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Komposition (Mathematik)

Hintereinanderschaltung von Funktionen
Die Komposition von Funktionen

Der Begriff Komposition bedeutet in der Mathematik meist die Hintereinanderschaltung von Funktionen, auch als Verkettung, Verknüpfung oder Hintereinanderausführung bezeichnet. Sie wird meist mit Hilfe des Verkettungszeichens notiert.

Die Darstellung einer Funktion als Verkettung zweier oder mehrerer, im Allgemeinen einfacherer Funktionen ist zum Beispiel in der Differential- und Integralrechnung wichtig, wenn es darum geht, Ableitungen mit der Kettenregel oder Integrale mit der Substitutionsregel zu berechnen.

Der Begriff Komposition kann von Funktionen auf Relationen und partielle Funktionen verallgemeinert werden.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Seien   beliebige Mengen und   sowie   Funktionen, so heißt die Funktion

 

die Komposition von   und  . Der Ausdruck „ “ wird als „  verknüpft mit  “, „  komponiert mit  “, „  nach  “ oder „  Kringel  “ gelesen.[1][2][3] Es ist dabei zu beachten, dass die zuerst angewandte Abbildung rechts steht, im Gegensatz zum Diagramm

 

Abweichende SchreibweisenBearbeiten

Eine alternative Schreibweise für   ist  , wobei man dies nicht mit dem Produkt der Funktionen   verwechseln darf, bei dem das Multiplikationszeichen ebenfalls oft weggelassen wird.

Es gibt auch wenige Autoren, die   nach   als   mit   schreiben, die Funktionen also von links nach rechts auswerten. Welche Reihenfolge gewählt wurde, lässt sich oft an einem Beispiel des Autors nachvollziehen. Daneben existiert auch die Notation, bei der das Funktionssymbol rechts vom Argument geschrieben wird, also   (oder auch  ) anstelle von  . Dann ist die Auswertung von links nach rechts naheliegend, also   (hauptsächlich im Kontext von (rechten) Gruppenoperationen verbreitet).

BeispieleBearbeiten

Man betrachte die folgenden Funktionen, für die als Definitions- und Wertemenge die Menge   der reellen Zahlen oder eine Teilmenge davon angenommen wird. Ist die Funktion   durch   und die Funktion   durch   gegeben, so ergibt die Verkettung von   und   die Funktion   mit

 .

Umgekehrt lässt sich die durch   definierte Funktion als   darstellen, wobei

 
 

sind.

EigenschaftenBearbeiten

AssoziativitätBearbeiten

Die Komposition von Funktionen ist assoziativ, das heißt für Funktionen  ,   und   gilt:

 

da

 
 

KommutativitätBearbeiten

Die Komposition von Funktionen ist im Allgemeinen nicht kommutativ; beispielsweise gilt für die Funktionen   und  :

 
 

Identische AbbildungenBearbeiten

Die identische Abbildung verhält sich bei der Komposition neutral, für eine Funktion   gilt also:

 ,

wobei   und   die jeweiligen Identitäten auf den Mengen   und   darstellen.

Injektivität, Surjektivität, BijektivitätBearbeiten

Wichtige Eigenschaften, die eine Funktion   besitzen kann, sind

  • Injektivität (kein Element in   wird mehrfach angenommen),
  • Surjektivität (jedes Element in   wird angenommen),
  • Bijektivität (jedes Element in   wird angenommen, und keins wird mehrfach angenommen).

Jede dieser Eigenschaften überträgt sich auf die Verkettung, es gilt also:

  • Die Komposition injektiver Funktionen ist injektiv.
  • Die Komposition surjektiver Funktionen ist surjektiv.
  • Die Komposition bijektiver Funktionen ist bijektiv.

Umgekehrt gilt: Ist eine Verkettung  

  • injektiv, so ist   injektiv.
  • surjektiv, so ist   surjektiv.
  • bijektiv, so ist   injektiv und   surjektiv.

Potenzen (Iteration)Bearbeiten

Ist   eine Abbildung einer Menge in sich selbst, dann kann man diese Funktion mit sich selbst verketten und erhält  . Wie bei assoziativen Operationen üblich kann nun induktiv für jede natürliche Zahl   die  -te Potenz   erklärt werden durch:

 
 

Außerdem setzt man

 

  wird auch als  -te Iterierte von   bezeichnet; das (auch mehrfache) Verketten einer Funktion mit sich selbst nennt man Iteration.

Falls auf   eine Multiplikation definiert ist, darf die Iteration nicht mit der Multiplikation verwechselt werden:   kann in diesem Fall auch den Ausdruck   bezeichnen.

Ist   sogar bijektiv, dann existiert die Umkehrfunktion  , und die negativen Potenzen   sind definiert durch:

 

BeispieleBearbeiten

Sei   die Menge der positiven reellen Zahlen und   gegeben durch  . Dann gilt:

 
 

Algebraische StrukturenBearbeiten

Wird die Menge   aller Funktionen aus einer gegebenen Menge   in sich selbst betrachtet, so definiert die Komposition eine innere zweistellige Verknüpfung auf  , bezüglich deren   (mit der identischen Abbildung als neutrales Element) ein Monoid darstellt.

Werden nur bijektive Funktionen herangezogen, ist das Monoid sogar eine Gruppe mit der jeweiligen Umkehrfunktion als inverses Element. Falls die Menge   endlich ist, handelt es sich um eine symmetrische Gruppe.

Strukturverträgliche AbbildungenBearbeiten

In der Mathematik betrachtet man oft Mengen mit einer zusätzlichen Struktur sowie Abbildungen, die mit dieser Struktur verträglich sind, zum Beispiel

Wünschenswert ist nun, dass die Strukturverträglichkeit bei der Komposition erhalten bleibt, und in der Tat gilt in den Beispielen:

  • Die Komposition linearer Abbildungen ist linear.
  • Die Komposition stetiger Abbildungen ist stetig.
  • Die Komposition von Gruppenhomomorphismen ist ein Gruppenhomomorphismus.

Diese Überlegungen führen zur Kategorientheorie, bei der man sogar davon abstrahiert, dass es sich um Abbildungen handelt, und nur noch die Assoziativität sowie die Eigenschaft der Identitäten für die Komposition fordert.

Komposition von RelationenBearbeiten

Zu einer Funktion   ist der Funktionsgraph   eine Relation  . Bezüglich der Komposition von Funktionen gilt dann (unter Verwendung der Infixnotation):

 .

Diese Beobachtung führt zur Definition der Komposition von zweistelligen Relationen   und  : Die Relation   ist gegeben durch

 .

Bei der Komposition von Relationen wird also immer die Reihenfolge von rechts nach links eingehalten.

BeispielBearbeiten

  sei die Menge der Punkte,   die Menge der Geraden und   die Menge der Ebenen im dreidimensionalen Raum. Die Relationen   und   seien festgelegt durch:

  der Punkt   liegt auf der Geraden  
  die Gerade   ist in der Ebene   enthalten

Für die Komposition   gilt dann:

  der Punkt   liegt in der Ebene  

EigenschaftenBearbeiten

  • Die Komposition von Relationen ist assoziativ.
  • Bezeichnet   die identische Relation auf einer Menge  , also die Menge aller Paare  , dann gilt für jede Relation  :
     
  • Ist   eine Relation auf einer Menge  , dann sind also auch alle Potenzen   (mit  ) definiert. Diese Potenzen werden zum Beispiel bei der Definition der reflexiv-transitiven Hülle verwendet. Eine Relation   mit   heißt transitiv.

Abweichende Notation in der PhysikBearbeiten

In der Physik und anderen Naturwissenschaften ist es üblich, die Verkettung einer Funktion mit der "äußeren Funktion" zu identifizieren:  . Aufgrund dieser Notation entstehen in physikalischer Literatur teilweise Gleichungen, die auf den ersten Blick nach gängigen mathematischen Konventionen falsch oder sinnlos sind, etwa

 ,

wobei   der Ortsvektor des Punktes   ist und   seine euklidische Länge. Diese Gleichung ist, mathematisch gesehen, im Prinzip falsch, da nach der linken Seite der Gleichung   eine Funktion   darstellt (setzt man doch in   ein Element   ein), auf der rechten Seite   offenbar als Definitionsbereich eine Teilmenge der reellen Zahlen aufweist, also  , da man in   die skalare Größe   einsetzt. Gemeint ist mit dieser intuitiven Gleichung jedoch, dass (für einen betrachteten Spezialfall) die physikalische Größe   (in diesem Fall ein Potential), das im Allgemeinen eine Funktion des Ortes ist, mit einer Funktion beschrieben werden kann, die nur vom Abstand des Ortes   vom Nullpunkt abhängt. Eine mathematisch „saubere“ Formulierung dieser Aussage würde etwa lauten:

 

  ist also eine Verkettung aus der skalaren Funktion   und der euklidischen Norm  :

 .

Wir erhalten die obige, intuitive Schreibweise dieser Gleichung, indem wir zunächst die Verkettung   symbolisch mit der äußeren Funktion   identifizieren und diese wiederum mit dem Potenzial  . Vorteile der Notation sind intuitiv verständliche Schreibweisen und eine geringe Anzahl von verschiedenen Symbolen. Ein typisches Beispiel einer Funktion, die die obige Gleichung erfüllt, sind Zentralpotenziale   der Form

 

die u. a. in der Elektrostatik verwendet werden.   ist in diesem Fall eine Verkettung der skalaren Funktion   mit

 

mit der euklidischen Norm:

 

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gerd Fischer: Lineare Algebra. Springer, 2009, S. 36.
  2. Ehrhard Behrends: Analysis Band 1. Springer, 2014, S. 19.
  3. Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. Springer, 2013, S. 43.

WeblinksBearbeiten