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Modul (Mathematik)

eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt

Ein Modul [ˈmoːdʊl] (Maskulinum, Plural: Moduln [ˈmoːdʊln], die Deklination ist ähnlich wie die von Konsul; von lateinisch modulus, Verkleinerungsform von modus, „Maß“, „Einheit“) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt.

Ähnlich wie bei Ringen wird je nach Teilgebiet und Lehrbuch unter einem Modul etwas Unterschiedliches verstanden. Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter- und Oberstrukturen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Modulbegriffen um unterschiedliche Kategorien.

Inhaltsverzeichnis

Moduln über einem kommutativen Ring mit EinselementBearbeiten

Ein Modul über einem kommutativen Ring   oder kurz  -Modul ist eine additive abelsche Gruppe   zusammen mit einer Abbildung

            (genannt Multiplikation mit Skalaren, Skalarmultiplikation[1]),

so dass gilt:

 
 
 

Fordert man zusätzlich noch für   ein Einselement   mit

 ,

so nennt man den  -Modul unitär (englisch: unital). Manche Autoren verlangen für Ringe grundsätzlich die Existenz eines Einselements, und dann ebenfalls für Moduln über Ringen.[2] Ist   ein Körper, bildet also zusätzlich   eine abelsche Gruppe, so sind die unitären Moduln über   gerade die Vektorräume über  .

Bemerkung: Der Begriff des Vektorraums ist also eigentlich überflüssig, da er ein Spezialfall des allgemeineren Begriffs des unitären Moduls ist. Tatsächlich ermöglicht aber die Zusatzbedingung, dass   ein Körper ist, so viele Ergebnisse, die in der allgemeinen Situation nicht richtig sind, dass es üblich ist, den Spezialfall durch einen eigenen Begriff vom allgemeinen Fall abzugrenzen.

Das Studium von Moduln über kommutativen Ringen ist Gegenstand der kommutativen Algebra.

Abelsche GruppenBearbeiten

Jede additive abelsche Gruppe   ist auf eindeutige Weise ein unitärer  -Modul, d. h. ein unitärer Modul über dem kommutativen Ring der ganzen Zahlen. Sei  . Wegen

 

muss für   mit   gelten:

 

und analog:

  [3]

Da diese einzig mögliche Verknüpfung aber die Modulaxiome erfüllt, folgt die Behauptung.[4] Folgende Zahlenbereiche sind additive Gruppen und damit  -Moduln:

Oberringe als ModulnBearbeiten

Ist   ein Oberring von  , so ist   definitionsgemäß eine abelsche Gruppe.

Schränkt man die Ringmultiplikation von   auf die Menge   ein, so definiert dies die nötige Skalarmultiplikation, um   in natürlicher Weise als Modul über   zu betrachten. Besitzen   und   dasselbe Einselement, so ist der Modul unitär.

Sind   und   sogar Körper, so spricht man in dieser Situation von einer Körpererweiterung. Die Modulstruktur wird dann, wie oben beschrieben, zu einer Vektorraumstruktur. Die Betrachtung dieser Vektorraumstruktur ist ein unverzichtbares Hilfsmittel bei der Untersuchung von Körpererweiterungen.

Bemerkung: Die im vorherigen Kapitel genannten Zahlbereiche sind alle Oberringe von  , was ebenfalls zeigt, dass sie in natürlicher Weise  -Moduln sind.

Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbstBearbeiten

Sei   der Polynomring über einem Körper  . Dann entsprechen die  -Moduln eins-zu-eins den Paaren   bestehend aus einem  -Vektorraum   und einem Endomorphismus   auf  .

  • Sei   ein  -Modul. Wir stellen fest, dass   auch ein  -Vektorraum ist, da   in   eingebettet ist. Sei   dieser Vektorraum. Das zu   gehörige Paar ist nun  , wobei   durch
 
gegeben ist.
  • Zu einem Paar   definieren wir eine  -Modulstruktur durch
 
und setzen das  -linear auf   fort, d. h. für alle
 
setzen wir
 .

RingidealeBearbeiten

Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den Idealen von   (da   in diesem Abschnitt kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen Links- und Rechtsidealen zu unterscheiden).

Moduln über einem beliebigen RingBearbeiten

Es sei   ein Ring. Ist dieser Ring nicht (unbedingt) kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.

Ein  -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe   zusammen mit einem Ring   und einer Abbildung

 

die in beiden Argumenten additiv ist, d. h. für alle   gilt

  •   und
  •  

und für die

  •   für alle  

gilt.

Wird vorausgesetzt, dass   ein unitärer Ring mit einem Einselement   ist, so fordert man meist auch, dass der  -Linksmodul unitär (englisch: unital) ist, d. h.

  •   für alle  .

Manche Autoren verlangen für Ringe und Moduln grundsätzlich die Existenz eines Einselements.[2]

Ein Rechtsmodul wird ähnlich definiert, außer dass die Skalare des Rings von rechts auf die Elemente von   wirken:
Ein  -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe   zusammen mit einer in beiden Argumenten additiven Abbildung

 

so dass

  für alle  

Ein Rechtsmodul über einem unitären Ring mit Einselement   ist unitär, wenn

  für alle   gilt.

Ist   kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von  -Moduln. Üblicherweise wird die obige Notation für Linksmoduln verwendet.

Alternative DefinitionenBearbeiten

  • Ein  -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe   zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
 
Dabei ist   der Ring der Endomorphismen von   mit der Verkettung als Produkt:
  für  
  • Ein  -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe   zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
 
Dabei sei   der Gegenring des Endomorphismenrings, das heißt der Ring der Endomorphismen von   mit der Rechtsverkettung als Produkt:
  für  

BimodulnBearbeiten

Es seien   und   Ringe. Dann ist ein  - -Bimodul eine abelsche Gruppe   zusammen mit einer  -Linksmodul- und einer  -Rechtsmodulstruktur, so dass

  für  

gilt.

Alternativ ist ein  - -Bimodul eine abelsche Gruppe   zusammen mit einem Ringhomomorphismus

 

Wechsel des RingsBearbeiten

  und   seien Ringe und   sei ein Ringhomomorphismus. Für jeden  -Modul   definiert die Vorschrift

 

eine  -Modulstruktur auf  , die die mit   und der  -Modulstruktur assoziierte genannt wird. Dieser  -Modul wird mit   oder mit   bezeichnet. Ist insbesondere   ein Unterring von   und   die kanonische Einbettung, dann wird   der durch Einschränkung der Skalare von   auf   erhaltene  -Modul genannt.

Ist   ein Untermodul von  , dann ist   ein Untermodul von   und   [5]

Moduln über einer assoziativen AlgebraBearbeiten

Ist   ein kommutativer Ring und   eine assoziative R-Algebra, so ist ein  -Linksmodul ein  -Modul   zusammen mit einem  -Modulhomomorphismus

 

so dass

  für  

gilt.

Ein  -Rechtsmodul ist ein  -Modul   zusammen mit einem  -Modulhomomorphismus

 

so dass

  für  

gilt.

Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.

Moduln über einer Lie-AlgebraBearbeiten

Es sei   eine Lie-Algebra über einem Körper  . Ein  -Modul oder eine Darstellung von   ist ein  -Vektorraum   zusammen mit einer  -bilinearen Abbildung

 

so dass

  für  

gilt.

Alternativ ist ein  -Modul ein  -Vektorraum   zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über  

 

dabei ist   die  -Algebra der Endomorphismen von   mit dem Kommutator als Lieklammer.

 -Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von  .

Moduln über einer GruppeBearbeiten

Es sei   eine Gruppe. Ein  -Modul oder genauer  -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe   zusammen mit einer äußeren zweistelligen Verknüpfung

 ,

so dass

  für alle  

und

  für alle  

sowie

  für das neutrale Element   von   und für alle  

gilt.

Ein  -Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch

  für alle  

zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein  -(Links-)Modul eine abelsche Gruppe   zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

 

dabei ist   die Gruppe der Automorphismen von   mit der Verknüpfung

  für  

Ein  -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe   zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

 

das Produkt auf   ist durch

  für  

gegeben.

Ist   weiter ein Ring, so ist ein  - -Modul eine abelsche Gruppe mit einer  -Modul- und einer  -Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:

  für  

Alternativ ist ein  - -Modul ein  -Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

 

dabei ist   die Gruppe der Automorphismen von   als  -Modul.

 - -Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem Gruppenring  .

Ist   speziell ein Körper, so stimmt der Begriff des  - -Moduls mit dem der  -linearen Darstellung von   überein.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

 Wiktionary: Modul – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Alexander von Felbert: Einführung in die Modultheorie.

LiteraturBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. nicht zu verwechseln mit Skalarprodukt
  2. a b David S. Dummit, Richard M. Foote: Abstract Algebra. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ 2004, ISBN 978-0-471-43334-7.
  3. Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben.
  4. Ein solcher  -Modul muss keine Basis haben, nämlich bei Moduln mit Torsionselementen.
  5. Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3. 2. Auflage. Springer, 1998, ISBN 3-540-64243-9, § 3. Tensor products, 2., S. 221 (Internet Archive).