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Ring (Algebra)

Algebraische Struktur in der Mathematik

Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen , Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind. Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt.

Inhaltsverzeichnis

NamensgebungBearbeiten

Der Name Ring bezieht sich nicht auf etwas anschaulich Ringförmiges, sondern auf einen organisierten Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Diese Wortbedeutung ist in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen. Einige ältere Vereinsbezeichnungen (wie z. B. Deutscher Ring, Weißer Ring, Maschinenring) oder Ausdrücke wie „Verbrecherring“, „Tauschring“ oder auch „Ringvorlesung“ weisen noch auf diese Bedeutung hin. Das Konzept des Ringes geht auf Richard Dedekind zurück; die Bezeichnung Ring wurde allerdings von David Hilbert eingeführt.[1][2] In speziellen Situationen ist neben der Bezeichnung Ring auch die Bezeichnung Bereich geläufig. So findet man in der Literatur eher den Begriff Integritätsbereich statt Integritätsring.

DefinitionenBearbeiten

Je nach Teilgebiet und Lehrbuch (und zum Teil je nach Kapitel) wird unter einem Ring etwas Unterschiedliches verstanden. Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter- und Oberstrukturen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Ringbegriffen um unterschiedliche Kategorien.

RingBearbeiten

Ein Ring   ist eine Menge   mit zwei zweistelligen Operationen   und  , sodass

  und
 
für alle   erfüllt sind.

Das neutrale Element   von   heißt Nullelement des Rings  .

Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, ansonsten spricht man von einem nicht-kommutativen Ring.

Ring mit Eins (unitärer Ring)Bearbeiten

Hat die Halbgruppe   ein (beidseitiges) neutrales Element  , ist also ein Monoid, dann nennt man   einen Ring mit Eins oder unitären Ring. Ringe mit nur links- oder nur rechtsneutralem Element gelten in der Ringtheorie nicht als unitär.

Manche Autoren verstehen unter einem Ring grundsätzlich einen (kommutativen) Ring mit Eins, und sprechen andernfalls von einem Pseudo-Ring, englisch auch rng (sic!) oder non-unital ring.
In der Kategorie der Ringe mit Eins muss die Eins auch bei Ringhomomorphismen erhalten bleiben.

Jeder Ring lässt sich in einen unitären Ring einbetten.

Kommutativer Ring mit EinsBearbeiten

In der kommutativen Algebra werden Ringe als kommutative Ringe mit Eins definiert.

FolgerungenBearbeiten

  • Für alle   gilt:
 
sowie „Minus mal Minus ergibt Plus“:
 .
  • Die Addition des additiven Inversen (mit dem unären Minus) zu einem Ringelement wird als Subtraktion (des zweiten vom ersten Ringelement) bezeichnet. Das Operationszeichen dafür ist das binäre Minuszeichen (im Gegensatz zum unären Minuszeichen für die Inversenbildung):
 .
  • Die Distributivgesetze gelten auch für die Subtraktion:
 ,
 .
 
gespiegelt:
 .
  • Fällt das neutrale Element der Multiplikation mit dem der Addition zusammen, dann besteht der Ring nur aus einem einzigen Element. Ein solcher Ring wird „Nullring“ genannt. Er ist ein kommutativer Ring mit Eins.

Unter- und OberstrukturenBearbeiten

Unter- und OberringBearbeiten

Eine Untermenge   eines Ringes   heißt Unterring (oder Teilring) von  , wenn   zusammen mit den beiden auf   eingeschränkten Verknüpfungen von   wieder ein Ring ist.   ist genau dann ein Unterring von  , wenn   eine Untergruppe bezüglich der Addition ist und   abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist, d. h.

 , wenn   und  .

Auch wenn   ein Ring mit Eins ist, so muss die Eins nicht notwendigerweise in   enthalten sein.   kann auch ein Ring ohne Eins sein – etwa   – oder eine andere Eins haben. In der Kategorie der Ringe mit Eins wird von einem Unterring verlangt, dass er dasselbe Einselement enthält (dafür ist es zwar notwendig, aber nicht immer hinreichend, dass der Unterring ein auf diesen bezogen multiplikativ neutrales Element enthält).

Der Durchschnitt von Unterringen ist wieder ein Unterring, und der von   erzeugte Unterring wird definiert als der Durchschnitt aller   umfassenden Unterringe von  .

