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Bei assoziativen Verknüpfungen ist das Endergebnis dasselbe, auch wenn die Operationen in unterschiedlicher Reihenfolge ausgeführt werden.

Das Assoziativgesetz (lateinisch associare „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig. Deshalb kann man es anschaulich auch „Klammergesetz“ nennen.

Neben dem Assoziativgesetz sind Kommutativgesetz und Distributivgesetz von elementarer Bedeutung in der Algebra.

DefinitionBearbeiten

Eine binäre Verknüpfung   auf einer Menge   heißt assoziativ, wenn für alle   das Assoziativgesetz

 

gilt. Die Klammern können dann weggelassen werden. Das gilt auch für mehr als drei Operanden.

Beispiele und GegenbeispieleBearbeiten

 
Die Assoziativität der Addition reeller Zahlen

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ. So gilt zum Beispiel

     

und

      .

Reelle Subtraktion und Division sind hingegen nicht assoziativ, denn es ist

     

und

      .

Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da

     

gilt. Bei (divergenten) unendlichen Summen kann es auf die Klammersetzung ankommen. So verliert die Addition die Assoziativität bei:

 

aber

 

EinordnungBearbeiten

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.

SeitigkeitBearbeiten

Insbesondere bei nicht-assoziativen Verknüpfungen gibt es Konventionen einer seitigen Assoziativität.

Eine binäre Verknüpfung   gilt als links-assoziativ, wenn

 

aufzufassen ist.

  • Die nicht-assoziativen Operationen Subtraktion und Division werden gemeinhin links-assoziativ verstanden:[1][2][3]
    (Subtraktion)
    (Division)
  • Anwendung von Funktionen
     
    im Verfahren des Currying.

Eine binäre Verknüpfung   heißt rechts-assoziativ, wenn gilt:

 

Beispiel für eine rechts-assoziative Operation:

 

Aber auch assoziative Operationen können Seitigkeit haben, wenn sie ins Unendliche zu iterieren sind.

  • Die dezimale Notation rechts vom Dezimalkomma
     
    ist eine links-assoziative Verkettung der Dezimalziffern, weil die Auswertung(sschleife) nicht rechts bei den Auslassungspunkten   beginnen kann, sondern links beginnen muss.
  • Die  -adische Schreibweise
     
    enthält mit der Juxtaposition eine rechts-assoziative Verkettungsoperation, weil die Auswertung rechts beginnen muss.

Schwächere Formen der AssoziativitätBearbeiten

Folgende Abschwächungen des Assoziativgesetzes werden an anderer Stelle genannt/definiert:

  • Potenz-Assoziativität:
     
  • Alternativität:
    • Linksalternativität:
       
    • Rechtsalternativität:
       
  • Flexibilitätsgesetz:
     
  • Moufang-Identitäten:
     
     
  • Bol-Identitäten:[4]
    • linke Bol-Identität:
       
    • rechte Bol-Identität:
       
  • Jordan-Identität:
     

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Otto Forster: Analysis 1: Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, München 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Kapitel: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3, S. 115–120
  2. George Mark Bergman: Order of arithmetic operations
  3. The Order of Operations. Education Place
  4. Gerrit Bol: Gewebe und Gruppen In: Mathematische Annalen, 114 (1), 1937, S. 414–431.