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Primzahl

natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die größer als 1 und ausschließlich durch sich selbst und durch 1 teilbar ist. Das Wort „Primzahl“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „erste Zahl“ oder eher „Zahl erster Klasse“ (numerus primus = die erste Zahl).

Die Zahl 12 ist keine Primzahl, die Zahl 11 hingegen schon.
Primzahlfolge in der Teilerfläche

Die Menge der Primzahlen wird in der Regel mit dem Symbol bezeichnet. Mit verknüpft ist die Folge der nach ihrer Größe geordneten Primzahlen, die man auch Primzahlfolge nennt. Es ist demnach

mit

(Folge A000040 in OEIS).

Die Bedeutung der Primzahlen für viele Bereiche der Mathematik beruht auf drei Folgerungen aus ihrer Definition:

  • Existenz und Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl, die größer als 1 und selbst keine Primzahl ist, lässt sich als Produkt von mindestens zwei Primzahlen schreiben. Diese Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Zum Beweis dient das
  • Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist mindestens einer der Faktoren durch sie teilbar.
  • Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als 1 sind, darstellen.

Diese Eigenschaften werden in der Algebra für Verallgemeinerungen des Primzahlbegriffs genutzt.

Eine Zahl, die das Produkt von zwei oder mehr Primfaktoren ist, nennt man zusammengesetzt. Die Zahl 1 ist weder prim noch zusammengesetzt, was mit ihrer Invertierbarkeit zusammenhängt. Alle anderen natürlichen Zahlen sind eines von beiden, entweder prim (also Primzahl) oder zusammengesetzt.

Schon im antiken Griechenland interessierte man sich für die Primzahlen und entdeckte einige ihrer Eigenschaften. Obwohl Primzahlen seit damals stets einen großen Reiz auf die Menschen ausübten, sind viele die Primzahlen betreffenden Fragen bis heute ungeklärt, darunter solche, die mehr als hundert Jahre alt und leicht verständlich formulierbar sind. Dazu gehören die Goldbachsche Vermutung, wonach außer 2 jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, und die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (das sind Paare von Primzahlen, deren Differenz gleich 2 ist).

Bis zum Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen konnte man keinen praktischen Nutzen aus dem Wissen über die Primzahlen ziehen. Mit der Möglichkeit, komplexe Rechnungen schnell und fehlerfrei auszuführen, war die Grundlage unter anderem für die moderne Kryptographie gelegt, bei der die Zahlentheorie und besonders die Primzahlen eine wesentliche Rolle spielen.

Inhaltsverzeichnis

PrimfaktorzerlegungBearbeiten

Es gilt der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, und diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Primzahlen eindeutig. Diese Primzahlen nennt man die Primfaktoren der Zahl. Die Eins wird dabei als leeres Produkt dargestellt.

Weil sich jede natürliche Zahl größer Null durch Multiplikation von Primzahlen eindeutig darstellen lässt, nehmen die Primzahlen eine besondere atomare Stellung in der Mathematik ein, sie „erzeugen“ gewissermaßen alle anderen natürlichen Zahlen. Alexander K. Dewdney bezeichnete sie als den Elementen der Chemie weitgehend ähnlich.

Daraus wird auch klar, warum es unzweckmäßig ist, die Eins als Primzahl zu definieren: Sie ist das neutrale Element der Multiplikation und kann somit multiplikativ keine weiteren Zahlen erzeugen. Sie wird für die Darstellung der Zahlen als Produkt von Primfaktoren nicht benötigt. Würde man die 1 zu den Primzahlen zählen, verlöre sich darüber hinaus die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, weil man an jede Zerlegung beliebig viele Einsen anhängen kann, ohne den Wert der Zahl zu ändern.

Man hat eine Reihe von Faktorisierungsverfahren entwickelt, um die Primfaktoren von allgemeinen Zahlen oder auch solchen von spezieller Form möglichst schnell zu bestimmen. Man kennt aber bisher keine Methode, um beliebige Zahlen effizient zu faktorisieren, d. h. in einer Zeit, die polynomiell mit der Länge der gegebenen Zahl wächst. Die Faktorisierungsannahme besagt, dass es eine solche Methode auch nicht gibt.

Eigenschaften von PrimzahlenBearbeiten

Die Primzahlen sind innerhalb der Menge   der natürlichen Zahlen dadurch charakterisiert, dass jede von ihnen genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat.[1]

Mit Ausnahme der Zahl 2 sind alle Primzahlen   ungerade, denn alle größeren geraden Zahlen lassen sich außer durch sich selbst und 1 auch noch (mindestens) durch 2 teilen. Damit hat jede Primzahl außer 2 die Form   mit einer natürlichen Zahl  .

Jede Primzahl   lässt sich einer der beiden Klassen „Primzahl der Form  “ oder „Primzahl der Form  “ zuordnen, wobei   eine natürliche Zahl ist. Darüber hinaus hat jede Primzahl   die Form   oder  , wobei   eine natürliche Zahl ist. Nach dem dirichletschen Primzahlsatz gibt es in jeder dieser vier Klassen unendlich viele Primzahlen.

Jede natürliche Zahl der Form   mit einer nichtnegativen ganzen Zahl   enthält mindestens einen Primfaktor der Form  . Eine entsprechende Aussage über Zahlen der Form   oder Primfaktoren der Form   ist nicht möglich.

Eine Primzahl   lässt sich genau dann in der Form   mit ganzen Zahlen   schreiben, wenn   die Form   hat. In diesem Fall ist die Darstellung im Wesentlichen eindeutig, d. h. bis auf Reihenfolge und Vorzeichen von  . Diese Darstellung entspricht der Primfaktorzerlegung

 

im Ring der ganzen gaußschen Zahlen.

Die Zahl −1 ist ein quadratischer Rest modulo jeder Primzahl der Form   und quadratischer Nichtrest modulo jeder Primzahl der Form  .

Der kleine Satz von FermatBearbeiten

Es sei   eine Primzahl. Für jede ganze Zahl  , die nicht durch   teilbar ist, gilt (für die Notation siehe Kongruenz):

 

Für nicht durch   teilbare Zahlen   ist die folgende Formulierung äquivalent:

 

Es gibt Zahlen  , die keine Primzahlen sind, sich aber dennoch zu einer Basis   wie Primzahlen verhalten, d. h. es ist  . Solche   nennt man fermatsche Pseudoprimzahlen zur Basis  . Ein  , das fermatsche Pseudoprimzahl bezüglich aller zu ihm teilerfremden Basen   ist, nennt man Carmichael-Zahl.

In diesem Zusammenhang zeigt sich die Problematik fermatscher Pseudoprimzahlen: sie werden von einem Primzahltest, der den kleinen Satz von Fermat nutzt (Fermatscher Primzahltest), fälschlicherweise für Primzahlen gehalten. Wenn allerdings ein Verschlüsselungsverfahren wie RSA eine zusammengesetzte Zahl statt einer Primzahl verwendet, ist die Verschlüsselung nicht mehr sicher. Deshalb müssen bei solchen Verfahren bessere Primzahltests verwendet werden.

Euler und das Legendre-SymbolBearbeiten

Eine einfache Folge aus dem kleinen Satz von Fermat ist die folgende Aussage: Für jede ungerade Primzahl   und jede ganze Zahl  , die nicht durch   teilbar ist, gilt entweder

 

oder

 

Man kann zeigen, dass der erste Fall genau dann eintritt, wenn es eine Quadratzahl   gibt, die kongruent zu   modulo   ist, siehe Legendre-Symbol.

BinomialkoeffizientBearbeiten

Für Primzahlen   und   gilt

 

zusammen mit dem binomischen Satz folgt daraus

 

Für ganze Zahlen   folgt diese Aussage auch direkt aus dem kleinen fermatschen Satz, aber sie ist beispielsweise auch für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten anwendbar; im allgemeinen Kontext entspricht sie der Tatsache, dass die Abbildung   in Ringen der Charakteristik   ein Homomorphismus ist, der sogenannte Frobenius-Homomorphismus.

Aus dem Satz von Wilson (  ist genau dann eine Primzahl, wenn   ist) folgt, dass für jede Primzahl   und jede natürliche Zahl   die Kongruenz

 

erfüllt ist.

Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl   diese Kongruenz gilt:

 

Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829–1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl   die folgende Kongruenz gilt:

 

GiugaBearbeiten

Aus dem kleinen Satz von Fermat folgt, dass für eine Primzahl   gilt:

 

Beispiel  :

 

Giuseppe Giuga vermutete, dass auch die umgekehrte Schlussrichtung gilt, dass also eine Zahl mit dieser Eigenschaft stets prim ist. Es ist nicht geklärt, ob diese Vermutung richtig ist. Bekannt ist aber, dass ein Gegenbeispiel mehr als 10.000 Dezimalstellen haben müsste. Im Zusammenhang mit Giugas Vermutung werden die Giuga-Zahlen untersucht.

Lineare RekursionenBearbeiten

Den kleinen fermatschen Satz kann man auch in der Form lesen: In der Folge   ist das  -te Folgenglied für eine Primzahl   stets durch   teilbar. Ähnliche Eigenschaften besitzen auch andere Folgen von exponentiellem Charakter, wie die Lucas-Folge ( ) und die Perrin-Folge ( ). Für andere lineare Rekursionen gelten analoge, aber kompliziertere Aussagen, beispielsweise für die Fibonacci-Folge  : Ist   eine Primzahl, so ist   durch   teilbar; dabei ist

 

das Legendre-Symbol.

Divergenz der Summe der KehrwerteBearbeiten

Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen ist divergent. Somit gilt:

 .

Das ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass die durch   definierte Folge keinen endlichen Grenzwert besitzt, was wiederum bedeutet, dass sich für ein genügend groß gewähltes   jede erdenkliche reelle Zahl übertreffen lässt. Dies ist zunächst einmal verblüffend, da die Primzahllücken im Schnitt immer weiter zunehmen. Der Satz von Mertens trifft eine Aussage über das genaue Wachstumsverhalten dieser divergenten Reihe.

PrimzahltestsBearbeiten

Ob eine beliebige natürliche Zahl prim ist, kann mit einem Primzahltest herausgefunden werden. Es gibt mehrere solcher Verfahren, die sich auf besondere Eigenschaften von Primzahlen stützen. In der Praxis wird der Miller-Rabin-Test am häufigsten verwendet, der eine extrem kurze Laufzeit hat, allerdings mit kleiner Wahrscheinlichkeit falsch-positive Ergebnisse liefert. Mit dem AKS-Primzahltest ist es möglich, über die Primalität ohne Gefahr eines Irrtums in polynomieller Laufzeit zu entscheiden. Allerdings ist er in der Praxis deutlich langsamer als der Miller-Rabin-Test.

PrimzahlzertifikatBearbeiten

Herauszufinden, ob eine natürliche Zahl prim ist oder nicht, kann sehr aufwändig sein. Zu jeder Primzahl lässt sich aber eine Kette von Behauptungen angeben, die alle unmittelbar nachvollziehbar sind, zusammen die Primalität belegen und deren Gesamtlänge höchstens proportional ist zum Quadrat der Länge der Primzahl.[2][3] Ein solcher Beleg wird Zertifikat (engl. primality certificate) genannt.[4]

Bei der Zusammengesetztheit (Nichtprimalität) einer Zahl ist der Unterschied zwischen Beleg und Finden eines Belegs noch augenfälliger: Als Beleg genügen zwei Faktoren, deren Produkt die zusammengesetzte Zahl ergibt; das Finden eines echten Teilers kann aber sehr viel Aufwand bedeuten.

Größte bekannte PrimzahlBearbeiten

Der Grieche Euklid hat im vierten Jahrhundert vor Christus logisch geschlussfolgert, dass es unendlich viele Primzahlen gibt; diese Aussage wird als Satz von Euklid bezeichnet. Euklid führte einen Widerspruchsbeweis für die Richtigkeit dieses Satzes (Elemente, Buch IX, § 20): Ausgehend von der Annahme, dass es nur endlich viele Primzahlen gibt, lässt sich eine weitere Zahl konstruieren, die eine bisher nicht bekannte Primzahl als Teiler hat oder selbst eine Primzahl ist, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt. Somit kann eine endliche Menge niemals alle Primzahlen enthalten, also gibt es unendlich viele. Heute kennt man eine ganze Reihe von Beweisen für den Satz von Euklid.[5]