Ein Ring   heißt Oberring oder Erweiterung eines Ringes  , wenn   ein Unterring von   ist. Es ist auch üblich von einer Ringerweiterung zu sprechen, wenn man einen Ring mit einem Oberring betrachtet. Dies ist analog zum Begriff der Körpererweiterung.

Beispiel 1

Jeder Ring kann in einen Ring mit Einselement eingebettet werden.

Beispiel 2

Folgende Ringerweiterung findet sich in E. Sernesi: Deformations of algebraic schemes[3]:
Sei   ein kommutativer Ring,   ein  -Modul und   die direkte Summe der abelschen Gruppen. Eine Multiplikation auf   sei definiert durch

 

(Die Identifikation von   mit   mit einem  , für das   ist, und Ausrechnen von   ergibt die genannte Formel.)   erweist sich als Ring. Man hat die exakte Sequenz

 

mit der Projektion  . Somit ist   eine Erweiterung von   um  . Eine andere bemerkenswerte Eigenschaft dieser Konstruktion ist, dass der Modul   zum Ideal eines neuen Ringes   wird. Nagata nennt diesen Vorgang Prinzip der Idealisierung.[4]

IdealBearbeiten

Zu einem Ring   heißt eine Teilmenge   von   Linksideal (bzw. Rechtsideal), wenn gilt:

  •   ist eine Untergruppe von  .
  • Für alle   und   ist ebenfalls   (bzw.  ).

Ist   sowohl Links- als auch Rechtsideal, so heißt   zweiseitiges Ideal oder auch nur Ideal.

Enthält in einem Ring mit Eins ein (Links-, Rechts-)Ideal die Eins, so umfasst es ganz  . Da   auch ein Ideal ist, ist   das einzige (Links-, Rechts-)Ideal, das die Eins enthält.   und   sind die sogenannten trivialen Ideale.

Jedes Ideal   von   ist auch ein Unterring von  , ggf. ohne Eins. In der Kategorie der Ringe mit 1 gilt   dann nicht als Unterring.

FaktorringBearbeiten

Ist   ein Ideal in einem Ring  , dann kann man die Menge der Nebenklassen

 

bilden. Die Verknüpfung   lässt sich wegen ihrer Kommutativität immer auf   fortsetzen; die Verknüpfung   jedoch nur, wenn   ein zweiseitiges Ideal in   ist. Ist dies der Fall, dann ist   mit den induzierten Verknüpfungen ein Ring. Er wird Faktorring   genannt – gesprochen:   modulo  .

Der Ringhomomorphismus

 ,

der einem Element   seine Nebenklasse   zuordnet, hat   zum Kern.

GrundringBearbeiten

In einem Ring   mit Eins wird der von   erzeugte Unterring als der Grundring[5] bezeichnet. Hat dieser endliche Mächtigkeit   so ist   die Charakteristik von   abgekürzt:   und man sagt,   habe positive Charakteristik. Andernfalls wird   gesetzt. Damit ist im endlichen wie unendlichen Fall der unitäre Ringhomomorphismus

 

injektiv. Der Grundring ist das Bild   und jedes seiner Elemente ist mit jedem Ringelement vertauschbar. Außerdem ist für jedes Ringelement  

 

das additive Inverse von  

PolynomringBearbeiten

Ist   ein kommutativer Ring mit Eins, so kann der Polynomring   gebildet werden. Dieser besteht aus Polynomen mit Koeffizienten aus   und der Variablen   zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation für Polynome. Eigenschaften von   übertragen sich zum Teil auf den Polynomring. Ist   nullteilerfrei, faktoriell oder noethersch, so trifft dies auch auf   zu.

MatrizenringBearbeiten

Ist   ein Ring mit Eins, so kann zu gegebenem   der Matrizenring   gebildet werden. Dieser besteht aus den quadratischen Matrizen mit Einträgen aus   mit der üblichen Addition und Multiplikation für Matrizen. Der Matrizenring ist wiederum ein Ring mit Eins. Jedoch ist der Matrizenring für   weder kommutativ noch nullteilerfrei, selbst wenn   diese Eigenschaften hat.

Direktes ProduktBearbeiten

Sind   und   Ringe, dann kann das Mengenprodukt   auf natürliche Weise mit einer Ringstruktur ausgestattet werden:

  •  
  •  

Denn die Gültigkeit des Distributivgesetzes in jeder Komponente überträgt sich unmittelbar auf das Mengenprodukt.

Sind beide Ringe   und   unitär, dann ist auch   unitär mit   als dem Einselement.

Dieselbe Konstruktion ist möglich mit einer beliebigen Familie von Ringen: Sind   Ringe über einer Indexmenge  , dann ist   ein Ring, genannt das direkte Produkt der   Ein Unterring des direkten Produkts ist die direkte Summe, bei der nur endlich viele Komponenten von 0 verschieden sind.

HomomorphismusBearbeiten

RinghomomorphismusBearbeiten

Für zwei Ringe   und   heißt eine Abbildung

 

Ringhomomorphismus (kurz Homomorphismus), falls für alle   gilt:

        und
 

Der Kern   des Ringhomomorphismus   ist ein zweiseitiges Ideal in  .

Ein Morphismus   von Ringen mit Eins muss außerdem noch die Bedingung erfüllen, dass das Einselement auf das Einselement abgebildet wird:

 

IsomorphismusBearbeiten

Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Die Ringe   und   heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von   nach   gibt. In diesem Fall ist auch die Umkehrabbildung ein Isomorphismus; die Ringe haben dann dieselbe Struktur.

BeispielBearbeiten

Ausgestattet mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ist das direkte Produkt   ein Ring. Dann ist mit   die Abbildung

 

ein Homomorphismus von Ringen; ein Homomorphismus von Ringen mit Eins aber nur, wenn  

Spezielle Elemente in einem RingBearbeiten

Teiler und NullteilerBearbeiten

Von zwei Elementen   heißt   linker Teiler (Linksteiler) von  , falls ein   mit   existiert. Dann ist auch   rechtes Vielfaches von  . Entsprechend definiert man rechten Teiler (Rechtsteiler) und linkes Vielfaches.

In kommutativen Ringen ist ein linker Teiler auch ein rechter und umgekehrt. Man schreibt hier auch  , falls   ein Teiler von   ist.

Alle Elemente von   sind (Rechts- bzw. Links-) Teiler der Null. Der Begriff des (Rechts- bzw. Links-) Nullteilers hat eine andere Definition. Wenn   nach dieser als Nullteiler zählt, gilt der Satz: Ein Element ist genau dann (Rechts- bzw. Links-) Nullteiler, wenn es nicht (rechts- bzw. links-) kürzbar ist.

Invertierbarkeit, EinheitBearbeiten

Existiert in einem Ring   mit Eins zu einem Element   ein Element  , so dass   (bzw.  ) gilt, so nennt man   ein Linksinverses (bzw. Rechtsinverses) von  . Besitzt   sowohl Links- als auch Rechtsinverses, so nennt man   invertierbar oder Einheit des Ringes. Die Menge der Einheiten eines Ringes   mit Eins wird gewöhnlich mit   oder   bezeichnet.   bildet bezüglich der Ringmultiplikation eine Gruppe – die Einheitengruppe des Ringes. Ist  , so ist   ein Schiefkörper, ist   darüber hinaus kommutativ, so ist   ein Körper.

In kommutativen Ringen mit Eins (insbesondere Integritätsringen) definiert man alternativ die Einheiten auch als diejenigen Elemente, die die Eins teilen. Dass   die Eins teilt, heißt nämlich dass es   gibt mit  .

Assoziierte ElementeBearbeiten

Zwei Elemente   und   sind genau dann rechts assoziiert, wenn es eine Rechtseinheit   gibt, sodass  . Links assoziiert bei   mit einer Linkseinheit  .

Wenn in einem kommutativen Ring mit Eins die Elemente   in der Beziehung   und   stehen, dann sind   und   zueinander assoziiert. Die Seitigkeit (links, rechts) kann also weggelassen werden.

Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation.

IrreduzibilitätBearbeiten

Ein von 0 verschiedenes Element   heißt irreduzibel, wenn es weder Linkseinheit noch Rechtseinheit ist und es keine Nicht-Linkseinheit   und keine Nicht-Rechtseinheit   mit   gibt, wenn also aus der Gleichung folgt, dass   Linkseinheit oder   Rechtseinheit ist.

In einem kommutativen Ring genügt es zu fordern, dass   von 0 verschieden ist, keine Einheit ist und aus   folgt, dass   oder   eine Einheit ist.

PrimelementBearbeiten

Für kommutative unitäre Ringe definiert man: Ein Element   heißt prim oder Primelement, wenn es keine Einheit und ungleich 0 ist und aus   folgt   oder   (siehe auch Hauptartikel: Primelement).

In einem nullteilerfreien Ring ist jedes Primelement irreduzibel. In einem faktoriellen Ring ist umgekehrt auch jedes irreduzible Element ein Primelement.

SpezialfälleBearbeiten

Körper
Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Eins, bei dem   eine Gruppe ist, also zu jedem von Null verschiedenen Element ein multiplikatives Inverses existiert.
Einfacher Ring
Ein Ring  , der nicht der Nullring ist, wird einfach genannt, wenn die trivialen Ideale   und   die einzigen zweiseitigen Ideale sind. Ein kommutativer einfacher Ring mit Eins ist ein Körper.
Idempotenter Ring
Ein idempotenter Ring ist ein Ring, in dem zusätzlich das Idempotenzgesetz   für alle Elemente erfüllt ist. Jeder idempotente Ring ist kommutativ.
Boolescher Ring
Ein Boolescher Ring ist ein idempotenter Ring mit Eins.
Lokaler Ring
Ein lokaler Ring ist ein Ring, in dem es genau ein maximales Linksideal (oder Rechtsideal) gibt. Nicht wenige Autoren verlangen, dass ein lokaler, kommutativer Ring zusätzlich noethersch sein muss und nennen einen nichtnoetherschen Ring mit genau einem maximalen Ideal einen quasi-lokalen Ring. In der Wikipedia lassen wir diese Zusatzforderung weg und sprechen ggf. explizit von noetherschen lokalen Ringen.
Integritätsring
Ein Integritätsring oder Integritätsbereich ist ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit einer Eins, die verschieden ist von der Null. Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper. Jedem Integritätsring lässt sich ein Körper zuordnen, der Quotientenkörper des Integritätsrings.
Faktorieller Ring, ZPE-Ring
Ein faktorieller Ring oder ZPE-Ring ist ein Integritätsring, in dem alle Elemente außer der Null eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in Primfaktoren besitzen.
Hauptidealring
Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. Jeder Hauptidealring ist ein ZPE-Ring.
Euklidischer Ring
In einem euklidischen Ring gibt es eine Division mit Rest. Dadurch kann der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
Noetherscher Ring
In einem kommutativen noetherschen Ring sind alle Ideale endlich erzeugt.

BeispieleBearbeiten

  • Der Nullring, der nur aus einem Element besteht, ist ein kommutativer Ring mit Eins ( ).
  • Die ganzen Zahlen   mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen euklidischen Ring.
  • Die rationalen Zahlen   mit der üblichen Addition und Multiplikation bilden einen Körper.
  • Der Ring der geraden Zahlen   ist ein kommutativer Ring ohne Eins.
  • Polynomringe   über einem Körper sind euklidische Ringe.
  • Der Matrizenring   ist für   ein nicht-kommutativer Ring mit Eins (der Einheitsmatrix).
  • Faktorringe liefern Beispiele für Ringe, die nicht nullteilerfrei sind. Genauer gilt für einen kommutativen Ring mit Eins, dass   genau dann ein Integritätsring ist, wenn   ein Primideal ist.
  • Die Menge   der natürlichen Zahlen mit der üblichen Addition und Multiplikation bildet keinen Ring, da die Addition über den natürlichen Zahlen nicht invertierbar ist.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Halbring
Bei einem Halbring ist   keine abelsche Gruppe, sondern nur eine Halbgruppe, die auch oft (je nach Definition) kommutativ und/oder ein Monoid   sein soll, für den nicht   für alle   gelten muss (die Definitionen sind nicht einheitlich).
Fastring
Bei einem Fastring wird nur eines der beiden Distributivgesetze gefordert und die Addition muss nicht kommutativ sein.
Alternativring
Bei den alternativen Ringen wird auf die Assoziativität der Multiplikation verzichtet und nur die Alternativität gefordert. Das bekannteste Beispiel sind die Oktonionen, die sogar ein Alternativkörper sind.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (R). 17. Juli 2007
  2. The development of Ring Theory (17. Juli 2007)
  3. eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
  4. Masayoshi Nagata: Local rings. Interscience Publishers, New York-London 1962, ISBN 0-88275-228-6.
  5. Bei einem Körper spricht man vom Primkörper.