBearbeiten

Hierfür müssen zunächst die Dimensionen der verallgemeinerten Eigenräume bestimmt werden. Das heißt, man berechnet für alle   die Zahlen

 

Insbesondere ist stets   und   ist gerade die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts  . Die Dimension des Kerns kann mit Hilfe des Dimensionssatzes aus dem Rang berechnet werden, der beispielsweise mit dem gaußschen Algorithmus bestimmt werden kann.

Die Folge der   ist monoton wachsend und wird ab einem bestimmten Wert für   stationär, spätestens bei der algebraischen Vielfachheit des Eigenwertes im charakteristischen Polynom. Die Anzahl der Jordanblöcke der Größe   zum Eigenwert   lässt sich dann mit Hilfe der Formel

 

berechnen. Außerdem gibt   die Gesamtzahl der zu diesem Eigenwert gehörigen Jordanblöcke an.

Komplexe jordansche NormalformBearbeiten

Die erhaltenen Jordanblöcke schreibt man in eine Matrix und erhält die komplexe jordansche Normalform einer Matrix. Haben alle Blöcke die Größe 1, liegt der Spezialfall einer Diagonalmatrix vor, und   ist somit diagonalisierbar.

Das Minimalpolynom   von   erhält man aus  , worin   die Größe des größten Jordanblocks zum Eigenwert   bezeichnet.

Die jordansche Normalform ist bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke eindeutig bestimmt. Sofern alle Eigenwerte in   liegen, sind zwei Matrizen, welche dieselbe jordansche Normalform haben, zueinander ähnlich.

BeispielBearbeiten

Man betrachte die Matrix  , die wie folgt definiert ist

 

Ihr charakteristisches Polynom lautet  . Somit besitzt diese Matrix genau einen Eigenwert, nämlich 3. Mit der Abkürzung   werden nun die   bestimmt:

Es gilt  . Somit ist  .

Weiterhin ist   die Nullmatrix, also gilt   und somit   und die Folge   wird ab dieser Stelle stationär.

Damit folgt:

Es gibt   Jordanblöcke, und davon

  Jordanblock mit Größe 1 und

  Jordanblöcke mit Größe 2.

Somit ist   die jordansche Normalform von  . Das Minimalpolynom von   ist  .

Bestimmung einer Basistransformation zur komplexen jordanschen NormalformBearbeiten

Nun soll eine Basistransformationsmatrix   bestimmt werden, die

 

erfüllt. Sie ist durch diese Gleichung bekanntlich nicht eindeutig bestimmt. Das Standard-Verfahren verwendet die vorherige Kenntnis der komplexen jordanschen Normalform  .

Ein Standard-VerfahrenBearbeiten

Ein gängiges Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende: Man bestimme (wie auch bei obigem naiven Ansatz) zunächst die Jordannormalform  . Dann hat man insbesondere schon alle Eigenwerte   berechnet sowie die Kerne   für alle  , worin   die Dimension des größten Jordanblocks zum Eigenwert   bezeichnet. Anschließend arbeite man zur Bestimmung einer regulären Matrix   mit   die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben Eigenwert stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht.

Zu jedem Block der Größe   und Eigenwert   werden   Spalten der Basistransformationsmatrix   nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in   die Spalten   belegt, so werden die Vektoren   in   ebenso (von links nach rechts) in die Spalten   eingefügt. Die Vektoren   werden nun wie folgt bestimmt:

  • Man wähle   beliebig, worin   die Menge der zuvor berechneten Spalten (d. h. Basisvektoren) der Stufe   aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert   (sofern vorhanden) bezeichnet. Insbesondere an dieser relativ freien Wahl erkennt man, dass die Basistransformation nicht eindeutig sein kann. Wenn   ist   einfach ein Eigenvektor zum Eigenwert  
  • Nach der Wahl obigen Vektors besteht nun für die weiteren Basisvektoren keine Wahlfreiheit mehr: Man muss sukzessiv   für alle   setzen.

Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, wurden am Ende alle Spalten von   aufgefüllt. Es gilt:   ist regulär und erfüllt  , und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich derer   die Darstellung   besitzt.

Wird die alternative Darstellung der Jordanblöcke gewählt, d. h. mit 1 in der unteren Nebendiagonalen, muss lediglich die Reihenfolge der Basisvektoren pro Jordanblock umgekehrt werden.

BeispielBearbeiten

Als erläuterndes Beispiel betrachte man hierzu die Matrix

 

wie oben. Es gilt

  und  .

Ihre Jordannormalform lautet

 .

