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Lineare Abbildung

homogene und additive Abbildung
Achsenspiegelung als Beispiel einer linearen Abbildung

Eine lineare Abbildung (auch lineare Transformation oder Vektorraumhomomorphismus genannt) ist in der linearen Algebra ein wichtiger Typ von Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper. Bei einer linearen Abbildung ist es unerheblich, ob man zwei Vektoren zuerst addiert und dann deren Summe abbildet oder zuerst die Vektoren abbildet und dann die Summe der Bilder bildet. Gleiches gilt für die Multiplikation mit einem Skalar aus dem Grundkörper.

Das abgebildete Beispiel einer Spiegelung an der Y-Achse verdeutlicht dies. Der Vektor ist die Summe der Vektoren und und sein Bild ist der Vektor . Man erhält aber auch, wenn man die Bilder und der Vektoren und addiert.

Man sagt dann, dass eine lineare Abbildung mit den Verknüpfungen Vektoraddition und skalarer Multiplikation verträglich ist. Es handelt sich somit bei der linearen Abbildung um einen Homomorphismus (strukturerhaltende Abbildung) zwischen Vektorräumen.

In der Funktionalanalysis, bei der Betrachtung unendlichdimensionaler Vektorräume, die eine Topologie tragen, spricht man meist von linearen Operatoren statt von linearen Abbildungen. Formal gesehen sind die Begriffe gleichbedeutend. Bei unendlichdimensionalen Vektorräumen ist jedoch die Frage der Stetigkeit bedeutsam, während Stetigkeit immer vorliegt bei linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen (jeweils mit der euklidischen Norm) oder allgemeiner zwischen endlichdimensionalen hausdorffschen topologischen Vektorräumen.

DefinitionBearbeiten

Seien   und   Vektorräume über einem gemeinsamen Grundkörper  . Eine Abbildung   heißt lineare Abbildung, wenn für alle   und   die folgenden Bedingungen gelten:

  •   ist homogen:
     
  •   ist additiv:
     

Die zwei obigen Bedingungen kann man auch zusammenfassen:

 

Für   geht diese in die Bedingung für die Homogenität und für   in diejenige für die Additivität über. Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung   ein Untervektorraum der Summe der Vektorräume   und   ist.

ErklärungBearbeiten

Eine Abbildung ist linear, wenn sie verträglich mit der Vektorraumstruktur ist. Sprich: Lineare Abbildungen vertragen sich sowohl mit der zugrundeliegenden Addition und skalaren Multiplikation des Definitions- und Wertebereichs. Die Verträglichkeit mit der Addition bedeutet, dass die lineare Abbildung   Summen erhält. Wenn wir im Definitionsbereich eine Summe   mit   haben, so gilt   und damit bleibt diese Summe nach der Abbildung im Wertebereich erhalten:

 

Diese Implikation kann verkürzt werden, indem die Prämisse   in   eingesetzt wird. So erhält man die Forderung  . Analog kann die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation beschrieben werden. Diese ist erfüllt, wenn aus dem Zusammenhang   mit dem Skalar   und   im Definitionsbereich folgt, dass auch   im Wertebereich gilt:

 

Nach Einsetzen der Prämisse   in die Konklusion   erhält man die Forderung  .

BeispieleBearbeiten

  • Für   hat jede lineare Abbildung die Gestalt   mit  .
  • Es sei   und  . Dann wird für jede  -Matrix   mit Hilfe der Matrizenmultiplikation eine lineare Abbildung
     
    durch
     
    definiert. Jede lineare Abbildung von   nach   kann so dargestellt werden.
  • Ist   ein offenes Intervall,   der  -Vektorraum der stetig differenzierbaren Funktionen auf   und   der  -Vektorraum der stetigen Funktionen auf  , so ist die Abbildung
     ,  ,
    die jeder Funktion   ihre Ableitung zuordnet, linear. Entsprechendes gilt für andere lineare Differentialoperatoren.

Bild und KernBearbeiten

Zwei bei der Betrachtung linearer Abbildungen wichtige Mengen sind das Bild und der Kern einer linearen Abbildung  .

  • Das Bild   der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter  , also die Menge aller   mit   aus  . Die Bildmenge wird daher auch durch   notiert. Das Bild ist ein Untervektorraum von  .
  • Der Kern   der Abbildung ist die Menge der Vektoren aus  , die durch   auf den Nullvektor von   abgebildet werden. Er ist ein Untervektorraum von  . Die Abbildung   ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält.

EigenschaftenBearbeiten

  • Eine lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen   und   bildet den Nullvektor von   auf den Nullvektor von   ab:
     , denn  
  • Eine Beziehung zwischen Kern und Bild einer linearen Abbildung   beschreibt der Homomorphiesatz: Der Faktorraum   ist isomorph zum Bild  .

Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen VektorräumenBearbeiten

BasisBearbeiten

 
Zusammenfassung der Eigenschaften injektiver und surjektiver linearer Abbildungen

Eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist durch die Bilder der Vektoren einer Basis eindeutig bestimmt. Bilden die Vektoren   eine Basis des Vektorraums   und sind   Vektoren in  , so gibt es genau eine lineare Abbildung  , die   auf  ,   auf  , …,   auf   abbildet. Ist   ein beliebiger Vektor aus  , so lässt er sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen:

 

Hierbei sind   die Koordinaten des Vektors   bezüglich der Basis  . Sein Bild   ist gegeben durch

 

Die Abbildung   ist genau dann injektiv, wenn die Bildvektoren   der Basis linear unabhängig sind. Sie ist genau dann surjektiv, wenn   den Zielraum   aufspannen.

