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Unter der Teilersumme einer natürlichen Zahl versteht man die Summe aller Teiler dieser Zahl einschließlich der Zahl selbst.

Beispiel:

Die Zahl 6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6. Die Teilersumme für 6 lautet also .

Bei vielen Problemstellungen der Zahlentheorie spielen Teilersummen eine Rolle, z. B. bei den vollkommenen Zahlen und den befreundeten Zahlen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionenBearbeiten

Definition 1: Summe aller TeilerBearbeiten

Seien   alle Teiler der natürlichen Zahl  , dann nennt man   die Teilersumme von  . Dabei sind 1 und   selbst Teiler, also in der Menge der Teiler enthalten. Die Funktion   heißt Teilersummenfunktion und ist eine zahlentheoretische Funktion.

Das Beispiel oben kann man nun so schreiben:

 

Definition 2: Summe der echten TeilerBearbeiten

Die Summe der echten Teiler der natürlichen Zahl   ist die Summe der Teiler von   ohne die Zahl   selbst und wir bezeichnen diese Summe mit  .

Beispiel:

 

Offensichtlich gilt die Beziehung:

 

Definition 3: defizient, abundant, vollkommenBearbeiten

Eine natürliche Zahl   heißt

defizient oder teilerarm, wenn  ,
abundant oder teilerreich, wenn  ,
vollkommen, wenn  .

Beispiele:

 , d. h. 6 ist eine vollkommene Zahl.
 , d. h. 12 ist abundant.
 , d. h. 10 ist defizient.

Eigenschaften der TeilersummeBearbeiten

Satz 1: Teilersumme einer PrimzahlBearbeiten

Sei   eine Primzahl. Dann gilt:

 

Beweis: Da   eine Primzahl ist, sind 1 und   die einzigen Teiler. Daraus folgt die Behauptung.

Satz 2: Teilersumme der Potenz einer PrimzahlBearbeiten

Sei   eine Primzahl. Dann gilt:

 

Beweis: Da   eine Primzahl ist, hat   nur die folgenden Teiler:  . Die Summe ist eine geometrische Reihe. Aus der Summenformel für eine geometrische Reihe folgt sofort die Behauptung.

Beispiel:

 
 

Satz 3: Teilersumme des Produktes von zwei PrimzahlenBearbeiten

Seien   und   verschiedene Primzahlen. Dann gilt:

 

Beweis: Die Zahl   besitzt die vier verschiedenen Teiler 1,  ,   und  . Daraus folgt:

 

Beispiel:

 
 

Satz 4: Verallgemeinerung von Satz 2 und Satz 3Bearbeiten

Seien   verschiedene Primzahlen und   natürliche Zahlen. Ferner sei  . Dann gilt:

 

Satz von ThabitBearbeiten

Mit Hilfe von Satz 4 kann man den Satz von Thabit aus dem Gebiet der befreundeten Zahlen beweisen. Der Satz lautet:

Für eine feste natürliche Zahl   seien   und  .

Wenn  ,   und   Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen   und   befreundet, d. h.   und  .

Beweis
 

Analog zeigt man  .

Teilersumme als endliche ReiheBearbeiten

Für jede natürliche Zahl   kann die Teilerfunktion als Reihe dargestellt werden, ohne dass auf die Teilbarkeitseigenschaften von   explizit Bezug genommen wird:

 

Beweis: Die Funktion

 

wird 1, wenn   ein Teiler von   ist, ansonsten bleibt sie Null. Zunächst gilt

 

Der Zähler im letzten Ausdruck wird stets Null, wenn   geht. Der Nenner kann nur dann Null werden, wenn   ein Teiler von   ist. Dann ist aber

 

Nur in diesem Fall wird  , wie oben behauptet.

Multipliziert man jetzt   mit   und summiert das Produkt über alle Werte   bis  , so entsteht nur dann ein Beitrag   zur Summe, wenn   ein Teiler von   ist. Das ist aber genau die Definition der allgemeinen Teilerfunktion

 

deren Spezialfall   die einfache Teilersumme   ist.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten