In der Zahlentheorie ist eine quartische Primzahl (vom englischen quartan prime) eine Primzahl der Form mit ganzzahligen und .

Beispiele

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  • Die Zahl   ist eine quartische Primzahl.
  • Die Zahl   ist eine quartische Primzahl.
  • Die kleinsten quartischen Primzahlen lauten:
2, 17, 97, 257, 337, 641, 881, 1297, 2417, 2657, 3697, 4177, 4721, 6577, 10657, 12401, 14657, 14897, 15937, 16561, 28817, 38561, 39041, 49297, 54721, 65537, 65617, 66161, 66977, 80177, 83537, 83777, 89041, 105601, 107377, 119617, 121937, … (Folge A002645 in OEIS)
 

Sie hat   Stellen und wurde am 29. August 2017 von Sylvanus A. Zimmerman (USA) entdeckt.[1][2]

Eigenschaften

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  • Sei   mit   eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:[3]
  mit  
Mit anderen Worten:
 
  • Sei   mit   eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:
Wenn   ungerade ist, muss   gerade sein oder umgekehrt.
Beweis:
Angenommen, sowohl   als auch   sind gerade. Dann wäre auch   und   gerade und somit wäre auch   als Summe von zwei geraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen   kann dies aber nicht sein.
Angenommen, sowohl   als auch   sind ungerade. Dann wäre auch   und   ungerade und somit wäre   als Summe von zwei ungeraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen   kann dies aber nicht sein.
Somit bleibt nur übrig, dass entweder   oder   ungerade und die jeweils andere gerade ist.  
Weil jede gerade Zahl hoch 4 durch 16 teilbar ist und jede ungerade Zahl hoch 4 bei der Division durch 16 den Rest 1 hat, gilt:  


  • Außer der 2 enden alle quartischen Primzahlen im Dezimalsystem mit der Endziffer 1 oder 7.
Alle Biquadrate von geraden Zahlen endet mit der Ziffer 0, falls diese durch 10 teilbar sind  , andernfalls mit der Endziffer 6  .
Alle Biquadrate von ungeraden Zahlen endet mit der Ziffer 5, falls diese durch 5 teilbar sind  , andernfalls mit der Endziffer 1  .
 
  : keine Primzahlen, weil durch 5 teilbar.
 
 

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. 9194441048576 + 1 auf Prime Pages
  2. 9194441048576 + 1 auf primegrid.com (PDF)
  3. A. J. C. Cunningham: High quartan factorisations and primes. Messenger of Mathematics 36, 1907, S. 145–174, abgerufen am 7. Juli 2018 (englisch).
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Neil Sloane: A Handbook of Integer Sequences. Academic Press, Inc., New York 1973, ISBN 1-4832-4665-5, S. 205.