Ordnet man jedem Element   einer Basis von   einen Vektor   aus   beliebig zu, so kann man mit obiger Formel diese Zuordnung eindeutig zu einer linearen Abbildung   fortsetzen.

Stellt man die Bildvektoren   bezüglich einer Basis von   dar, so führt dies zur Matrixdarstellung der linearen Abbildung.

AbbildungsmatrixBearbeiten

Sind   und   endlichdimensional,  ,  , und sind Basen   von   und   von   gegeben, so kann jede lineare Abbildung   durch eine  -Matrix   dargestellt werden. Diese erhält man wie folgt: Für jeden Basisvektor   aus   lässt sich der Bildvektor   als Linearkombination der Basisvektoren   darstellen:

 

Die  ,  ,   bilden die Einträge der Matrix  :

 

In der  -ten Spalte stehen also die Koordinaten von   bezüglich der Basis  .

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor   jedes Vektors   berechnen:

 

Für die Koordinaten   von   bezüglich   gilt also

 .

Dies kann man mit Hilfe der Matrizenmultiplikation ausdrücken:

 

Die Matrix   heißt Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von  . Andere Schreibweisen für   sind   und  .

DimensionsformelBearbeiten

Bild und Kern stehen über den Dimensionssatz in Beziehung. Dieser sagt aus, dass die Dimension von   gleich der Summe der Dimensionen des Bildes und des Kerns ist:

 

Lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen VektorräumenBearbeiten

Insbesondere in der Funktionalanalysis betrachtet man lineare Abbildungen zwischen unendlichdimensionalen Vektorräumen. In diesem Kontext nennt man die linearen Abbildungen meist lineare Operatoren. Die betrachteten Vektorräume tragen meist noch die zusätzliche Struktur eines normierten vollständigen Vektorraums. Solche Vektorräume heißen Banachräume. Im Gegensatz zum endlichdimensionalen Fall reicht es nicht, lineare Operatoren nur auf einer Basis zu untersuchen. Nach dem baireschen Kategoriensatz hat nämlich eine Basis eines unendlichdimensionalen Banachraums überabzählbar viele Elemente und die Existenz einer solchen Basis lässt sich nicht konstruktiv begründen, das heißt nur unter Verwendung des Auswahlaxioms. Man verwendet daher einen anderen Basisbegriff, etwa Orthonormalbasen oder allgemeiner Schauderbasen. Damit können gewisse Operatoren wie zum Beispiel Hilbert-Schmidt-Operatoren mithilfe „unendlich großer Matrizen“ dargestellt werden, wobei dann auch unendliche Linearkombinationen zugelassen werden müssen.

Besondere lineare AbbildungenBearbeiten

Monomorphismus
Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung  , die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.
Epimorphismus
Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung  , die surjektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Rang der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von   ist.
Isomorphismus
Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung  , die bijektiv ist. Das ist genau der Fall, wenn die Darstellungsmatrix regulär ist. Die beiden Räume   und   bezeichnet man dann als isomorph.
Endomorphismus
Ein Endomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung, bei der die Räume   und   gleich sind:  . Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine quadratische Matrix.
Automorphismus
Ein Automorphismus zwischen Vektorräumen ist eine bijektive lineare Abbildung, bei der die Räume   und   gleich sind. Er ist also sowohl ein Isomorphismus als auch ein Endomorphismus. Die Darstellungsmatrix dieser Abbildung ist eine reguläre Matrix.

Vektorraum der linearen AbbildungenBearbeiten

 
Bildung des Vektorraums L(V,W)

Die Menge  [1] der linearen Abbildungen von einem  -Vektorraum   in einen  -Vektorraum   ist ein Vektorraum über  , genauer: ein Untervektorraum des  -Vektorraums aller Abbildungen von   nach  . Das bedeutet, dass die Summe zweier linearer Abbildungen   und  , komponentenweise definiert durch

 

wieder eine lineare Abbildung ist und dass das Produkt

 

einer linearen Abbildung mit einem Skalar   auch wieder eine lineare Abbildung ist.

Hat   die Dimension   und   die Dimension  , und sind in   eine Basis   und in   eine Basis   gegeben, so ist die Abbildung

 

in den Matrizenraum   ein Isomorphismus. Der Vektorraum   hat also die Dimension  .

Betrachtet man die Menge der linearen Selbstabbildungen eines Vektorraums, also den Spezialfall  , so bilden diese nicht nur einen Vektorraum, sondern mit der Verkettung von Abbildungen als Multiplikation eine assoziative Algebra, die kurz mit   bezeichnet wird.

VerallgemeinerungBearbeiten

Eine lineare Abbildung ist ein Spezialfall einer affinen Abbildung.

Ersetzt man in der Definition der linearen Abbildung zwischen Vektorräumen den Körper durch einen Ring, erhält man einen Modulhomomorphismus.

Anmerkungen und EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Diese Menge der linearen Abbildungen wird manchmal auch als   geschrieben.

LiteraturBearbeiten

  • Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 6., durchgesehene und ergänzte Auflage. Vieweg Braunschweig u. a. 2003, ISBN 3-528-56508-X, S. 124–143.
  • Günter Gramlich: Lineare Algebra. Eine Einführung für Ingenieure. Fachbuchverlag Leipzig im Carl-Hanser-Verlag, München 2003, ISBN 3-446-22122-0.
  • Detlef Wille: Repetitorium der Linearen Algebra. Band 1. 4. Auflage, Nachdruck. Binomi, Springe 2003, ISBN 3-923923-40-6.

WeblinksBearbeiten

  Wikiversity: Vorlesungen über lineare Algebra I – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch