Seien alle Teiler der natürlichen Zahl , dann nennt man die Teilersumme von . Dabei sind 1 und selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.
Beweis: Da eine Primzahl ist, sind 1 und die einzigen Teiler. Daraus folgt die Behauptung.
Satz 2: Teilersumme der Potenz einer PrimzahlBearbeiten
Sei eine Primzahl. Dann gilt:
Beweis: Da eine Primzahl ist, hat nur die folgenden Teiler: . Die Summe ist eine geometrische Reihe. Aus der Summenformel für eine geometrische Reihe folgt sofort die Behauptung.
Beispiel:
Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei PrimzahlenBearbeiten
Seien und verschiedene Primzahlen. Dann gilt:
Beweis: Die Zahl besitzt die vier verschiedenen Teiler 1, , und . Daraus folgt:
Beispiel:
Satz 4: Verallgemeinerung von Satz 2 und Satz 3Bearbeiten
Seien verschiedene Primzahlen und natürliche Zahlen. Ferner sei . Dann gilt:
Für jede natürliche Zahl kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften
von explizit Bezug genommen wird:
Beweis:
Die Funktion
wird 1, wenn ein Teiler von ist, ansonsten bleibt sie Null. Zunächst gilt
Der Zähler im letzten Ausdruck wird stets Null, wenn geht. Der Nenner kann nur dann Null werden, wenn ein Teiler von ist.
Dann ist aber
Nur in diesem Fall wird , wie oben behauptet.
Multipliziert man jetzt mit und summiert das Produkt über alle Werte bis , so entsteht nur dann ein Beitrag zur Summe, wenn ein Teiler von ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion
József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. I. Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9 (MR2186914).
József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory. II. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 2004, ISBN 1-4020-2546-7 (MR2119686).
Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers (= North-Holland Mathematical Library. Band31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland, Amsterdam / New York 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670).