Fermat-Zahl

Eine Fermat-Zahl, benannt nach dem französischen Mathematiker Pierre de Fermat, ist eine Zahl der Form

$F_{n}=2^{\;\!2^{n}}+1$

mit einer ganzen Zahl $n\geq 0$. Die ersten Fermat-Zahlen lauten 3, 5 und 17.

Im August 1640 vermutete Fermat fälschlicherweise, dass alle Zahlen dieser Form (die später nach ihm benannt wurden) Primzahlen seien. Dies wurde jedoch 1732 von Leonhard Euler widerlegt, der zeigte, dass schon die sechste Fermatzahl F₅ durch 641 teilbar ist. Man kennt außer den ersten fünf (3, 5, 17, 257, 65537) derzeit keine weitere Fermat-Zahl, die gleichzeitig Primzahl ist, und vermutet, dass es außer diesen fünf Zahlen auch keine weitere gibt (siehe Abschnitt weiter unten).

Fermat-Zahlen

Die ersten Fermat-Zahlen lauten $F_{0}=3,\,F_{1}=5,\,F_{2}=17,\,F_{3}=257$ und $F_{4}=65537$.

Eine etwas längere Liste bis $F_{14}$ findet man in der folgenden aufklappbaren Box.

Liste der ersten 15 Fermat-Zahlen

n	Dezimal- stellen von Fn	Fn
00	1	3
01	1	5
02	2	17
03	3	257
04	5	65.537
05	10	4.294.967.297
06	20	18.446.744.073.709.551.617
07	39	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457
08	78	115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937
09	155	13.407.807.929.942.597.099.574.024.998.205.846.127.479.365.820.592.393.377.723.561.443.721.764.030.073.546.976.801.874.298.166.903.427.690.031.858.186.486.050.853.753.882.811.946.569.946.433.649.006.084.097
10	309	179.769.313.486.231.590.772.930.519.078.902.473.361.797.697.894.230.657.273.430.081.157.732.675.805.500.963.132.708.477.322.407.536.021.120.113.879.871.393.357.658.789.768.814.416.622.492.847.430.639.474.124.377.767.893.424.865.485.276.302.219.601.246.094.119.453.082.952.085.005.768.838.150.682.342.462.881.473.913.110.540.827.237.163.350.510.684.586.298.239.947.245.938.479.716.304.835.356.329.624.224.137.217
11	617	32.317.006.071.311.007.300.714.876.688.669.951.960.444.102.669.715.484.032.130.345.427.524.655.138.867.890.893.197.201.411.522.913.463.688.717.960.921.898.019.494.119.559.150.490.921.095.088.152.386.448.283.120.630.877.367.300.996.091.750.197.750.389.652.106.796.057.638.384.067.568.276.792.218.642.619.756.161.838.094.338.476.170.470.581.645.852.036.305.042.887.575.891.541.065.808.607.552.399.123.930.385.521.914.333.389.668.342.420.684.974.786.564.569.494.856.176.035.326.322.058.077.805.659.331.026.192.708.460.314.150.258.592.864.177.116.725.943.603.718.461.857.357.598.351.152.301.645.904.403.697.613.233.287.231.227.125.684.710.820.209.725.157.101.726.931.323.469.678.542.580.656.697.935.045.997.268.352.998.638.215.525.166.389.437.335.543.602.135.433.229.604.645.318.478.604.952.148.193.555.853.611.059.596.230.657
12	1234	1.044.388.881.413.152.506.691.752.710.716.624.382.579.964.249.047.383.780.384.233.483.283.953.907.971.557.456.848.826.811.934.997.558.340.890.106.714.439.262.837.987.573.438.185.793.607.263.236.087.851.365.277.945.956.976.543.709.998.340.361.590.134.383.718.314.428.070.011.855.946.226.376.318.839.397.712.745.672.334.684.344.586.617.496.807.908.705.803.704.071.284.048.740.118.609.114.467.977.783.598.029.006.686.938.976.881.787.785.946.905.630.190.260.940.599.579.453.432.823.469.303.026.696.443.059.025.015.972.399.867.714.215.541.693.835.559.885.291.486.318.237.914.434.496.734.087.811.872.639.496.475.100.189.041.349.008.417.061.675.093.668.333.850.551.032.972.088.269.550.769.983.616.369.411.933.015.213.796.825.837.188.091.833.656.751.221.318.492.846.368.125.550.225.998.300.412.344.784.862.595.674.492.194.617.023.806.505.913.245.610.825.731.835.380.087.608.622.102.834.270.197.698.202.313.169.017.678.006.675.195.485.079.921.636.419.370.285.375.124.784.014.907.159.135.459.982.790.513.399.611.551.794.271.106.831.134.090.584.272.884.279.791.554.849.782.954.323.534.517.065.223.269.061.394.905.987.693.002.122.963.395.687.782.878.948.440.616.007.412.945.674.919.823.050.571.642.377.154.816.321.380.631.045.902.916.136.926.708.342.856.440.730.447.899.971.901.781.465.763.473.223.850.267.253.059.899.795.996.090.799.469.201.774.624.817.718.449.867.455.659.250.178.329.070.473.119.433.165.550.807.568.221.846.571.746.373.296.884.912.819.520.317.457.002.440.926.616.910.874.148.385.078.411.929.804.522.981.857.338.977.648.103.126.085.903.001.302.413.467.189.726.673.216.491.511.131.602.920.781.738.033.436.090.243.804.708.340.403.154.190.337
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14	4933	1.189.731.495.357.231.765.085.759.326.628.007.130.763.444.687.096.510.237.472.674.821.233.261.358.180.483.686.904.488.595.472.612.039.915.115.437.484.839.309.258.897.667.381.308.687.426.274.524.698.341.565.006.080.871.634.366.004.897.522.143.251.619.531.446.845.952.345.709.482.135.847.036.647.464.830.984.784.714.280.967.845.614.138.476.044.338.404.886.122.905.286.855.313.236.158.695.999.885.790.106.357.018.120.815.363.320.780.964.323.712.757.164.290.613.406.875.202.417.365.323.950.267.880.089.067.517.372.270.610.835.647.545.755.780.793.431.622.213.451.903.817.859.630.690.311.343.850.657.539.360.649.645.193.283.178.291.767.658.965.405.285.113.556.134.369.793.281.725.888.015.908.414.675.289.832.538.063.419.234.888.599.898.980.623.114.025.121.674.472.051.872.439.321.323.198.402.942.705.341.366.951.274.739.014.593.816.898.288.994.445.173.400.364.617.928.377.138.074.411.345.791.848.573.595.077.170.437.644.191.743.889.644.885.377.684.738.322.240.608.239.079.061.399.475.675.334.739.784.016.491.742.621.485.229.014.847.672.335.977.897.158.397.334.226.349.734.811.441.653.077.758.250.988.926.030.894.789.604.676.153.104.257.260.141.806.823.027.588.003.441.951.455.327.701.598.071.281.589.597.169.413.965.608.439.504.983.171.255.062.282.026.626.200.048.042.149.808.200.002.060.993.433.681.237.623.857.880.627.479.727.072.877.482.838.438.705.048.034.164.633.337.013.385.405.998.040.701.908.662.387.301.605.018.188.262.573.723.766.279.240.798.931.717.708.807.901.740.265.407.930.976.419.648.877.869.604.017.517.691.938.687.988.088.008.944.251.258.826.969.688.364.194.133.945.780.157.844.364.946.052.713.655.454.906.327.187.428.531.895.100.278.695.119.323.496.808.703.630.436.193.927.592.692.344.820.812.834.297.364.478.686.862.064.169.042.458.555.136.532.055.050.508.189.891.866.846.863.799.917.647.547.291.371.573.500.701.015.197.559.097.453.040.033.031.520.683.518.216.494.195.636.696.077.748.110.598.284.901.343.611.469.214.274.121.810.495.077.979.275.556.645.164.983.850.062.051.066.517.084.647.369.464.036.640.569.339.464.837.172.183.352.956.873.912.042.640.003.611.618.789.278.195.710.052.094.562.761.306.703.551.840.330.110.645.101.995.435.167.626.688.669.627.763.820.604.342.480.357.906.415.354.212.732.946.756.073.006.907.088.870.496.125.050.068.156.659.252.761.297.664.065.498.347.492.661.798.824.062.312.210.409.274.584.565.587.264.846.417.650.160.123.175.874.034.726.261.957.289.081.466.197.651.553.830.744.424.709.698.634.753.627.770.356.227.126.145.052.549.125.229.448.040.149.114.795.681.359.875.968.512.808.575.244.271.871.455.454.084.894.986.155.020.794.806.980.939.215.658.055.319.165.641.681.105.966.454.159.951.476.908.583.129.721.503.298.816.585.142.073.061.480.888.021.769.818.338.417.129.396.878.371.459.575.846.052.583.142.928.447.249.703.698.548.125.295.775.920.936.450.022.651.427.249.949.580.708.203.966.082.847.550.921.891.152.133.321.048.011.973.883.636.577.825.533.325.988.852.156.325.439.335.021.315.312.134.081.390.451.021.255.363.707.903.495.916.963.125.924.201.167.877.190.108.935.255.914.539.488.216.897.117.943.269.373.608.639.074.472.792.751.116.715.127.106.396.425.081.353.553.137.213.552.890.539.802.602.978.645.319.795.100.976.432.939.091.924.660.228.878.912.900.654.210.118.287.298.298.707.382.159.717.184.569.540.515.403.029.173.307.292.454.391.789.568.674.219.640.761.451.173.600.617.752.186.991.913.366.837.033.887.201.582.071.625.868.247.133.104.513.315.097.274.713.442.728.340.606.642.890.406.496.636.104.443.217.752.811.227.470.029.162.858.093.727.701.049.646.499.540.220.983.981.932.786.613.204.254.226.464.243.689.610.107.429.923.197.638.681.545.837.561.773.535.568.984.536.053.627.234.424.277.105.760.924.864.023.781.629.665.526.314.910.906.960.488.073.475.217.005.121.136.311.870.439.925.762.508.666.032.566.213.750.416.695.719.919.674.223.210.606.724.721.373.471.234.021.613.540.712.188.239.909.701.971.943.944.347.480.314.217.903.886.317.767.779.921.539.892.177.334.344.368.907.550.318.800.833.546.852.344.370.327.089.284.147.501.640.589.448.482.001.254.237.386.680.074.457.341.910.933.774.891.959.681.016.516.069.106.149.905.572.425.810.895.586.938.833.067.490.204.900.368.624.166.301.968.553.005.687.040.285.095.450.484.840.073.528.643.826.570.403.767.157.286.512.380.255.109.954.518.857.013.476.588.189.300.004.138.849.715.883.139.866.071.547.574.816.476.727.635.116.435.462.804.401.112.711.392.529.180.570.794.193.422.686.818.353.212.799.068.972.247.697.191.474.268.157.912.195.973.794.192.807.298.886.952.361.100.880.264.258.801.320.928.040.011.928.153.970.801.130.741.339.550.003.299.015.924.978.259.936.974.358.726.286.143.980.520.112.454.369.271.114.083.747.919.007.803.406.596.321.353.417.004.068.869.443.405.472.140.675.963.640.997.405.009.225.803.505.672.726.465.095.506.267.339.268.892.424.364.561.897.661.906.898.424.186.770.491.035.344.080.399.248.327.097.911.712.881.140.170.384.182.058.601.614.758.284.200.750.183.500.329.358.499.691.864.066.590.539.660.709.069.537.381.601.887.679.046.657.759.654.588.001.937.117.771.344.698.326.428.792.622.894.338.016.112.445.533.539.447.087.462.049.763.409.147.542.099.248.815.521.395.929.388.007.711.172.017.894.897.793.706.604.273.480.985.161.028.815.458.787.911.160.979.113.422.433.557.549.170.905.442.026.397.275.695.283.207.305.331.845.419.990.749.347.810.524.006.194.197.200.591.652.147.867.193.696.254.337.864.981.603.833.146.354.201.700.628.817.947.177.518.115.217.674.352.016.511.172.347.727.727.075.220.056.177.748.218.928.597.158.346.744.541.337.107.358.427.757.919.660.562.583.883.823.262.178.961.691.787.226.118.865.632.764.934.288.772.405.859.754.877.759.869.235.530.653.929.937.901.193.611.669.007.472.354.746.360.764.601.872.442.031.379.944.139.824.366.828.698.790.212.922.996.174.192.728.625.891.720.057.612.509.349.100.482.545.964.152.046.477.925.114.446.500.732.164.109.099.345.259.799.455.690.095.576.788.686.397.487.061.948.854.749.024.863.607.921.857.834.205.793.797.188.834.779.656.273.479.112.388.585.706.424.836.379.072.355.410.286.787.018.527.401.653.934.219.888.361.061.949.671.961.055.068.686.961.468.019.035.629.749.424.086.587.195.041.004.404.915.266.476.272.761.070.511.568.387.063.401.264.136.517.237.211.409.916.458.796.347.624.949.215.904.533.937.210.937.520.465.798.300.175.408.017.538.862.312.719.042.361.037.129.338.896.586.028.150.046.596.078.872.444.365.564.480.545.689.033.575.955.702.988.396.719.744.528.212.984.142.578.483.954.005.084.264.327.730.840.985.420.021.409.069.485.412.320.805.268.520.094.146.798.876.110.414.583.170.390.473.982.488.899.228.091.818.213.934.288.295.679.717.369.943.152.460.447.027.290.669.964.066.817

