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In der Zahlentheorie ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz a eine Primzahl , bei der die -te Potenz des Produkts aller kleineren Higgs-Primzahlen teilt. Algebraisch bedeutet das bei gegebener Potenz , dass die Higgs-Primzahl folgende Bedingung erfüllt:

wobei die Eulersche Phi-Funktion ist (sie gibt für jede natürliche Zahl an, wie viele zu teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als sind; bei Primzahlen ist ).

Die Higgs-Primzahlen wurden nach dem britischen Mathematiker Denis Higgs benannt.

BeispieleBearbeiten

  • Die ersten Higgs-Primzahlen für die Potenz   (also für Quadrate) sind die folgenden:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 107, 127, 131, 139, 149, 151, 157, 173, 181, 191, 197, 199, 211, 223, 229, 263, 269, 277, 283, 311, 317, 331, 347, 349, 367, 373, 383, 397, 419, 421, 431, 461, 463, 491, 509, 523, 547, 557, 571, … (Folge A007459 in OEIS)
  • Die Zahl   ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz  , weil das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also   die Zahl   als Teiler hat (es ist  ).
  • Die Zahl   ist keine Higgs-Primzahl für die Potenz  : das Quadrat des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also   hat die Zahl   nicht als Teiler (es bleibt   Rest).
  • Die Zahl   ist eine Higgs-Primzahl für die Potenz  , weil die  -te Potenz des Produkts der kleineren Higgs-Primzahlen, also   die Zahl   als Teiler hat (es ist  ).
  • Bei höheren Potenzen   sind immer mehr Primzahlen auch gleichzeitig Higgs-Primzahlen, sodass es sinnvoll erscheint, diejenigen Primzahlen anzugeben, welche nicht gleichzeitig Higgs-Primzahlen sind. Die folgende Tabelle gibt diese „Nicht-Higgs-Primzahlen“ bei gegebener Potenz   bis zur 100. Higgs-Primzahl zur jeweiligen Potenz   an:
Exponent   100. Higgs-
Primzahl
keine Higgs-Primzahlen für die Potenz   bis zur 100. Higgs-Primzahl dieser Potenz
2 1117 17, 41, 73, 83, 89, 97, 103, 109, 113, 137, 163, 167, 179, 193, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 271, 281, 293, 307, 313, 337, 353, 359, 379, 389, 401, 409, 433, 439, 443, 449, 457, 467, 479, 487, 499, 503, 521, 541, 563, 569, 577, 587, 593, 601, 613, 617, 619, 641, 647, 653, 673, 719, 739, 751, 757, 761, 769, 773, 809, 811, 821, 823, 857, 877, 881, 887, 919, 929, 937, 953, 971, 977, 997, 1009, 1021, 1031, 1033, 1049, 1069, 1091, 1097 (insgesamt 87 Primzahlen)
3 733 17, 97, 103, 113, 137, 163, 193, 227, 239, 241, 257, 307, 337, 353, 389, 401, 409, 433, 443, 449, 479, 487, 577, 593, 613, 619, 641, 647, 653, 673 (insgesamt 30 Primzahlen)
4 593 97, 193, 257, 353, 389, 449, 487, 577 (insgesamt 8 Primzahlen)
5 563 193, 257, 449
6 547 257
7 547 257
8 541 ---

EigenschaftenBearbeiten

  • Für die Potenz   gibt es nur vier Higgs-Primzahlen:
2, 3, 7, 43
Beweis:
Angenommen, es gibt eine Primzahl   (die nächste ist  ), welche eine Higgs-Primzahl für die Potenz   ist. Dann muss   ein Teiler aller vorherigen Higgs-Primzahlen für die Potenz  , also von   sein. Dies kann aber nicht der Fall sein, weil   kein Teiler der kleineren Zahl   sein kann. Somit scheiden alle Primzahlen   aus. Alle Primzahlen   scheiden durch einfache Computer-Berechnungen aus.  
  • Alle bekannten Fermatschen Primzahlen   sind keine Higgs-Primzahlen für die  -ten Potenzen mit  .
Beweis:
Man kann mittels Computer-Einsatz relativ schnell berechnen, dass
  • die erste Fermatsche Primzahl   keine Higgs-Primzahl für   ist.
  • die zweite Fermatsche Primzahl   keine Higgs-Primzahl für   ist.
  • die dritte Fermatsche Primzahl   keine Higgs-Primzahl für   ist.
  • die vierte Fermatsche Primzahl   keine Higgs-Primzahl für   ist.
  • die fünfte und letzte bekannte Fermatsche Primzahl   keine Higgs-Primzahl für   ist.  
  • Etwa ein Fünftel der Primzahlen unter einer Million sind Higgs-Primzahlen.[1]
Die Entdecker dieser Eigenschaft folgerten daraus, dass, selbst wenn die Anzahl der Higgs-Primzahlen für die Potenz   endlich ist, „eine Computerzählung nicht möglich ist“.

Ungelöste ProblemeBearbeiten

  • Es ist nicht bekannt, ob unendlich viele Higgs-Primzahlen für Exponenten   existieren.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Stanley Burris, Simon Lee: Tarski's high school identities. American Mathematical Monthly 100 (3), 1993, S. 231–236, abgerufen am 2. Juli 2018.