Integration durch Substitution

Möglichkeit zur Berechnung bestimmter Integrale

Die Integration durch Substitution oder Substitutionsregel ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und bestimmte Integrale zu berechnen. Durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen wird ein Teil des Integranden ersetzt, um das Integral zu vereinfachen und so letztlich auf ein bekanntes oder einfacher handhabbares Integral zurückzuführen.

Die Kettenregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der Substitutionsregel. Ihr Äquivalent für Integrale über mehrdimensionale Funktionen ist der Transformationssatz, der allerdings eine bijektive Substitutionsfunktion voraussetzt.

Aussage der Substitutionsregel Bearbeiten

Sei   ein reelles Intervall,   eine stetige Funktion und   stetig differenzierbar. Dann ist

 

Differentialkalkül Bearbeiten

Im auf Euler zurückgehenden Differentialkalkül lautet die Substitutionsregel wie folgt:

 

wobei im letzten Schritt der Funktionsterm   durch die neue Variable   ersetzt wird und das neue Differential   gemäß   entsteht.

Beweis Bearbeiten

Sei   eine Stammfunktion von  . Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion  

 

Damit ist   eine Stammfunktion von  . Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung erhält man die Substitutionsregel:

 

Anwendung Bearbeiten

Wir betrachten:

 .

Der Term   erscheint innerhalb der Funktion   und seine Ableitung   als Faktor außerhalb der Funktion  . Diese Konstellation ermöglicht es, durch Substitution den Term   aus dem Integranden in die Integrationsgrenzen zu verschieben. Zur Substitution benutzt man die Umkehrfunktion   und einen neuen Variablennamen, hier  . Es soll gelten   und  . Die Substitution besteht darin, zuerst im Integranden den Faktor   zu streichen und gleichzeitig das Symbol   durch   zu ersetzen. Anschließend wird überall die Integrationsvariable   durch   ersetzt. Abschließend werden die Integrationsgrenzen   und   durch   bzw.   ersetzt.

Rechnerisch läuft folgendes ab:

 

Hat man die Stammfunktion   gefunden, kann man sie direkt an den (neuen) Grenzen   und   auswerten:

 

(Man könnte auch die Stammfunktion zum ursprünglichen Integranden als   bilden und dann an den alten Grenzen   und   auswerten. In der Praxis ist diese Rücksubstitution aber unnützer Aufwand, wenn es nur um bestimmte Integrale geht.)

Diese Substitutionsmethode lässt sich auch rückwärts durchführen; allerdings muss die Funktion   injektiv sein. Man geht von

 

aus (man beachte die Benennung der Integrationsgrenzen). Die Integrationsvariable   wird durch den Term von   ersetzt, ebenso das Symbol   durch  . Der Integrand wird mit   multipliziert. Die Integrationsgrenzen   und   werden durch   bzw.   ersetzt. Das sieht dann so aus:

 

Bei geschickter Wahl der Funktion   kann entgegen des ersten Anscheins der Integrand vereinfacht werden.

Substitution eines bestimmten Integrals Bearbeiten

Beispiel 1 Bearbeiten

Berechnung des Integrals

 

für eine beliebige reelle Zahl  : Durch die Substitution   erhält man  , also  , und damit:

 
 .

Beispiel 2 Bearbeiten

Berechnung des Integrals

 :

Durch die Substitution   erhält man  , also  , und damit

 .

Es wird also   durch   ersetzt und   durch  . Die untere Grenze des Integrals   wird dabei in   umgewandelt und die obere Grenze   in  .

Beispiel 3 Bearbeiten

Das ist ein Beispiel für die Substitution rückwärts.

Für die Berechnung des Integrals

 

kann man   substituieren. Daraus ergibt sich  . Um die Integrationsgrenzen umzurechnen, benutzt man die umgekehrte Beziehung  . Die obere Grenze   wird zu  , weil  . Aus   ergibt sich die neue untere Grenze  . Mit   für   rechnet man

 .

Das Ergebnis kann mit partieller Integration oder mit der trigonometrischen Formel

 

und einer weiteren Substitution berechnet werden. Es ergibt sich

 .

(Damit haben wir die Fläche eines Viertelkreises berechnet.)

Substitution eines unbestimmten Integrals Bearbeiten

Voraussetzungen und Vorgehen Bearbeiten

Unter den obigen Voraussetzungen gilt

 

wobei   eine Stammfunktion von   ist.

Beispiel 1 Bearbeiten

Durch quadratische Ergänzung und anschließende Substitution  ,   erhält man

 

Beispiel 2 Bearbeiten

Mit der Substitution   erhält man

 

Man beachte, dass die Substitution nur für   bzw. nur für   streng monoton ist.

Spezialfälle der Substitution Bearbeiten

Lineare Substitution Bearbeiten

Integrale mit linearen Verkettungen können wie folgt berechnet werden: Ist   eine Stammfunktion von  , dann gilt

 , falls  .

Zum Beispiel gilt

 ,

da   und  .

Logarithmische Integration Bearbeiten

Integrale, bei denen der Integrand ein Bruch ist, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, können sehr einfach mit Hilfe der logarithmischen Integration gelöst werden:

 .

Das entspricht einem Spezialfall der Substitutionsmethode mit  .

Zum Beispiel gilt

 ,

da   die Ableitung   hat.

Eulersche Substitution Bearbeiten

Nach einem Satz von Bernoulli lassen sich alle Integrale des Typs

 

und

 

elementar integrieren.

Beispiel:

 

Durch die Substitution   also  ,  ,   und   ergibt sich

 .

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 5. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 464
  • Konrad Königsberger: Analysis 1, Springer, Berlin 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 200–201

Weblinks Bearbeiten