Der Satz von Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt. Es ist jedoch kein Verfahren bekannt, das effizient beliebig große Primzahlen generiert – deshalb gab es stets eine jeweils größte bekannte Primzahl, seitdem sich die Menschen mit Primzahlen befassen. Derzeit (Stand: Januar 2018) ist es   eine Zahl mit 23.249.425 (dezimalen) Stellen, die am 26. Dezember 2017 berechnet wurde. Für den Entdecker Jonathan Pace gab es für den Fund 3.000 US-Dollar vom Projekt Great Internet Mersenne Prime Search, das Mersenne-Primzahlen mittels verteiltem Rechnen sucht.[6]

Die größte bekannte Primzahl war fast immer eine Mersenne-Primzahl, also von der Form   da in diesem Spezialfall der Lucas-Lehmer-Test angewendet werden kann, ein im Vergleich zur allgemeinen Situation sehr schneller Primzahltest. Bei der Suche nach großen Primzahlen werden deshalb nur Zahlen dieses oder eines ähnlich geeigneten Typs auf Primalität untersucht.

Liste der Rekordprimzahlen nach JahrenBearbeiten

Zahl Anzahl der
Dezimalziffern
Jahr Entdecker (genutzter Computer)
217−1 6 1588 Cataldi
219−1 6 1588 Cataldi
231−1 10 1772 Euler
(259−1)/179951 13 1867 Landry
2127−1 39 1876 Lucas
(2148+1)/17 44 1951 Ferrier
180·(2127−1)2+1 79 1951 Miller & Wheeler (EDSAC1)
2521−1 157 1952 Robinson (SWAC)
2607−1 183 1952 Robinson (SWAC)
21.279−1 386 1952 Robinson (SWAC)
22.203−1 664 1952 Robinson (SWAC)
22.281−1 687 1952 Robinson (SWAC)
23.217−1 969 1957 Riesel (BESK)
24.423−1 1.332 1961 Hurwitz (IBM7090)
29.689−1 2.917 1963 Gillies (ILLIAC 2)
29.941−1 2.993 1963 Gillies (ILLIAC 2)
211.213−1 3.376 1963 Gillies (ILLIAC 2)
219.937−1 6.002 1971 Tuckerman (IBM360/91)
221.701−1 6.533 1978 Noll & Nickel (CDC Cyber 174)
223.209−1 6.987 1979 Noll (CDC Cyber 174)
244.497−1 13.395 1979 Nelson & Slowinski (Cray 1)
286.243−1 25.962 1982 Slowinski (Cray 1)
2132.049−1 39.751 1983 Slowinski (Cray X-MP)
2216.091−1 65.050 1985 Slowinski (Cray X-MP/24)
391581·2216.193−1 65.087 1989 „Amdahler Sechs“ (Amdahl 1200)
2756.839−1 227.832 1992 Slowinski & Gage (Cray 2)
2859.433−1 258.716 1994 Slowinski & Gage (Cray C90)
21.257.787−1 378.632 1996 Slowinski & Gage (Cray T94)
21.398.269−1 420.921 1996 Armengaud, Woltman (GIMPS, Pentium 90 MHz)
22.976.221−1 895.932 1997 Spence, Woltman (GIMPS, Pentium 100 MHz)
23.021.377−1 909.526 1998 Clarkson, Woltman, Kurowski (GIMPS, Pentium 200 MHz)
26.972.593−1 2.098.960 1999 Hajratwala, Woltman, Kurowski (GIMPS, Pentium 350 MHz)
213.466.917−1 4.053.946 2001 Cameron, Woltman, Kurowski (GIMPS, Athlon 800 MHz)
220.996.011−1 6.320.430 2003 Shafer (GIMPS, Pentium 4 2 GHz)
224.036.583−1 7.235.733 2004 Findley (GIMPS, Pentium 4 2,4 GHz)
225.964.951−1 7.816.230 2005 Nowak (GIMPS, Pentium 4 2,4 GHz)
230.402.457−1 9.152.052 2005 Cooper, Boone (GIMPS, Pentium 4 3 GHz)
232.582.657−1 9.808.358 2006 Cooper, Boone (GIMPS, Pentium 4 3 GHz)
243.112.609−1 12.978.189 2008 Smith, Woltman, Kurowski et al. (GIMPS, Core 2 Duo 2,4 GHz)
257.885.161−1 17.425.170 2013 Cooper, Woltman, Kurowski et al. (GIMPS, Core2 Duo E8400 @ 3,00 GHz)
274.207.281−1 22.338.618 2016 Cooper, Woltman, Kurowski et al. (GIMPS, Intel i7-4790 @ 3,60 GHz)
277.232.917–1 23.249.425 2017 Jonathan Pace et al. (GIMPS, Intel i5-6600 @ 3,30 GHz)

Verteilung und WachstumBearbeiten

Pi-Funktion und PrimzahlsatzBearbeiten

 
In der Grafik wird die  -Funktion in blau dargestellt. Die Funktion   in grün und der Integrallogarithmus   in rot sind Approximationen der  -Funktion.

Zur Untersuchung der Verteilung der Primzahlen betrachtet man unter anderem die Funktion

 ,

die die Anzahl der Primzahlen   angibt und auch Primzahlzählfunktion genannt wird. Zum Beispiel ist

 .

Diese Funktion und ihr Wachstumsverhalten ist ein beliebter Forschungsgegenstand in der Zahlentheorie. Mit der Zeit wurden einige Näherungsformeln entwickelt und verbessert.

Der Primzahlsatz besagt, dass

 

gilt, das heißt, dass der Quotient von linker und rechter Seite für   gegen 1 strebt:

  (siehe Asymptotische Analyse)

Der dirichletsche Primzahlsatz dagegen schränkt die Betrachtung auf Restklassen ein: Es sei   eine natürliche Zahl. Ist   eine ganze Zahl, die zu   nicht teilerfremd ist, so kann die arithmetische Folge

 

höchstens eine Primzahl enthalten, weil alle Folgenglieder durch den größten gemeinsamen Teiler von   und   teilbar sind. Ist   aber teilerfremd zu  , so besagt der dirichletsche Primzahlsatz, dass die Folge unendlich viele Primzahlen enthält. Beispielsweise gibt es unendlich viele Primzahlen der Form   und unendlich viele der Form   (  durchläuft jeweils die nichtnegativen natürlichen Zahlen).

Diese Aussage kann noch in der folgenden Form präzisiert werden: Es gilt

 

dabei ist   die eulersche Phi-Funktion. In diesem Sinne liegen also für ein festes   in den Restklassen   mit   jeweils „gleich viele“ Primzahlen.

SchrankenBearbeiten

Die (bewiesene) Bonsesche Ungleichung garantiert, dass das Quadrat einer Primzahl kleiner ist als das Produkt aller kleineren Primzahlen (ab der fünften Primzahl).

Nach der (unbewiesenen) Andricaschen Vermutung ist die Differenz der Wurzeln der  -ten und der  -ten Primzahl kleiner als 1.

PrimzahllückenBearbeiten

Die Differenz zwischen zwei benachbarten Primzahlen heißt Primzahllücke. Diese Differenz schwankt, und es gibt Primzahllücken beliebiger Größe. Es gibt aber auch Beschränkungen für die Lückengröße in Abhängigkeit von ihrer Lage:

Der Satz von Bertrand sichert die Existenz einer Primzahl zwischen jeder natürlichen Zahl   und ihrem Doppelten  .

Nach der (unbewiesenen) Legendreschen Vermutung gibt es stets mindestens eine Primzahl zwischen   und  .

Abschätzungen zu Primzahlen und Folgerungen aus dem PrimzahlsatzBearbeiten

Im Folgenden sei die Folge der Primzahlen mit   bezeichnet.

AbschätzungenBearbeiten

Für Indizes   gelten folgende Abschätzungen:

(1a)
 [7][8]
(1b)
  für  [9][10]
(1c)
  für  [11]
(1d)
 [12]
(1e)
  für  [13][14]

Folgerungen aus dem PrimzahlsatzBearbeiten

Mit dem Primzahlsatz ergeben sich folgende Resultate:

(2a)
 [15]
(2b)
  für  [16][17][18]
(2c)

Für jede positive reelle Zahl   existiert eine Folge   von Primzahlen mit

 .[19][20]
(2d)

Die Menge der aus allen Primzahlen gebildeten Quotienten ist eine dichte Teilmenge der Menge aller positiven reellen Zahlen. D. h.: Für beliebige positive reelle Zahlen   mit   existieren stets Primzahlen  , sodass

 

erfüllt ist.[21]

Generierung von PrimzahlenBearbeiten

 
Veranschaulichung des Algorithmus Sieb des Eratosthenes

Einer der ältesten Algorithmen zur Bestimmung von Primzahlen ist das Sieb des Eratosthenes. Bis heute ist kein effizienter Primzahlgenerator bekannt. Es gibt allerdings Formeln, bei denen eine gewisse Wahrscheinlichkeit besteht, dass die erzeugten Zahlen prim sind. Solche Zahlen müssen nachträglich noch auf ihre Primalität getestet werden.

Spezielle Primzahlen und PrimzahlkonstellationenBearbeiten

Weitere spezielle Arten von Primzahlen finden sich in der Kategorie:Primzahl.

VerallgemeinerungBearbeiten

In der Ringtheorie wird das Konzept der Primzahl auf die Elemente eines beliebigen kommutativen unitären Rings verallgemeinert. Die entsprechenden Begriffe sind Primelement und irreduzibles Element.

Die Primzahlen und deren Negative sind dann genau die Primelemente und auch genau die irreduziblen Elemente des Rings der ganzen Zahlen. In faktoriellen Ringen, das sind Ringe mit eindeutiger Primfaktorisierung, fallen die Begriffe Primelement und irreduzibles Element zusammen; im Allgemeinen ist die Menge der Primelemente jedoch nur eine Teilmenge der Menge der irreduziblen Elemente.

Insbesondere im zahlentheoretisch bedeutsamen Fall der Dedekindringe übernehmen Primideale die Rolle der Primzahlen.

Primzahlen in der NaturBearbeiten

In Nordamerika weisen manche Zikadenarten einen besonders langen Fortpflanzungsrhythmus von genau 13 oder 17 Jahren auf, mit dem sie den 2-, 4- und 6-jährigen Entwicklungsrhythmen ihrer Fressfeinde ausweichen.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Primzahlen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  Wiktionary: Primzahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  Wikibooks: Fundamentalsatz der Arithmetik – Lern- und Lehrmaterialien
  Wikibooks: Primzahlen von 2 bis 100.000 – Lern- und Lehrmaterialien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer, 1996, ISBN 3-540-58791-8, S. 18, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche.
  2. Vaughan R. Pratt: Every Prime has a Succinct Certificate. PDF.
  3. Vašek Chvátal: Lecture notes on Pratt’s Primality Proofs. PDF.
  4. Der Satz von Vaughan Pratt als Theorem des Tages. PDF.
  5. Für Beweise des Satzes von Euklid siehe Beweisarchiv.
  6. Mersenne Prime Discovery – 277232917-1 is Prime! Abgerufen am 5. Januar 2018 (englisch).
  7. Rademacher-Toeplitz: S. 164.
  8. Sierpiński: S. 146.
  9. Dressler-Pigno-Young: Nordisk Mat. Tidskr. Band 24, S. 39.
  10. Sándor-Mitrinović-Crstici: S. 247.
  11. Sierpiński: S. 145.
  12. Die Abschätzung (1d) wurde zuerst von John Barkley Rosser gefunden (s. Rosser in: Proc. London Math. Soc., Bd. 45, S. 21 ff. / Sierpiński, S. 163 / Sándor-Mitrinović-Crstici, S. 247).
  13. Sierpiński: S. 162.
  14. Aus (1e) ergibt sich, wie Sierpiński anmerkt, unmittelbar die Divergenz der Reihe  .
  15. Sierpiński: S. 163.
  16. Rosser-Schoenfeld: Illinois J. Math. Band 6, S. 64 ff.
  17. Sierpiński: S. 163.
  18. Wie Sierpiński anmerkt, gelangt man mit (2b) unmittelbar zum Primzahlsatz.
  19. Sierpiński: S. 165.
  20. Dieses Ergebnis wurde gemäß Sierpiński zuerst von dem polnischen Mathematiker Hugo Steinhaus gewonnen.
  21. Sierpiński: S. 165.