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Im dreidimensionalen euklidischen Raum bilden alle Ursprungsebenen und Ursprungsgeraden Untervektorräume.

Ein Untervektorraum, Teilvektorraum, linearer Unterraum oder linearer Teilraum ist in der Mathematik eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder einen Vektorraum darstellt. Dabei werden die Vektorraumoperationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation von dem Ausgangsraum auf den Untervektorraum vererbt. Jeder Vektorraum enthält sich selbst und den Nullvektorraum als triviale Untervektorräume.

Jeder Untervektorraum ist das Erzeugnis einer linear unabhängigen Teilmenge von Vektoren des Ausgangsraums. Die Summe und der Durchschnitt zweier Untervektorräume ergibt wieder einen Untervektorraum, dessen Dimension über die Dimensionsformel ermittelt werden kann. Jeder Untervektorraum besitzt mindestens einen Komplementärraum, sodass der Ausgangsraum die direkte Summe aus dem Untervektorraum und seinem Komplement ist. Weiter kann jedem Untervektorraum ein Faktorraum zugeordnet werden, der dadurch entsteht, dass alle Elemente des Ausgangsraums entlang des Untervektorraums parallelprojiziert werden.

Untervektorräume werden in der linearen Algebra unter anderem dazu verwendet, Kern und Bild von linearen Abbildungen, Lösungsmengen von linearen Gleichungen und Eigenräume von Eigenwertproblemen zu charakterisieren. In der Funktionalanalysis werden insbesondere Untervektorräume von Hilberträumen, Banachräumen und Dualräumen untersucht. Untervektorräume besitzen vielfältige Anwendungen, beispielsweise bei numerischen Lösungsverfahren für große lineare Gleichungssysteme und für partielle Differentialgleichungen, bei Optimierungsproblemen, in der Kodierungstheorie und in der Signalverarbeitung.

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Vektorraum über einem Körper  , so bildet eine Teilmenge   genau dann einen Untervektorraum von  , wenn sie nichtleer und abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation ist. Es muss also

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für alle Vektoren   und alle Skalare   gelten. Dabei sind die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation im Untervektorraum   die Einschränkungen der entsprechenden Operationen des Ausgangsraums  .

Äquivalent zur ersten Bedingung kann man auch fordern, dass der Nullvektor von   in   enthalten ist. Enthält nämlich   zumindest ein Element, dann ist aufgrund der Abgeschlossenheit von   bezüglich der Skalarmultiplikation auch der Nullvektor in   enthalten (setze  ). Umgekehrt ist die Menge  , wenn sie den Nullvektor enthält, nichtleer.

Mit Hilfe dieser drei Kriterien lässt sich überprüfen, ob eine gegebene Teilmenge   eines Vektorraums   ebenfalls einen Vektorraum bildet, ohne alle Vektorraumaxiome nachweisen zu müssen. Ein Untervektorraum wird häufig kurz als „Unterraum“ bezeichnet, wenn aus dem Kontext klar ist, dass es sich dabei um einen linearen Unterraum und nicht um einen allgemeineren Unterraum handelt.

BeispieleBearbeiten

 
Die Menge der Vektoren  , für die   gilt, bildet einen Untervektorraum der euklidischen Ebene.

Konkrete BeispieleBearbeiten

Die Menge aller Vektoren   der reellen Zahlenebene   bildet mit der üblichen komponentenweisen Vektoraddition und Skalarmultiplikation einen Vektorraum. Die Teilmenge   der Vektoren, für die   gilt, bildet einen Untervektorraum von  , denn es gilt für alle  :

  • der Koordinatenursprung   liegt in  
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Als weiteres Beispiel kann man den Vektorraum   aller reellen Funktionen   mit der üblichen punktweisen Addition und Skalarmultiplikation betrachten. In diesem Vektorraum bildet die Menge   der linearen Funktionen   einen Untervektorraum, denn es gilt für  :

  • die Nullfunktion   liegt in  
  •  , somit  
  •  , somit  

Allgemeinere BeispieleBearbeiten

EigenschaftenBearbeiten

VektorraumaxiomeBearbeiten

Die drei Unterraumkriterien sind tatsächlich hinreichend und notwendig für die Gültigkeit aller Vektorraumaxiome. Aufgrund der Abgeschlossenheit der Menge   gilt nämlich für alle Vektoren   durch Setzen von  

 

und damit weiter durch Setzen von  

 .

Damit enthält die Menge   insbesondere den Nullvektor und zu jedem Element   auch das additiv inverse Element  . Also ist   eine Untergruppe von   und damit insbesondere eine abelsche Gruppe. Das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz, die Distributivgesetze und die Neutralität der Eins übertragen sich direkt von dem Ausgangsraum   auf  . Damit erfüllt   alle Vektorraum-Axiome und ist ebenfalls ein Vektorraum. Umgekehrt muss jeder Untervektorraum   die drei angegebenen Kriterien erfüllen, da die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation die Einschränkungen der entsprechenden Operationen von   sind.

DarstellungBearbeiten

 
Die lineare Hülle   eines Vektors   in der euklidischen Ebene

Jede Teilmenge   von Vektoren eines Vektorraums   spannt durch Bildung aller möglichen Linearkombinationen

 ,

einen Untervektorraum von   auf, den man die lineare Hülle von   nennt. Die lineare Hülle ist der kleinste Untervektorraum, der die Menge   umfasst und gleich dem Durchschnitt aller Untervektorräume von  , die   umfassen. Umgekehrt ist jeder Untervektorraum   das Erzeugnis einer Teilmenge   von  , das heißt, es gilt

 ,

wobei man die Menge   ein Erzeugendensystem von   nennt. Ein minimales Erzeugendensystem besteht aus linear unabhängigen Vektoren und heißt Basis eines Vektorraums. Die Anzahl der Elemente einer Basis gibt die Dimension eines Vektorraums an.

OperationenBearbeiten

Durchschnitt und VereinigungBearbeiten

Der Durchschnitt zweier Untervektorräume   eines Vektorraums  

 

ist stets selbst ein Untervektorraum.

Die Vereinigung zweier Untervektorräume

 

ist jedoch nur dann ein Untervektorraum, wenn   oder   gilt. Anderenfalls ist die Vereinigung zwar abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation, aber nicht bezüglich der Vektoraddition.

SummeBearbeiten

Die Summe zweier Untervektorräume   eines Vektorraums  

 

ist wieder ein Untervektorraum, und zwar der kleinste Untervektorraum, der   enthält. Für die Summe zweier endlichdimensionaler Untervektorräume gilt die Dimensionsformel

 ,

woraus sich umgekehrt auch die Dimension des Durchschnitts zweier Untervektorräume ablesen lässt. Schnitt- und Summenbasen von Untervektorräumen endlicher Dimension lassen sich mit dem Zassenhaus-Algorithmus berechnen.

Direkte SummeBearbeiten

Besteht der Schnitt zweier Untervektorräume   lediglich aus dem Nullvektor, ist also  , so bezeichnet man die Summe als innere direkte Summe

 ,

denn sie ist isomorph zur äußeren direkten Summe der beiden Vektorräume. In diesem Fall gibt es zu jedem   eindeutig bestimmte Vektoren  ,   mit  . Aus dem Dimensionssatz folgt dann, da der Nullvektorraum nulldimensional ist, für die Dimension der direkten Summe

 ,

was auch im unendlichdimensionalen Fall wahr ist.

Mehrere OperandenBearbeiten

Die vorangegangenen Operationen lassen sich auch auf mehr als zwei Operanden verallgemeinern. Ist   eine Familie von Untervektorräumen von  , wobei   eine beliebige Indexmenge ist, dann bildet der Durchschnitt dieser Untervektorräume

 

wiederum einen Untervektorraum von  . Weiter ergibt auch die Summe mehrerer Untervektorräume

 

wieder einen Untervektorraum von  , wobei im Fall einer Indexmenge mit unendlich vielen Elementen nur endlich viele Summanden ungleich dem Nullvektor sein dürfen. Eine solche Summe heißt direkt und wird dann mit

 

bezeichnet, wenn der Schnitt jedes Untervektorraums   mit der Summe der übrigen Untervektorräume den Nullvektorraum ergibt. Das ist äquivalent dazu, dass jeder Vektor eine eindeutige Darstellung als Summe von Elementen der Untervektorräume besitzt.

Abgeleitete RäumeBearbeiten

KomplementärraumBearbeiten

Zu jedem Untervektorraum   von   existiert mindestens ein Komplementärraum  , sodass

 

gilt. Jedem solchen Komplementärraum entspricht genau eine Projektion   auf den Untervektorraum  , also eine idempotente lineare Abbildung  , mit der

 

gilt, wobei   die identische Abbildung ist. Im Allgemeinen existieren mehrere Komplementärräume zu einem Untervektorraum, von denen durch die Vektorraumstruktur keiner ausgezeichnet ist. In Skalarprodukträumen ist es allerdings möglich, von zueinander orthogonalen Untervektorräumen zu sprechen. Ist   endlichdimensional, dann existiert zu jedem Untervektorraum   ein eindeutig bestimmter orthogonaler Komplementärraum, der gerade das orthogonale Komplement   von   ist, und es gilt dann

 .

FaktorraumBearbeiten

Jedem Untervektorraum   eines Vektorraums   kann ein Faktorraum   zugeordnet werden, der dadurch entsteht, dass alle Elemente des Untervektorraums miteinander identifiziert werden und so die Elemente des Vektorraums entlang des Untervektorraums parallelprojiziert werden. Formal ist der Faktorraum definiert als Menge der Äquivalenzklassen

 

von Vektoren in  , wobei die Äquivalenzklasse eines Vektors

 

die Menge der Vektoren in   ist, die sich von   nur um ein Element   des Untervektorraums   unterscheiden. Der Faktorraum bildet einen Vektorraum, wenn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden, er ist aber selbst kein Untervektorraum von  . Für die Dimension des Faktorraums gilt

 .

Die Untervektorräume von   sind genau die Faktorräume  , wobei   Untervektorraum von   mit   ist.

AnnihilatorraumBearbeiten

Der Dualraum   eines Vektorraums   über einem Körper   ist der Raum der linearen Abbildungen von   nach   und damit selbst ein Vektorraum. Für eine Teilmenge   von   bildet die Menge aller Funktionale, die auf   verschwinden, einen Untervektorraum des Dualraums, den sogenannten Annihilatorraum

 .

Ist   endlichdimensional, so gilt für die Dimension des Annihilatorraums eines Untervektorraums   von  

 .

Der Dualraum   eines Untervektorraums   ist damit isomorph zum Faktorraum  .

Untervektorräume in der linearen AlgebraBearbeiten

Lineare AbbildungenBearbeiten

Ist   eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen   und   über dem gleichen Körper, dann bildet der Kern der Abbildung

 

einen Untervektorraum von   und das Bild der Abbildung

 

einen Untervektorraum von  . Weiterhin ist der Graph einer linearen Abbildung ein Untervektorraum des Produktraums  . Ist der Vektorraum   endlichdimensional, so gilt für die Dimensionen der involvierten Räume der Rangsatz

 .

Die Dimension des Bilds nennt man auch Rang und die Dimension des Kerns auch Defekt der linearen Abbildung. Nach dem Homomorphiesatz ist dabei das Bild isomorph zum Faktorraum  .

Lineare GleichungenBearbeiten

Ist   wiederum eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über dem gleichen Körper, dann ist die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung

 

ein Untervektorraum von  , und zwar gerade der Kern von  . Die Lösungsmenge einer inhomogenen linearen Gleichung

 

mit   ist hingegen, sofern sie nichtleer ist, ein affin-linearer Unterraum von  , was eine Folge der Superpositionseigenschaft ist. Die Dimension des Lösungsraums ist dann ebenfalls gleich der Dimension des Kerns von  .

EigenwertproblemeBearbeiten

Ist nun   eine lineare Abbildung eines Vektorraums in sich, also ein Endomorphismus, mit zugehörigem Eigenwertproblem

 ,

dann ist jeder zu einem Eigenwert   zugehörige Eigenraum

 

ein Untervektorraum von  , dessen vom Nullvektor verschiedene Elemente genau die zugehörigen Eigenvektoren   sind. Die Dimension des Eigenraums entspricht der geometrischen Vielfachheit des Eigenwerts; sie ist maximal so groß wie die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts.

Invariante UntervektorräumeBearbeiten

Ist wieder   ein Endomorphismus, dann heißt ein Untervektorraum   von   invariant unter   oder kurz  -invariant, falls

 

gilt, das heißt, wenn für alle   das Bild   ebenfalls in   liegt. Das Bild von   unter   ist dann also ein Untervektorraum von  . Die trivialen Untervektorräume   und  , aber auch  ,   und alle Eigenräume von   sind stets invariant unter  . Ein weiteres wichtiges Beispiel für invariante Untervektorräume sind die Haupträume, die beispielsweise bei der Bestimmung der jordanschen Normalform verwendet werden.

Untervektorräume in der FunktionalanalysisBearbeiten

UnterhilberträumeBearbeiten

In Hilberträumen, also vollständigen Skalarprodukträumen, werden insbesondere Unterhilberträume betrachtet, das heißt Untervektorräume, die bezüglich der Einschränkung des Skalarprodukts immer noch vollständig sind. Diese Eigenschaft ist gleichbedeutend damit, dass der Untervektorraum abgeschlossen bezüglich der Normtopologie, die durch das Skalarprodukt induziert wird, ist. Nicht jeder Untervektorraum eines Hilbertraums ist auch vollständig, es lässt sich jedoch zu jedem unvollständigen Untervektorraum durch Abschlussbildung ein Unterhilbertraum erhalten, in dem jener dann dicht liegt. Zu jedem Unterhilbertraum existiert nach dem Projektionssatz auch ein eindeutig bestimmtes orthogonales Komplement, das stets abgeschlossen ist.

Unterhilberträume spielen eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik und der Fourier- oder Multiskalenanalyse von Signalen.

UnterbanachräumeBearbeiten

In Banachräumen, also vollständigen normierten Räumen, kann man analog dazu Unterbanachräume, das heißt Untervektorräume, die bezüglich der Einschränkung der Norm vollständig sind, betrachten. Wie im Hilbertraumfall ist ein Untervektorraum eines Banachraums genau dann ein Unterbanachraum, wenn er abgeschlossen ist. Weiter lässt sich zu jedem unvollständigen Untervektorraum eines Banachraums durch Vervollständigung ein Unterbanachraum erhalten, der dicht in diesem liegt. Zu einem Unterbanachraum existiert jedoch im Allgemeinen kein komplementärer Unterbanachraum.

In einem halbnormierten Raum bilden die Vektoren mit Halbnorm Null einen Untervektorraum. Aus einem halbnormierten Raum erhält man einen normierten Raum als Faktorraum, indem man Äquivalenzklassen von Vektoren, die sich bezüglich der Halbnorm nicht unterscheiden, betrachtet. Ist der halbnormierte Raum vollständig, so ist dieser Faktorraum dann ein Banachraum. Diese Konstruktion wird insbesondere bei den Lp-Räumen und verwandten Funktionenräumen eingesetzt.

Bei der numerischen Berechnung partieller Differentialgleichungen mittels der Finite-Elemente-Methode wird die Lösung in geeigneten endlichdimensionalen Unterbanachräumen des zugrundeliegenden Sobolevraums approximiert.

Topologische DualräumeBearbeiten

In der Funktionalanalysis betrachtet man neben dem algebraischen Dualraum auch den topologischen Dualraum   eines Vektorraums  , der aus den stetigen linearen Abbildungen von   nach   besteht. Für einen topologischen Vektorraum bildet der topologische Dualraum einen Untervektorraum des algebraischen Dualraums. Nach dem Satz von Hahn-Banach besitzt ein lineares Funktional auf einem Untervektorraum eines reellen oder komplexen Vektorraums, das von einer sublinearen Funktion beschränkt wird, eine lineare Fortsetzung auf dem Gesamtraum, die ebenfalls durch diese sublineare Funktion beschränkt wird. Als Konsequenz enthält der topologische Dualraum eines normierten Raums ausreichend viele Funktionale, was die Grundlage einer reichhaltigen Dualitätstheorie bildet.

Weitere AnwendungenBearbeiten

Weitere wichtige Anwendungen von Untervektorräumen sind:

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten