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Einheitsmatrix

quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen

Die Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonale eins und überall sonst null sind. Die Einheitsmatrix ist im Ring der quadratischen Matrizen das neutrale Element bezüglich der Matrizenmultiplikation. Sie ist symmetrisch, selbstinvers, idempotent und hat maximalen Rang. Die Einheitsmatrix ist die Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung eines endlichdimensionalen Vektorraums. Sie wird unter anderem bei der Definition des charakteristischen Polynoms einer Matrix, orthogonaler und unitärer Matrizen, sowie in einer Reihe geometrischer Abbildungen verwendet.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Ring mit Nullelement   und Einselement  , dann ist die Einheitsmatrix   die quadratische Matrix

 .

Eine Einheitsmatrix ist demnach eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente auf der Hauptdiagonale gleich   sind. Als Schreibweise ist neben   (von Identität) auch   (von Einheit) gebräuchlich. Falls die Dimension aus dem Kontext hervorgeht, wird auch häufig auf den Index   verzichtet und nur   beziehungsweise   geschrieben.

BeispieleBearbeiten

Ist   der Körper der reellen Zahlen und bezeichnen   und   die Zahlen Null und Eins, so sind Beispiele für Einheitsmatrizen:

 

EigenschaftenBearbeiten

ElementeBearbeiten

Die Elemente einer Einheitsmatrix lassen sich mit dem Kronecker-Delta

 

angeben. Die Einheitsmatrix der Größe   kann so einfach durch

 

notiert werden. Die Zeilen und Spalten der Einheitsmatrix sind die kanonischen Einheitsvektoren  , und man schreibt entsprechend

 ,

wenn die Einheitsvektoren Spaltenvektoren sind.

NeutralitätBearbeiten

Für jede Matrix   gilt

 .

Demnach ergibt das Produkt aus einer beliebigen Matrix mit der Einheitsmatrix wieder die gleiche Matrix. Die Menge der quadratischen Matrizen bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen (nichtkommutativen) Ring  . Die Einheitsmatrix ist dann das Einselement in diesem Matrizenring, also das neutrale Element bezüglich der Matrizenmultiplikation.

SymmetrienBearbeiten

Die Einheitsmatrix ist symmetrisch, das heißt für ihre Transponierte gilt

 ,

und selbstinvers, das heißt für ihre Inverse gilt ebenfalls

 .

KenngrößenBearbeiten

Für die Determinante der Einheitsmatrix gilt

 ,

was eine der drei definierenden Eigenschaften einer Determinante ist. Für die Spur der Einheitsmatrix gilt

 .

Handelt es sich bei dem Ring um  ,  ,   oder  , erhält man demnach  . Das charakteristische Polynom der Einheitsmatrix ergibt sich als

 .

Der einzige Eigenwert ist demnach   mit Vielfachheit  . In der Tat gilt   für alle   des Moduls  . Ist   ein kommutativer Ring, so ist der Rang der Einheitsmatrix durch

 

gegeben.

PotenzenBearbeiten

Die Einheitsmatrix ist idempotent, das heißt

 ,

und sie ist die einzige Matrix mit vollem Rang mit dieser Eigenschaft. Für das Matrixexponential einer reellen oder komplexen Einheitsmatrix gilt damit

 ,

wobei   die eulersche Zahl ist.

VerwendungBearbeiten

Lineare AlgebraBearbeiten

Die Menge der regulären Matrizen der Größe   bildet mit der Matrizenmultiplikation die allgemeine lineare Gruppe. Für alle Matrizen   dieser Gruppe und ihre Inversen   gilt dann

 .

Das Zentrum dieser Gruppe sind gerade die Vielfachen (ungleich null) der Einheitsmatrix. Für eine orthogonale Matrix   gilt nach Definition

 

und entsprechend dazu für eine unitäre Matrix  

 .

Diese Matrizen bilden jeweils Untergruppen der entsprechenden allgemeinen linearen Gruppe. Die nullte Potenz einer quadratischen Matrix   wird als

 

festgelegt. Weiter wird die Einheitsmatrix bei der Definition des charakteristischen Polynoms

 

einer quadratischen Matrix verwendet. Die Einheitsmatrix ist die Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung   eines endlichdimensionalen Vektorraums  .

GeometrieBearbeiten

In der analytischen Geometrie werden Einheitsmatrizen unter anderem bei der Definition folgender Abbildungsmatrizen   verwendet:

ProgrammierungBearbeiten

In dem numerischen Softwarepaket MATLAB wird die Einheitsmatrix der Größe   durch die Funktion eye(n) erzeugt.[1] In Mathematica erhält man die Einheitsmatrix durch IdentityMatrix[n].

Siehe auchBearbeiten

  • Einsmatrix, eine Matrix, die nur aus Einsen besteht
  • Nullmatrix, eine Matrix, die nur aus Nullen besteht
  • Standardmatrix, eine Matrix, die aus genau einer Eins und sonst nur Nullen besteht
  • Permutationsmatrix, eine Matrix, die durch Zeilen- oder Spaltenvertauschungen aus einer Einheitsmatrix entsteht
  • Elementarmatrix, eine Matrix, die sich nur an einer Position oder durch Zeilentausch von einer Einheitsmatrix unterscheidet

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Christoph W. Überhuber, Stefan Katzenbeisser, Dirk Praetorius: MATLAB 7: Eine Einführung. Springer, 2007, S. 18.