In der Zahlentheorie ist eine Thabit-Zahl (oder auch 321-Zahl) eine natürliche Zahl der Form . Die Zahlen wurden nach dem im 9. Jahrhundert lebenden sabischen Mathematiker Thabit ibn Qurra benannt, der der erste war, der diese Zahlen untersucht und ihre Beziehung zu befreundeten Zahlen entdeckt hat.

Beispiele

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Die ersten Thabit-Zahlen sind die folgenden:

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, 3145727, 6291455, 12582911, 25165823, 50331647, 100663295, 201326591, 402653183, 805306367, 1610612735, … (Folge A055010 in OEIS)

Die ersten primen Thabit-Zahlen nennt man Thabit-Primzahlen (oder auch 321-Primzahlen) und lauten:

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, 26388279066623, 108086391056891903, 55340232221128654847, 226673591177742970257407, 59421121885698253195157962751, 30423614405477505635920876929023, … (Folge A007505 in OEIS)

Es sind momentan (Stand: 4. Juni 2018) genau 62 Thabit-Primzahlen der Form   bekannt. Folgende   führen auf diese Primzahlen:

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, …(Folge A002235 in OEIS)

Es wurde bisher nach Thabit-Primzahlen bis zu   untersucht (Stand: November 2015).[1]

Die momentan größte Thabit-Primzahl   hat   Stellen und wurde am 6. Juni 2015 im Zuge des Internet-Projekts PrimeGrid (Unterprojekt 321 search[2]) entdeckt.[1][3]

Eigenschaften

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  • Jede Thabit-Zahl der Form   hat eine binäre Darstellung, welche   Stellen lang ist, mit   beginnt und mit lauter  ern endet.
Beispiel:
 

Thabit-Zahlen der 2. Art

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In der Zahlentheorie ist eine Thabit-Zahl der 2. Art (oder auch 321-Zahl der 2. Art) eine natürliche Zahl   der Form  . Auch diese Zahlen werden im Zuge des Internet-Projekts PrimeGrid (Unterprojekt 321 search) gesucht.

Beispiele

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Die ersten Thabit-Zahlen der 2. Art sind die folgenden:

4, 7, 13, 25, 49, 97, 193, 385, 769, 1537, 3073, 6145, 12289, 24577, 49153, 98305, 196609, 393217, 786433, 1572865, 3145729, 6291457, 12582913, 25165825, 50331649, 100663297, 201326593, 402653185, 805306369, 1610612737, 3221225473, … (Folge A181565 in OEIS)

Die ersten primen Thabit-Zahlen der 2. Art nennt man Thabit-Primzahlen der 2. Art (oder auch 321-Primzahlen der 2. Art) und lauten:

7, 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657, 221360928884514619393, 2353913150770005286438421033702874906038383291674012942337, … (Folge A039687 in OEIS)

Es sind momentan (Stand: 4. Juni 2018) genau 49 Thabit-Primzahlen der Form   bekannt. Folgende   führen auf diese Primzahlen:

1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, … (Folge A002253 in OEIS)

Die momentan größte Thabit-Primzahl der 2. Art ist   und hat   Stellen.[3]

Anwendung zur Berechnung von befreundeten Zahlen

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Satz von Thabit Ibn Qurra:

Seien   und   zwei Thabit-Primzahlen und   eine weitere Primzahl. Dann kann man ein Paar befreundeter Zahlen wie folgt bestimmen:
  und   sind befreundet.

Den Beweis dieses Satzes findet man im Artikel über Teilersummen.

Beispiele:

  • Für   sind   und   alles Primzahlen. Damit ergibt sich
 
 
Es ist also das Zahlenpaar   ein befreundetes Zahlenpaar.
  • Dieses Verfahren führt leider nur noch für   und   auf befreundete Zahlenpaare, im Speziellen auf die beiden Paare   und  .

Verallgemeinerungen

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Eine Thabit-Zahl mit Basis b ist eine Zahl der Form   mit einer Basis   und einer natürlichen Zahl  . Man nennt sie auch Williams-Zahl der 3. Art zur Basis b.

Eine Thabit-Zahl der 2. Art mit Basis b ist eine Zahl der Form   mit einer Basis   und einer natürlichen Zahl  . Man nennt sie auch Williams-Zahl der 4. Art zur Basis b.

Eine Williams-Zahl mit Basis b ist eine Zahl der Form   mit einer Basis   und einer natürlichen Zahl  .

Eine Williams-Zahl der 2. Art mit Basis b ist eine Zahl der Form   mit einer Basis   und einer natürlichen Zahl  .

Eine prime Thabit-Zahl mit Basis   nennt man Thabit-Primzahl mit Basis b mit einer Basis  .

Eine prime Thabit-Zahl der 2. Art mit Basis   nennt man Thabit-Primzahl der 2. Art mit Basis b mit einer Basis  .

Eine prime Williams-Zahl mit Basis   nennt man Williams-Primzahl mit Basis b mit einer Basis  .

Eine prime Williams-Zahl der 2. Art mit Basis   nennt man Williams-Primzahl der 2. Art mit Basis b mit einer Basis  .

Eigenschaften

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  • Jede Primzahl   ist eine Thabit-Primzahl mit Basis  .
(weil man sie in der Form   schreiben kann)
  • Jede Primzahl   mit   ist eine Thabit-Primzahl der 2. Art mit Basis  .
(weil man sie in der Form   schreiben kann)
  • Jede Primzahl   ist eine Williams-Primzahl mit Basis  .
(weil man sie in der Form   schreiben kann)
  • Jede Primzahl   ist eine Williams-Primzahl der 2. Art mit Basis  .
(weil man sie in der Form   schreiben kann)
  • Für jede Thabit-Primzahl der 2. Art mit Basis   mit   gilt:  .
(Für   wäre   immer durch   teilbar)
  • Für jede Thabit-Primzahl der 2. Art mit Basis   mit   gilt:  .
(Für   wäre   immer durch   teilbar)
  • Für jede Williams-Primzahl mit Basis   mit   gilt:  .
(Für   wäre   immer durch   teilbar)
  • Für jede Williams-Primzahl der 2. Art mit Basis   mit   gilt:  .
(Für   wäre   immer durch   teilbar)

Ungelöste Probleme

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  • Gibt es für jede Basis   unendlich viele Thabit-Primzahlen mit Basis  ? Es wird vermutet, dass es unendlich viele gibt.
  • Gibt es für jede Basis   mit   unendlich viele Thabit-Primzahlen der 2. Art mit Basis  ? Es wird vermutet, dass es unendlich viele gibt.
  • Gibt es für jede Basis   unendlich viele Williams-Primzahlen mit Basis  ? Es wird vermutet, dass es unendlich viele gibt.
  • Gibt es für jede Basis   unendlich viele Williams-Primzahlen der 2. Art mit Basis  ? Es wird vermutet, dass es unendlich viele gibt.

Tabellen

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Es folgt eine Auflistung von Thabit-Primzahlen, Thabit-Primzahlen der 2. Art, Williams-Primzahlen und Williams-Primzahlen der 2. Art.

Zuerst wird eine Liste der Thabit-Primzahlen mit Basis   angeführt (mit Potenzen bis mindestens  ):

  Form Potenzen  , sodass Thabit-Primzahlen mit Basis  , also der Form  , prim sind OEIS-Folge
    0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414, 6090515, 11484018, 11731850, 11895718, … (Folge A002235 in OEIS)
    0, 1, 3, 5, 7, 15, 45, 95, 235, 463, 733, 1437, 1583, 1677, 1803, 4163, 4765, 9219, 9959, 25477, 26059, 41539, 54195, 65057, 74977, 116589, 192289, 311835, 350767, 353635, 416337, 423253, … (Folge A005540 in OEIS)
    1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 16, 24, 27, 36, 74, 92, 124, 135, 137, 210, 670, 719, 761, 819, 877, 942, 1007, 1085, 1274, 1311, 1326, 1352, 6755, …
    0, 1, 2, 5, 11, 28, 65, 72, 361, 479, 494, 599, 1062, 1094, 1193, 2827, 3271, 3388, 3990, 4418, 11178, 16294, 25176, 42500, 68320, 85698, 145259, 159119, 169771, … (Folge A257790 in OEIS)
    1, 2, 3, 13, 21, 28, 30, 32, 36, 48, 52, 76, 734, 2236, 2272, 3135, 3968, 6654, 7059, …
    0, 4, 7, 10, 14, 23, 59, 1550, 1835, 2515, 3532, 3818, 8260, …
    1, 5, 7, 21, 33, 53, 103, 313, 517, 1863, 2669, 3849, 4165, …
    1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 13, 15, 19, 27, 29, 35, 42, 51, 70, 112, 164, 179, 180, 242, 454, 621, 2312, 3553, 6565, …
    1, 9, 11, 17, 22, 29, 36, 37, 52, 166, 448, 2011, 3489, 4871, 6982, 10024, 16974, 33287, 47364, 58873, 126160, … (Folge A111391 in OEIS)
    0, 1, 2, 3, 4, 11, 13, 22, 27, 48, 51, 103, 147, 280, 908, 1346, 1524, 1776, 2173, 2788, 6146, …
    2, 6, 11, 66, 196, 478, 2968, 3568, 5411, 7790, …

Es folgt eine Liste der Thabit-Primzahlen der 2. Art mit Basis   (mit Potenzen bis mindestens  ):

  Form Potenzen  , sodass Thabit-Primzahlen der 2. Art mit Basis  , also der Form  , prim sind OEIS-Folge
    1, 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, 66, 189, 201, 209, 276, 353, 408, 438, 534, 2208, 2816, 3168, 3189, 3912, 20909, 34350, 42294, 42665, 44685, 48150, 54792, 55182, 59973, 80190, 157169, 213321, 303093, 362765, 382449, 709968, 801978, 916773, 1832496, 2145353, 2291610, 2478785, 5082306, 7033641, 10829346, … (Folge A002253 in OEIS)
    0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 885, 1005, 1254, 1635, 3306, 3522, 9602, 19785, 72698, … (Folge A005537 in OEIS)
    es gibt keine Primzahlen dieser Form
    0, 1, 2, 3, 23, 27, 33, 63, 158, 278, 290, 351, 471, 797, 8462, 28793, 266030, … (Folge A143279 in OEIS)
    1, 6, 17, 38, 50, 80, 207, 236, 264, 309, 555, 1128, 1479, 1574, 2808, 3525, 5334, 9980, …
    es gibt keine Primzahlen dieser Form
    1, 2, 11, 14, 21, 27, 54, 122, 221, 435, 498, 942, 1118, 1139, 1230, 1614, 1934, …
    0, 2, 6, 9, 11, 51, 56, 81, 941, 1647, 7466, 9477, 9806, …
    es gibt keine Primzahlen dieser Form
    0, 2, 3, 6, 8, 138, 149, 222, 363, 995, 1218, 2072, 2559, …
    1, 2, 8, 9, 17, 26, 62, 86, 152, 365, 2540, …

Es folgt eine Liste der Williams-Primzahlen mit Basis   (mit Potenzen bis mindestens  ):

  Form Potenzen  , sodass Williams-Primzahlen mit Basis  , also der Form  , prim sind OEIS-Folge
    2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, … (Mersenne-Primzahl-Exponenten) (Folge A000043 in OEIS)
    1, 2, 3, 7, 8, 12, 20, 23, 27, 35, 56, 62, 68, 131, 222, 384, 387, 579, 644, 1772, 3751, 5270, 6335, 8544, 9204, 12312, 18806, 21114, 49340, 75551, 90012, 128295, 143552, 147488, 1010743, 1063844, … (Folge A003307 in OEIS)
    0, 1, 2, 3, 9, 17, 19, 32, 38, 47, 103, 108, 153, 162, 229, 235, 637, 1638, 2102, 2567, 6338, 7449, 12845, 20814, 40165, 61815, 77965, 117380, 207420, 351019, 496350, 600523, 1156367, 2117707, 5742009, 5865925, 5947859, … (Folge A272057 in OEIS)
    0, 1, 3, 9, 13, 15, 25, 39, 69, 165, 171, 209, 339, 2033, 6583, 15393, … (Folge A046865 in OEIS)
    1, 2, 6, 7, 11, 23, 33, 48, 68, 79, 116, 151, 205, 1016, 1332, 1448, 3481, 3566, 3665, 11233, 13363, 29166, 44358, 58530, 191706, … (Folge A079906 in OEIS)
    0, 1, 2, 7, 18, 55, 69, 87, 119, 141, 189, 249, 354, 1586, 2135, 2865, 2930, 4214, 7167, 67485, 74402, 79326, … (Folge A046866 in OEIS)
    3, 7, 15, 59, 6127, 8703, 11619, 23403, 124299, … (Folge A268061 in OEIS)
    0, 1, 2, 5, 25, 85, 92, 97, 649, 2017, 2978, 3577, 4985, 17978, 21365, 66002, 95305, 142199, … (Folge A268356 in OEIS)
    1, 3, 7, 19, 29, 37, 93, 935, 8415, 9631, 11143, 41475, 41917, 48051, 107663, 212903, 223871, 260253, 364521, 383643, … (Folge A056725 in OEIS)
    1, 3, 37, 119, 255, 355, 371, 497, 1759, 34863, 50719, 147709, … (Folge A046867 in OEIS)
    1, 2, 21, 25, 33, 54, 78, 235, 1566, 2273, 2310, 4121, 7775, 42249, 105974, 138961, … (Folge A079907 in OEIS)

Es folgt eine Liste der Williams-Primzahlen der 2. Art mit Basis   (mit Potenzen bis mindestens  ):

  Form Potenzen  , sodass Williams-Primzahlen der 2. Art mit Basis  , also der Form  , prim sind OEIS-Folge
    0, 1, 2, 4, 8, 16, … (Fermat-Primzahl-Exponenten)
    0, 1, 2, 4, 5, 6, 9, 16, 17, 30, 54, 57, 60, 65, 132, 180, 320, 696, 782, 822, 897, 1252, 1454, 4217, 5480, 6225, 7842, 12096, 13782, 17720, 43956, 64822, 82780, 105106, 152529, 165896, 191814, 529680, 1074726, 1086112, 1175232, … (Folge A003306 in OEIS)
    1, 3, 4, 6, 9, 15, 18, 33, 138, 204, 219, 267, 1104, 1408, 1584, 1956, … (Folge A326655 in OEIS)
    0, 2, 6, 18, 50, 290, 2582, 20462, 23870, 26342, 31938, 38122, 65034, 70130, 245538, … (Folge A204322 in OEIS)
    1, 2, 4, 17, 136, 147, 203, 590, 754, 964, 970, 1847, 2031, 2727, 2871, 5442, 7035, 7266, 11230, 23307, 27795, 34152, 42614, 127206, 133086, … (Folge A247260 in OEIS)
    0, 1, 4, 9, 99, 412, 2633, 5093, 5632, 28233, 36780, 47084, 53572, … (Folge A245241 in OEIS)
    2, 40, 58, 60, 130, 144, 752, 7462, 18162, 69028, 187272, 268178, 270410, 497284, 713304, 722600, 1005254, … (Folge A269544 in OEIS)
    1, 4, 5, 11, 26, 29, 38, 65, 166, 490, 641, 2300, 9440, 44741, 65296, 161930, … (Folge A056799 in OEIS)
    3, 4, 5, 9, 22, 27, 36, 57, 62, 78, 201, 537, 696, 790, 905, 1038, 66886, 70500, 91836, 100613, 127240, … (Folge A056797 in OEIS)
    0, 10, 24, 864, 2440, 9438, 68272, 148602, … (Folge A057462 in OEIS)
    3, 4, 35, 119, 476, 507, 6471, 13319, 31799, … (Folge A251259 in OEIS)

Die kleinsten  , für welche die Thabit-Zahl   prim ist, sind die folgenden (dabei ist aufsteigend  ):

1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 8, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 2, 1483, 1, 1, 1, 24, 1, 2, 1, 2, 6, 3, 3, 36, 1, 10, 8, 3, 7, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 7, 1704, 1, 3, 9, 4, 1, 1, 2, 1, 2, 24, 25, 1, …
Beispiel:
Für  , also an der   Stelle, steht die Zahl  .
Das heißt, dass   eine Thabit-Primzahl mit kleinstmöglicher Potenz (also in dem Fall  ) ist.

Die kleinsten  , für welche die Thabit-Zahl der 2. Art   prim ist, sind die folgenden (dabei ist aufsteigend  ):

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 9, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 5, 2, 0, 5, 1, 0, 2, 3, 0, 1, 3, 0, 1, 2, 0, 2, 2, 0, 2, 6, 0, 1, 183, 0, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 21, 0, 1, 185, 0, 3, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 120, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 8, 0, 5, 9, 0, 2, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 3, 0, 9, 14, 0, 3, 1, 0, …

Die kleinsten  , für welche die Williams-Zahl   prim ist, sind die folgenden (dabei ist aufsteigend  ):

2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 14, 1, 1, 2, 6, 1, 1, 1, 55, 12, 1, 133, 1, 20, 1, 2, 1, 1, 2, 15, 3, 1, 7, 136211, 1, 1, 7, 1, 7, 7, 1, 1, 1, 2, 1, 25, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 899, 3, 11, 1, 1, 1, 63, 1, 13, 1, 25, 8, 3, 2, 7, 1, 44, 2, 11, 3, 81, 21495, 1, 2, 1, 1, 3, 25, 1, 519, 77, 476, 1, 1, 2, 1, 4983, 2, 2, …

Die kleinsten  , für welche die Williams-Zahl der 2. Art   prim ist, sind die folgenden (dabei ist aufsteigend  ):

1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 3, 10, 3, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 29, 14, 1, 1, 14, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 5, 12, 2, 1, 2, 2, 9, 16, 1, 2, 80, 1, 2, 4, 2, 3, 16, 2, 2, 2, 1, 15, 960, 15, 1, 4, 3, 1, 14, 1, 6, 20, 1, 3, 946, 6, 1, 18, 10, 1, 4, 1, 5, 42, 4, 1, 828, 1, 1, 2, 1, 12, 2, 6, 4, 30, 3, 3022, 2, 1, 1, 8, 2, 4, 4, 2, 11, 8, 2, 1, …

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. a b Eric W. Weisstein: Thâbit ibn Kurrah Prime. In: MathWorld (englisch).
  2. 321 Search. PrimeGrid, 2008, abgerufen am 4. Juni 2018.
  3. a b Liste der größten bekannten Primzahlen (englisch). Abgerufen am 4. Juni 2018.