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BegriffBearbeiten

VoraussetzungenBearbeiten

Um eine lineare Abbildung von Vektorräumen durch eine Matrix beschreiben zu können, muss zunächst sowohl im Urbildraum als auch im Zielraum eine Basis (mit Reihenfolge der Basisvektoren) fest gewählt worden sein. Bei einem Wechsel der Basen in einem der betroffenen Räume muss die Matrix transformiert werden, sonst beschreibt sie eine andere lineare Abbildung.

Wenn in der Definitionsmenge und der Zielmenge eine Basis gewählt worden ist, dann lässt sich eine lineare Abbildung eindeutig durch eine Abbildungsmatrix beschreiben. Allerdings muss dafür festgelegt werden, ob man die Koordinaten von Vektoren in Spalten- oder Zeilenschreibweise notiert. Die üblichere Schreibweise ist die in Spalten.

Dazu muss man den Vektor, der abgebildet werden soll, als Spaltenvektor (bzgl. der gewählten Basis) schreiben.

Aufbau bei Verwendung von SpaltenvektorenBearbeiten

Nach der Wahl einer Basis aus der Definitionsmenge und der Zielmenge stehen in den Spalten der Abbildungsmatrix die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren des abgebildeten Vektorraums bezüglich der Basis des Zielraums: Jede Spalte der Matrix ist das Bild eines Vektors der Urbildbasis. Eine Abbildungsmatrix, die eine Abbildung aus einem 4-dimensionalen Vektorraum in einen 6-dimensionalen Vektorraum beschreibt, muss daher stets 6 Zeilen (für die sechs Bildkoordinaten der Basisvektoren) und 4 Spalten (für jeden Basisvektor des Urbildraums eine) haben.

Allgemeiner: Eine lineare Abbildungsmatrix   aus einem n-dimensionalen Vektorraum in einen m-dimensionalen Vektorraum hat m Zeilen und n Spalten. Das Bild eines Koordinatenvektors kann man dann so berechnen:

 

Dabei ist   der Bildvektor,   der Vektor, der abgebildet wird, jeweils in den zur gewählten Basis ihres Raumes gehörenden Koordinaten.

Siehe hierzu auch: Aufbau der Abbildungsmatrix.

Verwendung von ZeilenvektorenBearbeiten

Verwendet man anstelle von Spalten- Zeilenvektoren, dann muss die Abbildungsmatrix transponiert werden. Das bedeutet, dass nun die Koordinaten des Bildes des 1. Basisvektors im Urbildraum in der ersten Zeile stehen usw. Bei der Berechnung der Bildkoordinaten muss der (Zeilenkoordinaten-)vektor nun von links an die Abbildungsmatrix multipliziert werden.

BerechnungBearbeiten

Abbildungen auf KoordinatentupelBearbeiten

Sei   eine lineare Abbildung und

 

eine geordnete Basis von  .

Als Basis   für die Zielmenge   wird die Standardbasis gewählt:

 

Die Abbildungsmatrix ergibt sich, indem man die Bilder der Basisvektoren von   als Spalten einer Matrix auffasst

 

Beispiel: Man betrachte die lineare Abbildung

 

Sowohl im Urbildraum   als auch im Zielraum   wird die Standardbasis gewählt:

 

Es gilt:

 

Damit ist die Abbildungsmatrix von   bezüglich der gewählten Basen   und  

 

Alternativ ergibt sich für ein Element der Abbildungsmatrix   folgende Formel

 [1]

wobei   für den  -ten Basisvektor von   und   für den  -ten Basisvektor von   steht.

Beispiel: Bezogen auf das obige Beispiel berechnen sich die Elemente der Matrix folgendermaßen mithilfe der Formel

 

 

 

 

Abbildungen in allgemeine VektorräumeBearbeiten

Falls die Elemente des Zielraums keine Koordinatentupel sind, oder aus anderen Gründen eine andere Basis   anstelle der Standardbasis gewählt wird, so müssen die Bilder   als Linearkombinationen der Basisvektoren   dargestellt werden, um die Einträge   der Abbildungsmatrix zu ermitteln:

 

Die Abbildungsmatrix ergibt sich dann, indem man die Koeffizienten der Linearkombinationen spaltenweise in die Matrix einträgt:

 

Beispiel: Es werde wieder die lineare Abbildung   des obigen Beispiels betrachtet. Diesmal wird im Zielraum   jedoch die geordnete Basis

 

verwendet. Nun gilt:

 
 
 

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von   bezüglich der Basen   und  :

 

Koordinatendarstellung von linearen AbbildungenBearbeiten

Mit Hilfe der Abbildungsmatrix kann man den Bildvektor   eines Vektors   unter der linearen Abbildung   berechnen.

Hat der Vektor   bezüglich der Basis   den Koordinatenvektor

 ,

das heißt

 ,

und hat der Bildvektor   bezüglich der Basis   von   die Koordinaten

 ,

das heißt

 ,

so gilt

 ,

bzw. mit Hilfe der Abbildungsmatrix   ausgedrückt:

 ,

kurz

 

bzw.

