Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra, benannt nach Sophus Lie, ist eine algebraische Struktur, die mit einer Lie-Klammer versehen ist, d. h. es existiert eine antisymmetrische Verknüpfung, die die Jacobi-Identität erfüllt. Lie-Algebren werden hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbarer Mannigfaltigkeiten eingesetzt.

Definition

Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum ${\mathfrak {g}}$ über einem Körper $K$ zusammen mit einer inneren Verknüpfung

$[\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}},\quad (x,y)\mapsto [x,y],$

welche Lie-Klammer genannt wird und den folgenden Bedingungen genügt:

• Sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten. Es gilt somit $[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]$ und $[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$ für alle $a,b\in K$ und alle $x,y,z\in {\mathfrak {g}}$.
• Sie genügt der Jacobi-Identität. Die Jacobi-Identität lautet: $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ gilt für alle $x,y,z\in {\mathfrak {g}}$.
• Es gilt $[x,x]=0$ für alle $x\in {\mathfrak {g}}$.

Die erste und dritte Eigenschaft implizieren zusammengenommen die Antisymmetrie $[x,y]=-[y,x]$ für alle $x,y\in {\mathfrak {g}}$. Wenn der Körper $K$ nicht Charakteristik 2 hat, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die dritte Eigenschaft herleiten (man wähle $y=x$).

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ: $[[x,y],z]$ muss nicht gleich $[x,[y,z]]$ sein. Jedoch gilt für Lie-Klammern immer das Flexibilitätsgesetz $[[x,y],x]=[x,[y,x]]$.

Anstelle eines Körpers und eines Vektorraums lässt sich eine Lie-Algebra allgemeiner für einen kommutativen unitären Ring definieren.

Beispiele

Aus der Algebra

• Der Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ bildet eine Lie-Algebra, wenn man die Lie-Klammer als das Kreuzprodukt definiert.
• Die allgemeine lineare Lie-Algebra ${\mathfrak {gl}}(V)$ für einen $K$-Vektorraum $V$ ist die Lie-Algebra der Endomorphismen von $V$ mit dem Kommutator

$[A,B]=AB-BA$

als Lie-Klammer. Ist speziell $V=K^{n}$, so schreibt man ${\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ oder ${\mathfrak {gl}}(n,K)$ statt ${\mathfrak {gl}}(V)$.

• Die Endomorphismen mit Spur $0$ in ${\mathfrak {gl}}(V)$ bilden ebenfalls eine Lie-Algebra. Sie heißt „spezielle lineare Lie-Algebra“ und wird mit ${\mathfrak {sl}}(V)$ bzw. ${\mathfrak {sl}}_{n}(K)$ bezeichnet. Diese Benennung leitet sich aus der Lie-Gruppe ${\rm {SL}}(n,\mathbb {R} )$ aller $(n\times n)$-Matrizen mit reellen Elementen und Determinante 1 ab, denn der Tangentialraum der Einheitsmatrix kann mit dem Raum aller reellen $(n\times n)$-Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden, und die Matrizenmultiplikation der Lie-Gruppe liefert über den Kommutator die Lie-Klammer der Lie-Algebra.
• Allgemeiner kann man jede assoziative Algebra $A$ zu einer Lie-Algebra machen, indem man als Lie-Klammer den Kommutator

$[x,y]=x\cdot y-y\cdot x$

wählt. Umgekehrt kann man zeigen, dass sich jede Lie-Algebra als eingebettet in eine assoziative Algebra mit einem Kommutator auffassen lässt, die sogenannte universelle einhüllende Algebra.

• Die Derivationen auf einer (nicht notwendig assoziativen) Algebra werden mit der Kommutatorklammer zu einer Lie-Algebra.

Aus der Physik

In der Physik sind die Lie-Gruppen $\mathrm {SO} (n)$ beziehungsweise $\mathrm {SU} (n)$ wichtig, da sie Drehungen des reellen bzw. komplexen Raumes in $n$ Dimensionen beschreiben. Beispielsweise lautet die Kommutatorrelation der speziellen orthogonalen Gruppe $\mathrm {SO} (3)$ zugrundeliegenden Lie-Algebra ${\mathfrak {so}}(3)$

$[L_{i},L_{j}]=-\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}L_{k}$

in der Basis der drei $3\times 3$-Matrizen

$(L_{i})_{jk}=\varepsilon _{ijk}$

wobei $\varepsilon$ das Levi-Civita-Symbol bezeichnet. Durch Anwenden des Matrixexponentials auf die Generatoren erhält man die drei Koordinatentranformationen für Drehungen um die Koordinatenachsen

$R_{i}=\exp \left(\theta L_{i}\right)$.

Allgemein lässt sich jedes Element der Lie-Gruppe $\mathrm {SO} (3)$ und somit jede beliebige Rotation im dreidimensionalen reellen Raum durch das Exponential einer Linearkombination von Basisvektoren der Lie-Algebra ${\mathfrak {so}}(3)$

$R=\exp \left(\sum _{i=1}^{3}\theta _{i}L_{i}\right)$

darstellen.

Glatte Vektorfelder

Die glatten Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bilden eine unendlichdimensionale Lie-Algebra. Die Vektorfelder operieren als Lie-Ableitung auf dem Ring der glatten Funktionen. Seien $X,Y$ zwei glatte Vektorfelder und $f$ eine glatte Funktion. Wir definieren die Lie-Klammer durch

$\ [X,Y]f:=(XY-YX)f$.

Lie-Algebra einer Lie-Gruppe

Der Vektorraum der linksinvarianten Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe ist unter dieser Kommutatoroperation abgeschlossen und bildet eine endlichdimensionale Lie-Algebra.

Glatte Funktionen mit der Poisson-Klammer

Die glatten Funktionen auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit bilden mit der Poisson-Klammer eine Lie-Algebra. Vergleiche Poisson-Mannigfaltigkeit.

Konstruktionen

Aus gegebenen Lie-Algebren kann man neue konstruieren, siehe dazu

• Affine Lie-Algebra
• Semidirekte Summe

Homomorphismus

Seien ${\mathfrak {g}}$ und ${\mathfrak {h}}$ zwei Lie-Algebren. Eine lineare Abbildung $\varphi \colon {\mathfrak {g}}\longrightarrow {\mathfrak {h}}$ heißt Lie-Algebra-Homomorphismus, wenn $[\varphi (x),\varphi (y)]=\varphi ([x,y])$ für alle $x,y\in {\mathfrak {g}}$ gilt.

In der Kategorie der Lie-Algebren sind die Lie-Algebren die Objekte und die Lie-Algebra-Homomorphismen die Pfeile.

Unteralgebra

Definition

Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ ist ein Untervektorraum ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$, der abgeschlossen unter der Lie-Klammer ist. Das heißt, für alle $x,y\in {\mathfrak {h}}$ gilt $[x,y]\in {\mathfrak {h}}$. Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra ist selbst eine Lie-Algebra.

Ideal

Eine Unteralgebra ${\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ heißt Ideal, wenn $[x,y]\in {\mathfrak {i}}$ für alle $x\in {\mathfrak {g}}$ und $y\in {\mathfrak {i}}$ gilt.

Die Ideale sind genau die Kerne der Lie-Algebra-Homomorphismen.

Auf dem Quotientenraum ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ wird durch $[x+{\mathfrak {i}},y+{\mathfrak {i}}]:=[x,y]+{\mathfrak {i}}$ eine Lie-Algebra definiert, die Quotienten-Algebra. Dabei waren $x,y\in {\mathfrak {g}}$.

Satz von Ado

Der Satz von Ado (nach dem russischen Mathematiker Igor Dmitrijewitsch Ado) besagt, dass jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra isomorph zu einer Unteralgebra der ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )$ für ein genügend großes $n$ ist. Das heißt, man kann jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra als eine Lie-Algebra von Matrizen darstellen.

Typen von Lie-Algebren

Abelsche Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra ist abelsch, wenn die Lie-Klammer identisch null ist.

Jeder Vektorraum bildet eine abelsche Lie-Algebra, wenn man jede Lie-Klammer als Null definiert.

Nilpotente Lie-Algebra

Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra. Eine absteigende Zentralreihe wird durch

${\mathcal {C}}^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},\;\;\;{\mathcal {C}}^{1}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],\;\;\;{\mathcal {C}}^{2}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathcal {C}}^{1}{\mathfrak {g}}],$

allgemein

${\mathcal {C}}^{n+1}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathcal {C}}^{n}{\mathfrak {g}}]$

definiert. Gelegentlich wird sie auch ${\mathfrak {g}}^{n}$ geschrieben.

Eine Lie-Algebra heißt nilpotent, wenn ihre absteigende Zentralreihe null wird, das heißt ${\mathcal {C}}^{N}{\mathfrak {g}}=\{0\}$ für einen Index $N$ gilt.

Satz von Engel

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra, dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

1. Die Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ ist nilpotent.
2. Für jedes $x\in {\mathfrak {g}}$ ist ${\rm {ad}}(x)\colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}},\ y\mapsto [x,y]$ eine nilpotente lineare Abbildung.

Dieser Satz ist nach dem Mathematiker Friedrich Engel benannt.

Auflösbare Lie-Algebra

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra. Wir definieren die abgeleitete (oder derivierte) Reihe durch:

${\mathcal {D}}^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},\;\;\;{\mathcal {D}}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],\;\;\;{\mathcal {D}}^{2}{\mathfrak {g}}=[{\mathcal {D}}{\mathfrak {g}},{\mathcal {D}}{\mathfrak {g}}]$, allgemein ${\mathcal {D}}^{n+1}{\mathfrak {g}}=[{\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}},{\mathcal {D}}^{n}{\mathfrak {g}}]$.

Die abgeleitete Reihe wird gelegentlich auch ${\mathfrak {g}}^{(n)}$ o. ä. geschrieben.

Eine Lie-Algebra heißt auflösbar, wenn ihre abgeleitete Reihe schließlich null wird, d. h. ${\mathcal {D}}^{N}{\mathfrak {g}}=\{0\}$ für große $N$. Das Cartan-Kriterium ist für den Fall der Charakteristik 0 des Grundkörpers eine äquivalente Bedingung. Aus dem Satz von Lie ergeben sich Eigenschaften endlichdimensionaler, auflösbarer, komplexer Lie-Algebren.

Eine maximale auflösbare Unteralgebra heißt Borel-Unteralgebra.

Das größte auflösbare Ideal in einer endlichdimensionalen Lie-Algebra ist die Summe aller auflösbaren Ideale und wird das Radikal der Lie-Algebra genannt.

Einfache Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra heißt einfach, wenn sie kein nicht-triviales Ideal hat und nicht abelsch ist.

Bei den Lie-Algebren wird Einfachheit abweichend verwendet. Dies kann zu Verwirrungen führen. Wenn man eine Lie-Algebra als algebraische Struktur auffasst, so ist die Forderung, dass sie nicht abelsch sein darf, unnatürlich.

Halbeinfache Lie-Algebra

→ Hauptartikel: Halbeinfache Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ heißt halbeinfach, wenn sie die direkte Summe von einfachen Lie-Algebren ist.

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. ${\mathfrak {g}}$ ist halbeinfach.
2. Das Radikal von ${\mathfrak {g}}$ verschwindet, d. h. es gibt keine nichttrivialen auflösbaren Ideale.
3. Cartan-Kriterium: Die Killing-Form: $\ k(u,v)={\rm {tr}}({\rm {ad}}(u)\circ {\rm {ad}}(v))$ ist nicht entartet (${\rm {tr}}$ bezeichnet die Spur von Endomorphismen).

Satz von Weyl

→ Hauptartikel: Satz von Weyl (Lie-Algebra)

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine halbeinfache, endlichdimensionale, komplexe Lie-Algebra, dann ist jede endlichdimensionale Darstellung von ${\mathfrak {g}}$ vollständig reduzibel, also als direkte Summe irreduzibler Darstellungen zerlegbar. Der Satz ist nach Hermann Weyl benannt.

Zerlegung

Halbeinfache Lie-Algebren haben eine Zerlegung

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

in eine Cartan-Unteralgebra ${\mathfrak {h}}$ und Wurzelräume ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$, siehe Wurzelsystem#Lie-Algebren.

Klassifikation

Halbeinfache komplexe Lie-Algebren können anhand ihrer Wurzelsysteme klassifiziert werden; diese Klassifikation wurde 1900 von Élie Cartan abgeschlossen.

Reduktive Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ heißt reduktiv, wenn

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})\oplus \left[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}\right]$

mit dem Zentrum der Lie-Algebra

${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})=\left\{X\in {\mathfrak {g}}:\left[X,Y\right]=0\ \forall \ Y\in {\mathfrak {g}}\right\}$

gilt. In diesem Fall ist $\left[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}\right]$ eine halbeinfache Lie-Algebra.

Eine Lie-Algebra ist genau dann reduktiv, wenn jede endlich-dimensionale Darstellung vollständig reduzibel ist. Insbesondere sind halbeinfache Lie-Algebren nach dem Satz von Weyl reduktiv.

Reelle Lie-Algebren

Eine Auswahl reeller Lie-Algebren

1. eindimensionale: $\mathbb {R}$ mit $[.\,,.]\equiv 0$
2. Es gibt genau zwei Isomorphieklassen von zweidimensionalen reellen Lie-Algebren und zwar $\mathbb {R} ^{2}$ mit $[.\,,.]\equiv 0$ sowie $[.\,,.]\not \equiv 0$.
3. dreidimensionale:
   1. $\mathbb {R} ^{3}$
   2. Heisenberg-Algebra
   3. ${\mathfrak {su}}(2)\cong {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {R} )$
   4. ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )$
4. sechsdimensionale: ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $\cong {\mathfrak {so}}(3,1)$

Literatur

• Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1989) ISBN 0-12-267065-5
• Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction, Birkhäuser (2002) ISBN 0-8176-4259-5
• Jean-Pierre Serre: Complex Semisimple Lie Algebras, Springer, Berlin, 2001. ISBN 3-5406-7827-1

Weblinks

Wikibooks: Ausführlicher Beweis der Klassifikation – Lern- und Lehrmaterialien

• Leistner: The classical Lie algebras and their root systems.