Der Begriff Untermodul verallgemeinert den Begriff des Untervektorraumes eines Vektorraums auf einen Modul über einem Ring.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Rechtsmodul über dem unitären Ring  . Eine Untergruppe   von   heißt  -Untermodul, wenn   abgeschlossen ist bezüglich der Multiplikation mit Elementen aus  . Das bedeutet: Für alle   und alle   ist  . Entsprechend wird der Begriff für Linksmoduln erklärt.

Beispiele und weitere DefinitionenBearbeiten

  • Jeder Modul   besitzt den trivialen Untermodul   und den Untermodul  .
  • Ist   ein Rechtsmodul und  , so ist   ein Untermodul von  . Es ist der von   erzeugte zyklische Untermodul.
  • Ist   ein Rechtsideal des Ringes  , so ist   ein  -Untermodul von   als Rechtsmodul.
  • Sind   Untermoduln von  , so ist   ein Untermodul von  . Es ist der kleinste Untermodul von  , der   und   enthält.
  • Ist   eine Familie von Untermoduln, so ist   ein Untermodul. Es ist der größte Untermodul, der in allen   enthalten ist.
  • Die Vereinigung von Untermoduln ist im Allgemeinen kein Untermodul. So sind   Untermoduln von  , aber  .

Summe von UntermodulnBearbeiten

  • Ist   ein Rechtsmodul über dem Ring   und   eine Familie von Untermoduln, so ist
 
ein Untermodul. Es ist die Summe der Untermoduln  .
  • Sei   eine Teilmenge von  . Dann ist
 
der kleinste Untermodul von  , welcher die Menge   enthält. Ist
 
so erzeugt   den Untermodul  . Man sagt auch   ist ein Erzeugendensystem von  .
  • Wird der Untermodul   von einer endlichen Menge   erzeugt, so heißt   endlich erzeugt. Ist die Menge  , so ist  .
  • Ein Modul   heißt einfach, wenn der einzige echte Untermodul   ist. Ein Untermodul   von   heißt maximal, wenn für alle Untermoduln   mit   gilt:   oder  . Ein Modul   ist genau dann einfach, wenn jeder zyklische Untermodul   schon gleich   ist. Ist   ein echter Untermodul eines endlich erzeugten Moduls  , so ist   in einem maximalen Untermodul enthalten.[1]

Innere direkte Summe von UntermodulnBearbeiten

Die innere direkte Summe von Moduln wird wie die innere direkten Summe von Vektorräumen definiert. Im Unterschied zu einem Vektorraum hat nicht jeder Modul eine Basis, sodass ein Modul normalerweise nicht die innere direkte Summe von zyklischen Untermoduln ist.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Familie von Untermoduln des Rechtsmoduls   und  . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  • Für alle   ist:  .
  • Für alle endlichen Teilmengen   gilt: Ist  , wobei   für alle  , so gilt   für alle  . Jedes   lässt sich daher auf genau eine Weise als Summe von Elementen aus den   darstellen.

Trifft eine dieser Aussagen zu, so heißt   die innere direkte Summe der  . Diese direkte Summe wird mit

 

bezeichnet. Der Untermodul   von   heißt direkter Summand von  , wenn es einen Untermodul   von   gibt mit  . Der Modul   heißt direkt unzerlegbar oder einfach unzerlegbar, wenn er keinen direkten Summanden ungleich   hat.

BeispieleBearbeiten

  1. Ist   ein Vektorraum über einem Körper oder Schiefkörper und   eine Basis von   und ist   für jedes   der von   erzeugte Untervektorraum, so ist  .
  2. Jeder einfache Modul ist direkt unzerlegbar.
  3. Ist   ein Integritätsring und   sein Quotientenkörper, so ist   als Modul über   unzerlegbar.
  4.   ist kein direkter Summand, da es keinen injektiven Morphismus   gibt

Besondere UntermodulnBearbeiten

Maximale UntermodulnBearbeiten

Ein Untermodul   heißt maximal, wenn   in keinem echten Untermodul von M echt enthalten ist.

  ist genau dann ein maximaler Untermodul, wenn der Faktormodul   einfach ist. Jeder echte Untermodul eines endlich erzeugten Moduls ist in einem maximalen Untermodul.[2] Das heißt, insbesondere hat jeder Ring maximale Ideale. Es gibt aber auch Moduln, die keine maximalen Untermoduln enthalten. So hat   keine maximalen Untermoduln.

Große UntermodulnBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Für einen Untermodul   von   sind äquivalent:

  • Für alle Untermoduln   mit   ist  .
  • Zu jedem   gibt es ein   mit  .

Erfüllt ein Untermodul   eine der äquivalenten Eigenschaften, dann heißt   groß in  . Manchmal wird dies mit   abgekürzt.[3]

BeispieleBearbeiten

  • In   als  -Modul ist jeder Untermodul   groß.
  • Das letzte Beispiel kann verallgemeinert werden. Ist   eine torsionsfreie abelsche Gruppe, so ist eine Untergruppe   genau dann groß, wenn die Faktorgruppe   ein Torsionsmodul ist.
  • Ist   eine Primzahl und   eine natürliche Zahl größer 1, so ist in   jeder Untermodul groß.
  • In einem halbeinfachen Modul   ist nur der Modul selber groß in sich.

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist   groß in   und   ein Untermodul von   mit  , so ist   groß in  .
  • Ist   groß in   und   groß in  , so ist   groß in  .
  • Ist   eine nach oben filtrierende Familie von Untermoduln von   und ist   groß in jedem  , so ist   groß in  .
  • Sind   zwei Familien von Untermoduln von   und ist die Summe der   direkt, so gilt: Sind alle   groß in  , so ist   groß in  .
  • Ein Untermodul   heißt abgeschlossen , wenn er in keinem echten Obermodul groß ist. Zu jedem Untermodul   gibt es einen abgeschlossenen Untermodul  , so dass   groß in   ist.
  • Sind   zwei Untermoduln von   mit  , so gibt es einen Obermodul   von  , welcher maximal bezüglich der Eigenschaft   ist. Es ist   groß in  . Es ist   ein Durchschnittskomplement von  . Ein Durchschnittskomplement ist keineswegs eindeutig bestimmt.
  • Ist   ein Untermodul von  , so gibt es zu   ein Durchschnittskomplement   von  . Zu   gibt es ein Durchschnittskomplement   von  , so dass   ein Untermodul von   ist. Es ist   groß in   und   abgeschlossen in  .

Der Sockel eines ModulsBearbeiten

Ist   ein Modul, so ist der Durchschnitt aller großen Untermoduln gleich der Summe aller einfachen Untermoduln. Dieser Untermodul heißt Sockel von  . Er ist der größte halbeinfache Untermodul von  . Er wird mit   bezeichnet. Ist

 

ein Homomorphismus zwischen Moduln  , so ist   ein Untermodul von  . Insbesondere heißt dies, dass der Sockel ein  -Untermodul von   ist, wenn   der Endmorphismenring von   ist. Der Sockel des Ringes   als  -Rechtsmodul ist ein zweiseitiges Ideal. Außerdem ist

 

Der Sockel ist ein Präradikal. Er ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist   eine Familie von Untermoduln, deren Summe direkt ist, so ist

 .

Kleine UntermodulnBearbeiten

Ein Untermodul   heißt klein in  , wenn für alle Untermoduln   von   gilt: Ist  , so ist  .

BeispieleBearbeiten

  •   ist in jedem Obermodul klein.
  • In einer freien abelschen Gruppe ist nur der Modul   klein.
  • In   ist jede endlich erzeugte Untergruppe klein als  -Untermodul.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die endliche Summe kleiner Untermoduln ist klein.
  • Ist   ein Homomorphismus und ist   klein in  , so ist   klein in  .
  • Ein zyklischer Untermodul   ist genau dann nicht klein in  , wenn es einen maximalen Untermodul   gibt, mit  .

Das Radikal eines ModulsBearbeiten

Die Summe aller kleinen Untermoduln von   ist gleich dem Durchschnitt aller maximalen Untermoduln von  . Dieser Untermodul heißt Radikal von  . Er wird mit   bezeichnet.

Eigenschaften des RadikalsBearbeiten

  • Ist   ein Homomorphismus, so ist   ein Untermodul von   (Siehe auch Jacobson-Radikal). Das Radikal ist ein Unterfunktor der Identität. Insbesondere ist   ein zweiseitiges Ideal.
  •  . Der kleinste Untermodul   von   mit   ist  .
  • Das Radikal ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist   eine Familie von Moduln, so gilt:  .
  •   ist ein Untermodul von  .
  • Ist   endlich erzeugt, so ist   klein in  .
  • Ist   endlich erzeugt und das Ideal   ein Untermodul von  , dann ist   klein in  . Dies ist das Lemma von Nakayama.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Kasch: Moduln und Ringe, 2.3.11
  2. Kasch: Moduln und Ringe. S. 34.
  3. Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules (= Graduate Texts in Mathematics 13). 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1992, ISBN 3-540-97845-3, S. 72.

LiteraturBearbeiten

  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.
  • Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.