Hauptmenü öffnen

Erzeugendensystem

Begriff aus der Mathematik
(Weitergeleitet von Erzeuger (Algebra))

Ein Erzeugendensystem ist in der Mathematik eine Teilmenge der Grundmenge einer mathematischen Struktur, aus der durch Anwendung der verfügbaren Operationen jedes Element der gesamten Menge dargestellt werden kann. Speziell heißt das im Fall von Vektorräumen, dass jeder Vektor als Linearkombination von Vektoren des Erzeugendensystems dargestellt werden kann. Im Fall von Gruppen bedeutet dies, dass jedes Gruppenelement als Produkt aus Elementen des Erzeugendensystems und deren Inversen dargestellt werden kann. Es gibt den Begriff des Erzeugendensystems aber auch für weitere algebraische Strukturen, wie Moduln und Ringe, und auch für nichtalgebraische Strukturen, wie topologische Räume.

Das Erzeugendensystem einer vorgegebenen mathematischen Struktur ist in der Regel nicht eindeutig bestimmt. Die Existenz eines Erzeugendensystems ist hingegen meist leicht zu zeigen, da oft die Grundmenge selbst als Erzeugendensystem gewählt werden kann. Häufig wird daher versucht, ein minimales Erzeugendensystem zu finden. Dies ist jedoch nicht immer möglich und allgemeine Existenzbeweise für minimale Erzeugendensysteme machen nicht selten vom zornschen Lemma Gebrauch (siehe beispielsweise die Existenz einer Basis in Vektorräumen).

Allgemein lässt sich auch die von einer beliebigen Teilmenge erzeugte Unterstruktur einer mathematischen Struktur betrachten. Diese Unterstruktur wird Erzeugnis dieser Teilmenge genannt und die Teilmenge selbst heißt dann erzeugende Menge oder Erzeuger der Unterstruktur. So ist jeder Untervektorraum das Erzeugnis einer erzeugenden Menge von Vektoren (nämlich gerade die lineare Hülle dieser Vektoren) und jede Untergruppe das Erzeugnis einer erzeugenden Menge von Gruppenelementen.

Inhaltsverzeichnis

Erzeugendensysteme in der linearen AlgebraBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Vektorraum über einem Körper  , dann heißt eine Menge   Erzeugendensystem von  , falls jeder Vektor aus   als Linearkombination von Vektoren aus   darstellbar ist. Jeder Vektor   besitzt demnach eine Zerlegung der Form

 

mit  ,   und  . Eine solche Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Ein Vektorraum heißt endlich erzeugt, wenn er ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Vektoren besitzt.

BeispieleBearbeiten

KoordinatenraumBearbeiten

 
Standardbasisvektoren in der euklidischen Ebene
 
Zwei unterschiedliche Erzeugendensysteme: der Vektor   lässt sich durch   oder durch   darstellen.

Ein Erzeugendensystem des reellen Koordinatenraums   besteht aus den sogenannten Standardbasisvektoren

 .

Tatsächlich lässt sich jeder Vektor   durch

 

mit   als Linearkombination dieser Vektoren darstellen. Weitere Erzeugendensysteme können durch Hinzunahme zusätzlicher „überflüssiger“ Vektoren erhalten werden. Insbesondere stellt auch die Menge aller Vektoren des   ein Erzeugendensystem des   dar. Es gibt auch Erzeugendensysteme, die die Vektoren   nicht enthalten. Beispielsweise ist

 

ein Erzeugendensystem des  , denn jeder Vektor   lässt sich auch durch

 

darstellen.

PolynomraumBearbeiten

Ein Beispiel eines nicht endlich erzeugten Vektorraums ist der Polynomraum   der Polynome mit reellen Koeffizienten in einer Variablen  . Ein Erzeugendensystem des   ist die Menge der Monome

 .

Dies ist ein Erzeugendensystem, weil sich jedes Polynom vom Grad   als

 ,

also als (endliche) Linearkombination von Monomen darstellen lässt. Auch hier gibt es viele weitere Erzeugendensysteme, zum Beispiel die Legendre-Polynome oder die Tschebyschow-Polynome. Man kann aber zeigen, dass der Polynomraum kein endliches Erzeugendensystem besitzt.

FolgenraumBearbeiten

Ein weiteres Beispiel eines nicht endlich erzeugten Vektorraums ist der Folgenraum   der reellen Zahlenfolgen   mit   für  . In diesem Fall stellt jedoch die naheliegende Wahl von

 

kein Erzeugendensystem von   dar, weil sich nicht jede Folge als (endliche) Linearkombination der   darstellen lässt. Dies ist lediglich für Folgen möglich, bei denen nur endlich viele Folgenglieder ungleich Null sind. Ein Erzeugendensystem von   besteht zwangsläufig aus überabzählbar vielen Elementen.

NullvektorraumBearbeiten

Der Nullvektorraum  , der nur aus dem Nullvektor   besteht, besitzt die beiden Erzeugendensysteme

    und    .

Die leere Menge bildet ein Erzeugendensystem des Nullvektorraums, da die leere Summe von Vektoren per Definition den Nullvektor ergibt.

MinimalitätBearbeiten

Ein Erzeugendensystem   heißt minimal, falls kein Vektor   existiert, sodass   weiterhin ein Erzeugendensystem von   ist. Gemäß dem Basisauswahlsatz kann aus jedem nicht-minimalen Erzeugendensystem durch Weglassen „überflüssiger“ Elemente ein minimales Erzeugendensystem ausgewählt werden. Das ist leicht im Fall endlich-dimensionaler Vektorräume zu sehen, im Fall unendlich-dimensionaler Vektorräume benötigt man für den Beweis das Lemma von Zorn.

Ein minimales Erzeugendensystem   besteht stets aus linear unabhängigen Vektoren. Wären nämlich die Vektoren in   nicht linear unabhängig, dann gibt es einen Vektor  , der sich als Linearkombination von Vektoren in   darstellen lässt. Dann lässt sich aber jede Linearkombination von Vektoren aus   auch als Linearkombination von Vektoren in   schreiben und   wäre nicht minimal. Jedes minimale Erzeugendensystem stellt somit eine Basis des Vektorraums dar, das heißt jeder Vektor des Raums lässt sich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

Erzeugte UntervektorräumeBearbeiten

Zu einer beliebigen Menge   kann auch der von   erzeugte Untervektorraum   betrachtet werden. Zur Konstruktion von   gibt es die folgenden beiden Verfahren.

Bei dem ersten Verfahren wird der Durchschnitt aller Untervektorräume von  , die   enthalten, betrachtet. Dies ist selbst ein Untervektorraum von  , da der Durchschnitt einer nichtleeren Menge von Untervektorräumen wiederum ein Untervektorraum ist, und   mit sich selbst zumindest einen Untervektorraum besitzt, der   enthält. Dieser Untervektorraum ist der kleinste Untervektorraum im Sinne der Inklusion, der   als Teilmenge enthält.

Bei dem zweiten Verfahren wird die Menge aller möglichen Linearkombinationen von Elementen der Menge   betrachtet. Diese Menge wird die lineare Hülle von   genannt und mit   bezeichnet. Der Untervektorraum   ist damit genau der von   im Sinne der obigen Definition erzeugte Vektorraum. Die Menge   ist also ein Erzeugendensystem von  .

Erzeugendensysteme in der GruppentheorieBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ist   eine Gruppe, dann heißt eine Teilmenge   ein Erzeugendensystem von  , wenn sich jedes Element   als endliches Produkt von Elementen aus   und deren Inversen darstellen lässt. Das heißt jedes Gruppenelement hat eine Darstellung der Form

 

mit   und   oder   für  . Eine solche Zerlegung ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt. Eine Gruppe heißt endlich erzeugt, wenn sie ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Elementen besitzt.

BeispieleBearbeiten

Gruppe der ganzen ZahlenBearbeiten

Ein anschauliches Beispiel ist die Gruppe   der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung und dem neutralen Element  . Die erlaubten Operationen sind hier die Addition von Zahlen und der Übergang zum Negativen einer Zahl. Diese Gruppe wird von der einelementigen Menge

 

erzeugt, denn jede positive Zahl lässt sich durch sukzessive Addition   aus der   gewinnen und alle weiteren durch  . Analog ist auch

 

ein Erzeugendensystem von  . Diese beiden Erzeugendensysteme sind minimal, denn ihre einzige echte Teilmenge ist die leere Menge, und diese stellt kein Erzeugendensystem für   dar. Ein weiteres Erzeugendensystem ist

 ,

denn   und durch   wird bereits ganz   erzeugt. Es ist sogar minimal, das heißt keine echte Teilmenge von   ist ein Erzeugendensystem. Dieses Beispiel zeigt, dass minimale Erzeugendensysteme nicht unbedingt von minimaler Mächtigkeit sein müssen, denn   und   sind Erzeugendensysteme von echt kleinerer Mächtigkeit. Im Allgemeinen wird   von einer nicht-leeren Teilmenge   erzeugt, wenn der größte gemeinsame Teiler   aller Elemente aus   den Betrag   hat. Das zeigt der euklidische Algorithmus, denn dieser produziert als Nebenprodukt eine Darstellung von   als ganze Linearkombination von Elementen aus   (und jede solche Linearkombination wird von   geteilt).

Zyklische GruppenBearbeiten

 
Die Gruppe der fünften Einheitswurzeln ist zyklisch, jedes von   verschiedene Element ist ein Erzeuger.

Besitzt eine Gruppe   ein einelementiges Erzeugendensystem

 ,

dann nennt man die Gruppe zyklisch mit dem Erzeuger  . Hier gilt dann

 ,

das heißt die Gruppe besteht aus den ganzzahligen Potenzen des Erzeugers  . Damit ist auch

 

ein Erzeugendensystem von  . Die zyklischen Gruppen können vollständig klassifiziert werden. Zu jeder natürlichen Zahl   gibt es eine zyklische Gruppe   mit genau   Elementen und es gibt die unendliche zyklische Gruppe  . Jede andere zyklische Gruppe ist zu einer dieser Gruppen isomorph. Insbesondere ist   isomorph zur obigen additiven Gruppe der ganzen Zahlen und   ist isomorph zur Restklassengruppe   mit der Addition (modulo  ) als Verknüpfung. In dieser Restklassengruppe ist jede Zahl  , die teilerfremd zu   ist, ein Erzeuger. Ist   prim, dann stellt sogar jede Zahl   einen Erzeuger dar.

DiedergruppeBearbeiten

 
Die achtelementige Symmetrie­gruppe des Quadrats wird von der Drehung um 90° und der Spiegelung an einer Mittel­senkrechten erzeugt.

Ein Beispiel für eine Gruppe, die von mindestens zwei Elementen erzeugt wird, ist die Diedergruppe  . Die Diedergruppe ist die Isometriegruppe eines regelmäßigen  -Ecks in der Ebene. Sie besteht aus   Elementen, nämlich den   Drehungen   und den   Spiegelungen  . Die Drehung   dreht das Polygon dabei um den Winkel   und die Spiegelung   spiegelt es an einer Achse, die im Winkel   geneigt ist. Ein Erzeugendensystem der Diedergruppe ist

 ,

denn jede Drehung kann durch wiederholte Anwendung von   dargestellt werden (die Drehungen bilden eine zyklische Untergruppe), das heißt  , und jede Spiegelung durch Anwendung von   und einer nachfolgenden Drehung, also  . Die Spiegelung   kann dabei auch durch eine beliebige andere Spiegelung   ersetzt werden. Die Diedergruppe besitzt auch das Erzeugendensystem

 

bestehend aus zwei Spiegelungen, denn die Drehung   hat die Darstellung   und   wurde bereits als Erzeugendensystem identifiziert. Statt   bilden auch zwei beliebige benachbarte Spiegelungen   ein Erzeugendensystem der Diedergruppe, denn es gilt auch  .

Gruppen rationaler ZahlenBearbeiten

Ein Beispiel für eine nicht endlich erzeugte Gruppe ist die Gruppe   der rationalen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Diese Gruppe wird beispielsweise von der Menge der Stammbrüche

 

erzeugt. Sie lässt sich jedoch von keiner endlichen Menge   rationaler Zahlen erzeugen. Zu jeder solchen Menge lässt sich nämlich eine weitere rationale Zahl   finden, die sich nicht als Summe der Zahlen   und ihrer Gegenzahlen darstellen lässt. Hierzu wird einfach der Nenner der Zahl   teilerfremd zu den Nennern der Zahlen   gewählt. Auch die Gruppe   der positiven rationalen Zahlen mit der Multiplikation als Verknüpfung ist nicht endlich erzeugt. Ein Erzeugendensystem dieser Gruppe ist die Menge der Primzahlen

 .

Triviale GruppeBearbeiten

Die triviale Gruppe  , die nur aus dem neutralen Element   besteht, besitzt die beiden Erzeugendensysteme

    und    .

Die leere Menge bildet ein Erzeugendensystem der trivialen Gruppe, da das leere Produkt von Gruppenelementen per Definition das neutrale Element ergibt.

SymmetrieBearbeiten

 
Der Cayleygraph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern a und b

Ein Erzeugendensystem   heißt symmetrisch, wenn

 

gilt. Jedem endlichen, symmetrischen Erzeugendensystem einer Gruppe kann man seinen Cayley-Graphen zuordnen. Unterschiedliche endliche, symmetrische Erzeugendensysteme derselben Gruppe geben quasi-isometrische Cayley-Graphen, der Quasi-Isometrie-Typ des Cayley-Graphen ist also eine Invariante endlich erzeugter Gruppen.

Präsentation von GruppenBearbeiten

Allgemein kann eine Gruppe   als Bild unter der kanonischen Abbildung   der freien Gruppe   über dem Erzeugendensystem   dargestellt werden, wobei   die Inklusion   fortsetzt. Dies erklärt die obige explizite Beschreibung des Erzeugnisses. Weiterhin findet diese Interpretation wichtige Anwendungen in der Gruppentheorie. Wir nehmen an, dass   surjektiv ist, das heißt dass   von   erzeugt wird. Die Kenntnis des Kernes   von   bestimmt dann   bis auf Isomorphie eindeutig. In günstigen Fällen lässt sich der Kern selbst wiederum durch Erzeuger   einfach beschreiben. Das Datum   legt dann   bis auf Isomorphie eindeutig fest.

Erzeugte UntergruppenBearbeiten

Die von einer beliebigen Menge   erzeugte Untergruppe von   wird mit   bezeichnet, sie besteht aus dem neutralen Element und allen endlichen Produkten  , für die für   jeweils   oder   ist. Damit ist

 

ein symmetrisches Erzeugendensystem von  .

Topologische GruppenBearbeiten

In der Theorie der topologischen Gruppen interessiert man sich in der Regel für abgeschlossene Untergruppen und vereinbart daher, unter dem Erzeugnis einer Teilmenge   die kleinste abgeschlossene Untergruppe, die   enthält, zu verstehen.

Da die Verknüpfung und die Inversenbildung stetig sind, ist der Abschluss   des algebraischen Erzeugnisses   wieder eine Untergruppe von  . Daher ist das Erzeugnis einer Teilmenge   einer topologischen Gruppe   der Abschluss des Gruppenerzeugnisses  .

Besitzt   als topologische Gruppe ein endliches Erzeugendensystem, so wird   auch als topologisch endlich erzeugt bezeichnet.

Da   in den ganzen p-adischen Zahlen   dicht ist, wird   als topologische Gruppe von   erzeugt. Es ist also topologisch endlich erzeugt. Aus der Terminologie der proendlichen Gruppen leitet sich ab, dass   prozyklisch ist.

Erzeugendensysteme in der AlgebraBearbeiten

RingeBearbeiten

Sei   ein kommutativer Ring mit Eins. Ein Erzeugendensystem eines Ideals   ist eine Menge   mit der Eigenschaft, dass sich jedes   als

 

mit  ,   und   zerlegen lässt. Ein Ideal   heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Teilmenge   mit   gibt. Ein Hauptideal ist ein von einer einelementigen Menge erzeugtes Ideal. Insbesondere ist der Ring   ein Hauptideal, denn er wird von   erzeugt. Ein Ring ist noethersch genau dann, wenn alle Ideale endlich erzeugt sind.

ModulnBearbeiten

Eine Teilmenge   eines (linken)  -Moduls ist ein Erzeugendensystem, wenn sich jedes   als endliche Summe

 

mit  ,   und   darstellen lässt. Eine analoge Definition gilt für rechte  -Moduln. Ein  -Modul heißt frei, wenn er ein Erzeugendensystem bestehend aus linear unabhängigen Elementen besitzt.

Erzeugendensysteme in Maßtheorie und TopologieBearbeiten

σ-AlgebrenBearbeiten

In der Maß- und Integrationstheorie untersucht man sogenannte σ-Algebren. Für eine Grundmenge   und eine beliebige Teilmenge   der Potenzmenge von   bezeichnet   die von   erzeugte σ-Algebra, also die kleinste σ-Algebra auf  , die alle Mengen aus   enthält. Sie wird konstruiert als der Durchschnitt aller   enthaltenden σ-Algebren auf  , da es im Allgemeinen schwierig ist, das Erzeugnis als solches explizit anzugeben. Man betrachtet zum Beispiel einen topologischen Raum   und sucht in diesem eine kleinste σ-Algebra auf  , die alle offenen Mengen enthält, also die von   erzeugte σ-Algebra  . Die dadurch eindeutig bestimmte σ-Algebra heißt die Borelsche σ-Algebra. Diese ist in der Integrationstheorie von zentraler Bedeutung.

TopologienBearbeiten

In der Topologie ist der Begriff des Erzeugendensystems mit dem der Subbasis gleichbedeutend. Hierbei handelt es sich um ein Mengensystem   offener Teilmengen eines topologischen Raumes  , welches die Topologie   erzeugt. Dies bedeutet, dass aus den in   enthaltenen Elementen allein durch die beiden Operationen der Bildung des Durchschnitts endlich vieler Mengen und der Bildung der Vereinigungsmenge beliebig vieler Mengen jede offene Menge   erzeugt wird.

  ist also dadurch gekennzeichnet, dass   die gröbste Topologie auf der Grundmenge   ist, bezüglich welcher die Mengen in   alle offen sind. Mithin ist   der Durchschnitt aller Topologien auf  , welche   enthalten.

Kann sogar die Topologie   aus   allein durch Bildung beliebiger Vereinigungsmengen erzeugt werden, so nennt man   eine Basis der Topologie  

Mengentheoretische FormulierungBearbeiten

Es sei eine Grundmenge   und ein System   von Teilmengen von   gegeben. Diese Teilmengen entsprechen dabei den Unterstrukturen von  , die im Folgenden betrachtet werden. Sei weiter eine Menge   gegeben. Dann wird nach der kleinsten Menge   gefragt, so dass   gilt. Die Menge   ist dann der Erzeuger von  . Ein solches Element   existiert und ist eindeutig bestimmt, sofern gilt

  1.   ist stabil unter beliebigen Durchschnitten, das heißt ist   eine nichtleere Teilmenge, so ist auch der Durchschnitt  .
  2. Es gibt mindestens ein Element   aus   mit der Eigenschaft   (meist gilt  ).

Das Erzeugnis   hat dann die Darstellung

 .

Dies trifft auf alle obigen Beispiele zu. Im Fall von Vektorräumen ist das betrachtete Mengensystem   die Menge der Untervektorräume eines Vektorraums   und die Grundmenge ist  . Im Fall von Gruppen ist   die Menge der Untergruppen einer Gruppe   und die Grundmenge ist  . Im Fall der σ-Algebren ist   die Menge der σ-Algebren auf   und die Grundmenge  . Dies gilt mutatis mutandis auch für alle anderen genannten Beispiele.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten