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In der universellen Algebra ist ein Endomorphismus (von griechisch ἔνδον éndon ‚innen‘ und μορφή morphē ‚Gestalt‘, ‚Form‘) ein Homomorphismus einer mathematischen Struktur in sich selbst. Ist zusätzlich ein Isomorphismus, wird er auch Automorphismus genannt.

In der Kategorientheorie heißt jeder Morphismus, dessen Quelle und Ziel übereinstimmen, ein Endomorphismus des fraglichen Objektes.

Die Gesamtheit der Endomorphismen eines Objektes wird mit bezeichnet und bildet stets ein Monoid (das Endomorphismenmonoid oder die Endomorphismenhalbgruppe), in additiven Kategorien sogar einen (unitären) Ring.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Algebraische StrukturenBearbeiten

Sei   eine algebraische Struktur, also eine nichtleere Menge   zusammen mit einer endlichen Anzahl an Verknüpfungen   mit entsprechenden Stelligkeiten  . Eine solche algebraische Struktur könnte beispielsweise ein Vektorraum  , eine Gruppe   oder ein Ring   sein. Dann versteht man in der Algebra unter einem Endomorphismus   eine Abbildung der Menge   auf sich selbst, die ein Homomorphismus ist, das heißt, es gilt

 

für alle   und alle  .

KategorientheorieBearbeiten

Sei   ein Objekt einer Kategorie. Ein Morphismus  , der auf einem Objekt   operiert, heißt Endomorphismus.

Für Kategorien von Homomorphismen zwischen algebraischen Strukturen ist die Definition äquivalent zu der im vorherigen Abschnitt.

Spezielle StrukturenBearbeiten

VektorräumeBearbeiten

AllgemeinesBearbeiten

In der linearen Algebra ist ein Endomorphismus eines  -Vektorraumes   eine  -lineare Abbildung  . Dabei bedeutet  -linear (oder auch einfach linear, wenn klar ist, welcher Körper gemeint ist), dass die Abbildung

 

für alle   und alle   erfüllt. Zusammen mit der Addition der Bilder und der Komposition als Multiplikation bildet die Menge aller Endomorphismen einen Ring, welchen man den Endomorphismenring nennt. Werden die linearen Abbildungen durch Matrizen beschrieben, so erhält man mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation den Matrizenring, welcher isomorph zum Endomorphismenring ist.

Ist der zugrundeliegende Vektorraum ein topologischer Vektorraum und betrachtet man den Vektorraum der stetigen Endomorphismen, der im Fall unendlichdimensionaler Vektorräume im Allgemeinen ein echter Unterraum des Endomorphismenraums ist, so kann man auf diesem Vektorraum aller stetiger Endomorphismen eine Topologie induzieren, so dass die Addition und die Multiplikation des Rings stetig sind. Somit ist der Endomorphismenring ein topologischer Ring.

BeispielBearbeiten

Die Ableitung   ist auf dem Vektorraum der Polynome   maximal dritten Grades mit reellen Koeffizienten ein Endomorphismus. Als Basis von   wählt man die monomiale Basis  . Diese kann man isomorph auf die kanonische Basis des   abbilden, durch  . Die 1 steht dabei an der i-ten Stelle des 4-Tupels. Also kann man jedes Polynom aus   als 4-Tupel darstellen, so ist zum Beispiel  . Nun kann man   mit   verketten und erhält für das Differential eine Matrixschreibweise:

 .

Wendet man diese Matrix auf obiges Beispiel   an, so erhält man  , was dem Polynom   entspricht; das hätte man auch durch direktes Anwenden der Ableitung erhalten können.

GruppenBearbeiten

Ein Endomorphismus auf einer Gruppe   ist ein Gruppenhomomorphismus   von   nach  , das heißt für   gilt   für alle  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten