Distributivgesetz

Links- bzw. Rechtsverträglichkeit von zweistelligen Verknüpfungen

Die Distributivgesetze/Verteilungsgesetze (lateinisch distribuere ‚verteilen‘) sind mathematische Regeln, die angeben, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten, nämlich dass die eine Verknüpfung in einer bestimmten Weise mit der anderen Verknüpfung verträglich ist.

Visualisierung des Distributivgesetzes für positive Zahlen

Insbesondere in der Schulmathematik bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt als Ausklammern, Herausheben oder Faktorisieren. Das Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als Ausmultiplizieren bezeichnet.[1]

Das Distributivgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und dem Kommutativgesetz grundlegende Regeln der Algebra.

Formale Definition Bearbeiten

Auf einer Menge   seien zwei zweistellige Verknüpfungen   und   definiert. Die Verknüpfung   heißt

  • linksdistributiv über   wenn für alle   gilt  
  • rechtsdistributiv über   wenn für alle   gilt  
  • distributiv über   wenn sie links- und rechtsdistributiv über   ist.

Wenn die Verknüpfung   kommutativ ist, so sind diese drei Bedingungen äquivalent.

Bedeutung Bearbeiten

Als Beispiel können die zweistelligen Verknüpfungen der Addition   und der Multiplikation   von Zahlen dienen.

Man unterscheidet zwischen linksdistributiven und rechtsdistributiven Verknüpfungen:

   (linksdistributiv)
   (rechtsdistributiv)

In Worten:

Eine Summe (bzw. Differenz) wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summand (bzw. Minuend und Subtrahend) mit diesem Faktor multipliziert und die Produktwerte addiert (bzw. subtrahiert).

Ist die „übergeordnete“ Verknüpfung, in diesem Fall die Multiplikation, kommutativ, so kann man aus der Linksdistributivität auch die Rechtsdistributivität folgern und umgekehrt.

Ein Beispiel für „nur“ Rechtsdistributivität ist die Division, die nicht kommutativ ist:

 

Hier gilt in der Regel:

 

In der Schulmathematik werden meistens nur die beidseitigen (kommutativen) Distributivgesetze als solche bezeichnet und das Divisionsgesetz umgangen. Es wird dann nur gerechnet:

seien   und  
 

Die Distributivgesetze gehören zu den Axiomen für Ringe und Körper. Beispiele für Strukturen, in denen zwei Funktionen sich gegenseitig zueinander distributiv verhalten, sind Boolesche Algebren, wie die Algebra der Mengen oder die Schaltalgebra. Es gibt aber auch Kombinationen von Verknüpfungen, die sich nicht distributiv zueinander verhalten; zum Beispiel ist die Addition nicht distributiv gegenüber der Multiplikation.

Das Multiplizieren von Summen kann man auch folgendermaßen in Worte fassen: Eine Summe wird mit einer Summe multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe – unter Beachtung der Vorzeichen – multipliziert und die entstehenden Produkte addiert.

Beispiele Bearbeiten

Reelle Zahlen Bearbeiten

In den folgenden Beispielen wird die Verwendung des Distributivgesetzes auf der Menge der reellen Zahlen   illustriert. In der Schulmathematik spricht man bei diesen Beispielen meist von Ausmultiplizieren. Aus der Sicht der Algebra bilden die reellen Zahlen einen Körper, was die Gültigkeit des Distributivgesetzes sichert.

Erstes Beispiel

Beim Kopfrechnen wird das Distributivgesetz oftmals unbewusst verwendet:

 

Man will 6 · 16 im Kopf berechnen. Dazu multipliziert man 6 · 10 sowie 6 · 6 und addiert die Zwischenergebnisse. Auch das schriftliche Multiplizieren beruht auf dem Distributivgesetz.

Zweites Beispiel

 

Drittes Beispiel

 

Hier wurde das Distributivgesetz zweimal angewandt und das Ergebnis zusammengefasst. Dabei ist es egal, welche Klammer zuerst ausmultipliziert wird oder ob in einem Schritt jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert wird. Es ergibt sich also die dritte Binomische Formel.

Viertes Beispiel

Hier wird das Distributivgesetz andersherum angewandt als in den Beispielen zuvor. Betrachte

 

Da in allen Summanden der Faktor   vorkommt, kann dieser ausgeklammert werden. Das heißt, aufgrund des Distributivgesetzes gilt

 

Matrizen Bearbeiten

Auch für die Matrizenmultiplikation ist das Distributivgesetz gültig. Genauer gesagt gilt

 

für alle  -Matrizen   und  -Matrizen   sowie

 

für alle  -Matrizen   und  -Matrizen  . Da für die Matrizenmultiplikation das Kommutativgesetz nicht gilt, folgt aus dem ersten Gesetz nicht das zweite. Es handelt sich in diesem Fall also um zwei verschiedene Gesetze.

Mengenlehre Bearbeiten

In der Mengenlehre gelten für die Schnittmenge, Vereinigungsmenge und Differenzmenge folgende Distributivgesetze:

 
 
 
 

Aussagenlogik Bearbeiten

In der Aussagenlogik gelten für die Konjunktion und die Disjunktion folgende Distributivgesetze:

 
 

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Günther Rolles, Michael Unger (Hrsg.): Basiswissen Schule - Mathematik 5. bis 10. Klasse. Duden, 2010, ISBN 978-3-411-71504-6, S. 126.