Integration durch Substitution

Möglichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale

Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu berechnen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.

Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel. Ihr Äquivalent für Integrale über mehrdimensionale Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.

Aussage der SubstitutionsregelBearbeiten

Sei   ein reelles Intervall,   eine stetige Funktion und   stetig differenzierbar. Dann ist

 

BeweisBearbeiten

Sei   eine Stammfunktion von  . Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion  

 

Durch zweimalige Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erhält man damit die Substitutionsregel:

 

AnwendungBearbeiten

Wir betrachten:

 

Das Ziel ist es, den Teilterm   des Integranden zur Integrationsvariable   zu vereinfachen. Dies geschieht durch Anwendung der Substitutionsregel. Dazu multipliziert man zuerst den Integrand mit   und ersetzt in einem zweiten Schritt anschließend überall die Integrationsvariable   mit  . In einem letzten Schritt werden noch die Integrationsgrenzen   und   durch   bzw.   ersetzt.

Man bildet also

 

Wegen der Übersichtlichkeit geht man in der Praxis häufig zu einer neuen Integrationsvariable über z. B. von   zu  . Dann lautet die Umkehrfunktion   und das Differential wird von   zu   und man erhält den formal gleichwertigen Ausdruck:

 

Hat man die Stammfunktion   gefunden, kann man sie direkt mit den Grenzen   und   auswerten oder die Stammfunktion zum ursprünglichen Integranden als   bilden.

Das gleiche können wir auch rückwärts durchführen und wenden die Substitutionsregel auf

 

an. Dann muss die Integrationsvariable   durch den Term von   ersetzt werden und multipliziert anschließend den Integrand mit  . Zuletzt wendet man   auf die Integrationsgrenzen an.

Substitution eines bestimmten IntegralsBearbeiten

Beispiel 1Bearbeiten

Berechnung des Integrals

 

für eine beliebige reelle Zahl  : Durch die Substitution   erhält man  , also  , und damit:

 
 .

Beispiel 2Bearbeiten

Berechnung des Integrals

 :

Durch die Substitution   erhält man  , also  , und damit

 .

Es wird also   durch   ersetzt und   durch  . Die untere Grenze des Integrals   wird dabei in   umgewandelt und die obere Grenze   in  .

Beispiel 3Bearbeiten

Für die Berechnung des Integrals

 

kann man  , also   substituieren. Daraus ergibt sich  . Mit   erhält man

 .

Das Ergebnis kann mit partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

 

und einer weiteren Substitution berechnet werden. Es ergibt sich

 .

Substitution eines unbestimmten IntegralsBearbeiten

Voraussetzungen und VorgehenBearbeiten

Unter den obigen Voraussetzungen gilt

 

Nachdem man eine Stammfunktion der substituierten Funktion bestimmt hat, macht man die Substitution rückgängig und erhält eine Stammfunktion der ursprünglichen Funktion.

Beispiel 1Bearbeiten

Durch quadratische Ergänzung und anschließende Substitution  ,   erhält man

 

Beispiel 2Bearbeiten

Mit der Substitution   erhält man

 

Man beachte, dass die Substitution nur für   bzw. nur für   streng monoton ist.

Spezialfälle der SubstitutionBearbeiten

Lineare SubstitutionBearbeiten

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden: Ist   eine Stammfunktion von  , dann gilt

 , falls  .

Zum Beispiel gilt

 ,

da   und  .

Logarithmische IntegrationBearbeiten

Integrale, bei denen der Integrand ein Bruch ist, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden:

 .

Das entspricht einem Spezialfall der Substitutionsmethode mit  .

Zum Beispiel gilt

 ,

da   die Ableitung   hat.

Eulersche SubstitutionBearbeiten

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs

 

und

 

elementar integrieren.

Beispiel:

 

Durch die Substitution   also  ,  ,   und   ergibt sich

 .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464
  • Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201

WeblinksBearbeiten