Man beginne mit dem ersten Jordanblock der Dimension 2. Dazu wähle man

 

beliebig, beispielsweise  . Dann ist   zu wählen. Daraus erhält man  . Nun gehe man zum zweiten Jordanblock der Größe 2 über. Man wähle nun

 

beliebig, beispielsweise  . Dann ist  , und man landet bei  . Schließlich ist der letzte Jordanblock (der Größe 1) an der Reihe. Man wähle hierzu

 

beliebig, beispielsweise  . Dann ist   eine reguläre Matrix mit  .

Reelle jordansche NormalformBearbeiten

Betrachtet man reelle Matrizen, so zerfällt deren charakteristisches Polynom im Allgemeinen nicht mehr vollständig in Linearfaktoren, sondern nur noch in irreduzible Faktoren, die in diesem Fall stets lineare oder quadratische Faktoren sind. Es stellt sich nun die Frage nach einer Normalform, wenn man ausschließlich reelle Basistransformationen zulässt.

Zu einem quadratischen irreduziblen Faktor   mit   definiert man als Jordanblock

 

Wir nennen die Anzahl der Zeilen (bzw. Spalten) die Größe dieses Blocks. Dann bezeichnet man

 

als reelle jordansche Normalform. Um sie und eine geeignete reelle Matrix   zu bestimmen, kann man folgendermaßen vorgehen:

  • Bestimme das charakteristische Polynom und faktorisiere es in irreduzible Faktoren. Es ergibt sich
 ,
wobei   paarweise verschiedene Eigenwerte mit Vielfachheit   bezeichnen. Weiter seien darin  ,  ,   und   paarweise verschieden.
  • Für jedes   bestimme man
  für  ,
worin   die kleinste natürliche Zahl ist mit  . Analog bestimme man für jedes  
  für  ,
worin   die kleinste natürliche Zahl ist mit  .
Zudem setzen wir  .
  • Nun stelle man die jordansche Normalform auf. Es gilt hierbei
    •   ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Eigenwert  , deren Größe größer oder gleich   ist.
    •   ist die Anzahl der Jordanblöcke zum Faktor  , deren Größe größer oder gleich   ist.
Außerdem ist   die Summe der Jordanblockgrößen zum Eigenwert   und   die Summe der Jordanblockgrößen zum Faktor  . Aus diesen Angaben kann man eindeutig die jordansche Normalform   bestimmen.
  • Danach bestimme man die Basistransformationsmatrix  , das heißt, man sucht eine reelle invertierbare Matrix  , so dass  .

Ein Verfahren, um eine Basistransformation zu erhalten, ist das folgende:

  • Man arbeite die Blöcke nacheinander ab. Dabei ist zu beachten, dass man bei Jordanblöcken zum selben irreduziblen Faktor stets vom größten Block zum kleinsten Block vorgeht. Zu jedem Block der Größe   werden   Spalten der Basistransformationsmatrix   nach einem bestimmten Schema bestimmt. Wenn der Block in   die Spalten   belegt, so werden die Vektoren   in   ebenso (von links nach rechts) in die Spalten   eingefügt. Die Vektoren   werden nun wie folgt bestimmt:
    • Zu einem Jordanblock der Größe   zum Eigenwert   wähle man   beliebig, worin   die Menge der zuvor berechneten Spalten (das heißt Basisvektoren) der Stufe   aus zuvor abgearbeiteten Jordanblöcken zum selben Eigenwert   (sofern vorhanden) bezeichnet. Anschließend setze man sukzessiv   für alle  .
    • Zu einem Jordanblock der Größe   zum irreduziblen Faktor   wähle man einen Vektor  , wobei   aus den bereits berechneten Hauptvektoren der Stufen   zum selben irreduziblen Faktor   besteht.
Dann setze man für   sukzessiv  
Schließlich setzt man   wie gehabt aus den Vektoren   zusammen.
  • Nachdem man auf obige Weise alle Jordanblöcke abgearbeitet hat, werden am Ende alle Spalten von   aufgefüllt. Es gilt:   ist regulär und erfüllt  , und ihre Spalten bilden eine Basis, bezüglich derer   die Darstellung   besitzt.

BeispielBearbeiten

Man betrachte die Matrix  , die wie folgt definiert ist

 

Ihr charakteristisches Polynom lautet  , wobei   irreduzibel über   ist. Nun berechnen wir die jordansche Normalform:

 .

Dieser Kern hat die Dimension 1. Also gibt es nur einen Jordanblock der Größe  . Andererseits muss die Summe der Jordanblockgrößen 1 sein (die Potenz von  ), so dass es genau einen Jordanblock zum Eigenwert 1 gibt, und er hat die Größe 1. Weiter hat

 

die Dimension 2, so dass es demzufolge nur   Jordanblock der Größe   gibt. Da die Summe der Jordanblockgrößen 4 sein muss (das Doppelte der Potenz von  ), ergibt sich, dass dieser eine Jordanblock die Größe 4 besitzt. Außerdem errechnen wir

 .

Somit ist   die reelle jordansche Normalform von  .

Zum Vergleich, die komplexe jordansche Normalform lautet  .

Zum Berechnen einer Basistransformationsmatrix beginne man mit dem ersten reellen Eigenwert und dann mit dem (ersten) Jordanblock der Dimension 1. Man wähle

 

beliebig, also beispielsweise  . Daraus erhält man  .

Nun gehe man zum ersten irreduziblen Faktor (komplexen Eigenwert) und dann zum Jordanblock der Größe 4 über. Dazu wähle man

 

beliebig, beispielsweise  . Dann ist  ,   und   zu wählen. Daraus erhält man:  .   ist eine reguläre Matrix mit  .

Jordansche Normalform in allgemeinen KörpernBearbeiten

Die jordansche Normalform kann noch weiter verallgemeinert werden auf allgemeine Körper. In diesem Zusammenhang wird sie häufig auch als Weierstraß-Normalform (bzw. Frobenius-Normalform) bezeichnet. Dies erlaubt eine eindeutige Matrixdarstellung von Endomorphismen von endlichdimensionalen Vektorräumen, bei der sich alle ähnlichen Endomorphismen durch eine eindeutige Matrix darstellen lassen. So können ähnliche lineare Abbildungen identifiziert werden. Das Lemma von Frobenius charakterisiert zueinander ähnliche Matrizen durch die Elementarteiler ihrer charakteristischen Matrizen und liefert die Frobenius-Normalform als Normalform des Vektorraums unter der Operation eines Polynomrings.

Durch die Darstellung in der Weierstraß-Normalform ist der Aufbau des Minimalpolynoms sofort erkennbar und das charakteristische Polynom leicht zu berechnen.

Anwendung bei linearen Differentialgleichungssystemen erster Ordnung mit konstanten KoeffizientenBearbeiten

Gegeben sei ein lineares Differentialgleichungssystem (von   Gleichungen) erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten

 

durch eine Matrix   und eine stetige Funktion  . Es ist bekannt, dass die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems

 

gegeben ist durch

 ,

worin

  für  

die Matrixexponentialfunktion bezeichnet. Man beachte:

  • Die Matrixexponentialfunktion von einem komplexen Jordanblock kann explizit ausgerechnet werden:
 .
  • Die Matrixexponentialfunktion von einer komplexen Jordannormalform   kann explizit berechnet werden mittels:
 .
  • Die Matrixexponentialfunktion einer Matrix  , deren komplexe Jordannormalform   zusammen mit einer Basistransformationsmatrix   bekannt ist, das heißt  , kann explizit berechnet werden mittels:
 .

Mit anderen Worten: Kennt man eine Darstellung   mit der komplexen jordanschen Normalform  , so kann man   für jedes   explizit ausrechnen, so dass zum Bestimmen von

 

nur noch das Integrationsproblem zu lösen ist, welches im homogenen Fall   völlig entfällt.

Siehe auchBearbeiten

  • Diagonalisierung ist ein Spezialfall der jordanschen Normalform.
  • Die jordansche Normalform ist ein Spezialfall der Weierstraß-Normalform.
  • Die Existenz der jordanschen Normalform liefert die Existenz der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung eines Endomorphismus.
  • Da für die Existenz einer jordanschen Normalform die Existenz von Nullstellen des charakteristischen Polynoms ausschlaggebend ist, kann die reelle Normalform wie hier beschrieben allgemeiner für affine Selbstabbildungen des zweidimensionalen affinen Raumes über einem euklidischen und eines affinen Raumes mit beliebiger, endlicher Dimension über einem reell abgeschlossenen Körper bestimmt werden.

LiteraturBearbeiten

  • Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. De Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0.
  • Gilbert Strang: Lineare Algebra. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-540-43949-8. (Literatur zu Eigenwerten und Eigenvektoren sowie Matrizen-Rechnung).

WeblinksBearbeiten

  Wikiversity: Vorlesung zu jordanscher Normalform – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wilhelm von Alten u. a., 4000 Jahre Algebra, Springer 2008, S. 409