 .

Hintereinanderausführung von linearen AbbildungenBearbeiten

 
Kommutatives Diagramm zur Übersicht

Der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen entspricht das Matrizenprodukt der zugehörigen Abbildungsmatrizen:

Es seien  ,   und   Vektorräume über dem Körper   und   und   lineare Abbildungen. In   sei die geordnete Basis   gegeben, in   die Basis   und die Basis   in  . Dann erhält man die Abbildungsmatrix der verketteten linearen Abbildung

 

indem man die Abbildungsmatrix von   und die Abbildungsmatrix von   (jeweils bezüglich der entsprechenden Basen) multipliziert:

 

Man beachte, dass in   für beide Abbildungsmatrizen dieselbe Basis gewählt werden muss.

Begründung: Es sei  ,   und  . Die  -te Spalte von   enthält die Koordinaten des Bilds   des  -ten Basisvektors aus   bezüglich der Basis  :

 

Berechnet man die rechte Seite mit Hilfe der Abbildungsmatrizen von   und  , so erhält man:

 

Durch Koeffizientenvergleich folgt

 

für alle   und  , also

 ,

das heißt:

 

VerwendungBearbeiten

BasiswechselBearbeiten

 
Kommutatives Diagramm der beteiligten Abbildungen

Ist die Abbildungsmatrix einer Abbildung für bestimmte Basen bekannt, so lässt sich die Abbildungsmatrix für dieselbe Abbildung, jedoch mit anderen Basen, leicht berechnen. Dieser Vorgang wird als Basiswechsel bezeichnet. Es kann etwa sein, dass die vorliegenden Basen schlecht geeignet sind, um ein bestimmtes Problem mit der Matrix zu lösen. Nach einem Basiswechsel liegt die Matrix dann in einer einfacheren Form vor, repräsentiert aber immer noch dieselbe lineare Abbildung[2]. Die Abbildungsmatrix   berechnet sich aus der Abbildungsmatrix   und den Basiswechselmatrizen   und   wie folgt:

 

Beschreibung von EndomorphismenBearbeiten

Bei einer linearen Selbstabbildung (einem Endomorphismus) eines Vektorraums legt man gewöhnlich eine feste Basis des Vektorraumes als Definitionsmenge und Zielmenge zugrunde. Dann beschreibt die Abbildungsmatrix die Veränderung, die die Koordinaten eines beliebigen Vektors bezüglich dieser Basis bei der Abbildung erfahren. Die Abbildungsmatrix ist bei Endomorphismen stets quadratisch, d. h. die Zahl der Zeilen stimmt mit der Zahl der Spalten überein.

Beschreibung von affinen Abbildungen und AffinitätenBearbeiten

Nach der Wahl einer affinen Punktbasis in beiden affinen Räumen, die durch eine affine Abbildung aufeinander abgebildet werden, kann diese Abbildung durch eine Abbildungsmatrix und eine zusätzliche Verschiebung oder – in homogenen Koordinaten durch eine erweiterte (auch: "homogene") Abbildungsmatrix allein beschrieben werden.

BeispieleBearbeiten

OrthogonalprojektionBearbeiten

Im dreidimensionalen Raum (mit der kanonischen Basis) kann man die Orthogonalprojektion eines Vektors auf eine Ursprungsgerade durch folgende Abbildungsmatrix beschreiben:

 

Dabei sind   die Koordinaten des normierten Richtungsvektors der Geraden. Wird anstatt auf eine Gerade auf eine Ebene mit den beiden zueinander senkrechten, normierten Richtungsvektoren   und   projiziert, so kann man dies in zwei Projektionen entlang der beiden Richtungsvektoren auffassen, und demnach die Projektionsmatrix für die Orthogonalprojektion auf eine Ursprungsebene folgendermaßen aufstellen:

 

Die Projektionsmatrix um auf eine Ebene zu projizieren, ist also die Summe der Projektionsmatrizen auf ihre Richtungsvektoren.

SpiegelungBearbeiten

Wird anstatt einer Projektion eine Spiegelung durchgeführt, so kann dies ebenfalls mit Hilfe der obigen Projektionsmatrix dargestellt werden. Für die Spiegelungsmatrix an einer Ursprungsgeraden mit normiertem Richtungsvektor   gilt:

 ,

wobei   die Einheitsmatrix darstellt. Gleiches gilt für die Spiegelung an der Ebene:

 .

Für die Spiegelung an einer Ebene (die durch den Ursprung geht) mit dem normierten Normalenvektor   gilt:

 .

DrehungBearbeiten

Wenn man im dreidimensionalen Raum um eine Ursprungsgerade mit normiertem Richtungsvektor   dreht, lässt sich die hierfür nötige Drehmatrix folgendermaßen darstellen:

 ,

wobei   wieder die Einheitsmatrix und   den Drehwinkel bezeichnet.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wolfgang Scherer: Mathematik der Quanteninformatik. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49079-2, S. 16.
  2. Larry Smith: Linear Algebra. Springer 1998, S. 174 eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche