Hauptmenü öffnen

In der Zahlentheorie heißt eine Primzahl regulär, wenn sie bestimmte Zahlen nicht teilt. Ihre bekannteste Anwendung stammt von Ernst Kummer, der 1850 bewies, dass der große Fermatsche Satz für Exponenten gilt, die durch eine reguläre Primzahl teilbar sind.

DefinitionBearbeiten

Eine Primzahl   heißt regulär, wenn sie keinen der Zähler (in vollständig gekürzter Darstellung) der Bernoulli-Zahlen   teilt.

Kummer zeigte im Nachhinein, dass dies äquivalent zur Bedingung ist, dass   nicht die Klassenzahl des  -ten Kreisteilungskörpers teilt.

Eigenschaften und WissenswertesBearbeiten

Eine schon lange offene Frage ist, ob es unendlich viele reguläre Primzahlen gibt. Seit Kummer steht die Vermutung im Raum, dass dies der Fall ist.[1] Man vermutet weiter, dass   aller Primzahlen regulär sind.

Es ist bekannt, dass es unendlich viele irreguläre Primzahlen gibt (Satz von K. L. Jensen 1915[2][3]).

Reguläre PrimzahlenBearbeiten

Die ersten Glieder der Folge sind 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, … (Folge A007703 in OEIS).

Irreguläre PrimzahlenBearbeiten

Die ersten Glieder der Folge sind 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, … (Folge A000928 in OEIS).

Anwendung auf den großen Satz von Fermat: Der Satz von KummerBearbeiten

Der Satz von Kummer besagt:[4][5]

Die Fermatsche Vermutung ist richtig, soweit der Exponent in der Fermatschen Gleichung eine reguläre Primzahl ist.

Ein möglicher Beweis dessen ist folgender:

Angenommen   ist eine reguläre Primzahl, und es gilt   mit teilerfremden ganzen Zahlen  , wobei keine der Zahlen   durch   teilbar sei (diese Bedingung wird "Fall I" genannt). Bezeichnet   eine primitive  -te Einheitswurzel, so lässt sich die linke Seite der Gleichung faktorisieren als

 

und man kann zeigen, dass diese Faktoren im Ganzheitsring   paarweise teilerfremd sind. Da ihr Produkt   eine  -te Potenz ist, sind auch die einzelnen Faktoren  -te Potenzen von Idealen, insbesondere also

 

An dieser Stelle kann nun die Regularität von   verwendet werden: Die Ordnung von   in der Idealklassengruppe kann   nicht teilen, da sie Teiler der Klassenzahl sein muss. Jedoch ist   das neutrale Element in der Idealklassengruppe, da   Hauptideal ist. Also kann die Ordnung von   nur 1 sein,   selbst ist ein Hauptideal.

Das bedeutet: Es gibt eine Einheit   und ein Element  , so dass

 

gilt.

Diese Gleichung führt nun auf dem Weg über Kongruenzbetrachtungen modulo   zum Widerspruch.

Der Satz von Kummer ist ein Meilenstein auf dem Weg zur Lösung des Fermat-Problems. Durch die dabei entwickelten Methoden hat Kummer der späteren Entwicklung entscheidende Impulse gegeben.[6]

LiteraturBearbeiten

Originalarbeiten

  • E. E. Kummer: Allgemeiner Beweis des Fermatschen Satzes, daß die Gleichung   durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten  , welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten ½   Bernoullischen Zahlen als Factoren nicht vorkommen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). Band 40, 1850, S. 130–138 (digizeitschriften.de).
  • K. L. Jensen: Om talteoretiske Egenskaber ved de Bernoulliske Tal. In: Nyt Tidsskrift for Matematik. Afdeling B, Band 26, 1915, ZDB-ID 281026-8, S. 73–83.

Monographien

  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 6., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76490-8.
  • Th. Skolem: Diophantische Gleichungen (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 5, 4, ISSN 0071-1136). Springer, Berlin 1938 (Nachdruck. Chelsea Publishing Company, New York NY 1950).

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Bundschuh: S. 182.
  2. Jensen: Nyt Tidskr. f. Math. Band 26, S. 73 ff.
  3. Bundschuh: S. 182.
  4. Kummer: Crelles Journal. Band 40, S. 130 ff.
  5. Skolem: S. 83.
  6. Bundschuh: S. 182.