Wegen $F_{n+1}\approx F_{n}^{2}$ hat die Fermatzahl $F_{n+1}$ doppelt so viele oder um eine weniger als doppelt so viele Stellen wie ihr Vorgänger $F_{n}$.

Fermatsche Primzahlen

Die Idee hinter Fermatschen Primzahlen ist der Satz, dass $2^{k}+1$ nur für $k=0$ und für $k=2^{n}$ mit $n\geq 0$ prim sein kann:

$2^{k}+1\in \mathbb {P} \ \Rightarrow \ k=0\lor \exists n\in \mathbb {N} _{0}\colon k=2^{n}$

Beweis des Satzes:

Beweis durch Widerspruch: Man führt die Annahme, dass das zu Beweisende falsch sei, zu einem Widerspruch.

Annahme: $k>0$ und $2^{k}+1$ ist prim und die Hochzahl $k$ hat einen ungeraden Teiler $c>1$.

Dann gilt

$2^{k}+1=2^{{\frac {k}{c}}\cdot c}+1=(2^{\frac {k}{c}})^{c}+1^{c}$

mit einer ganzen Zahl $k/c$. Nach Annahme ist $c$ ungerade, also ist diese Summe bekanntlich durch die Summe $2^{\frac {k}{c}}+1$ der beiden Basen teilbar:

$2^{k}+1=(2^{\frac {k}{c}})^{c}+1^{c}=(2^{\frac {k}{c}}+1)\cdot \sum _{j=0}^{c-1}(-1)^{j}\cdot (2^{\frac {k}{c}})^{j}$

Weil die Zahl $2^{k}+1$ prim ist, muss ihr Teiler $2^{\frac {k}{c}}+1$ gleich 1 oder gleich $2^{k}+1$ sein. Aber in Widerspruch dazu ist $2^{\frac {k}{c}}+1$ (wegen $2^{\frac {k}{c}}>0$) größer als 1 und (wegen $k>0\Rightarrow k/c<k$) kleiner als $2^{k}+1$. Die Annahme, dass sowohl $2^{k}+1$ prim ist als auch, dass $k$ positiv ist und einen ungeraden Teiler $c>1$ hat, muss daher fallengelassen werden: $2^{k}+1$ kann nur prim sein, wenn $k$ gleich 0 oder gleich einer Zweierpotenz $2^{n}$ mit $n\geq 0$ ist, was zu zeigen war. $\Box$

Die Umkehrung dieses Satzes, dass also nicht nur (wegen $2^{0}+1=1+1=2\in \mathbb {P}$ offensichtlich) $2^{0}+1$, sondern auch jede Fermat-Zahl $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ prim sei, ist falsch. $F_{0}$ bis $F_{4}$ sind sogar die einzigen bisher bekannten Fermatschen Primzahlen:

Schon Fermat zeigte, dass diese ersten fünf Fermat-Zahlen Primzahlen sind, und vermutete 1640, dass dies auf alle Fermat-Zahlen zutreffe. Diese Vermutung wurde aber schon 1732 von Leonhard Euler einfach widerlegt, indem er mit 641 einen echten Teiler von F₅ = 4.294.967.297 fand.

Man vermutet inzwischen, dass außer den ersten fünf keine weiteren Fermatschen Primzahlen existieren. Diese Vermutung beruht auf statistischen Abschätzungen: Der Primzahlsatz besagt, dass die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als x sind, näherungsweise gleich x / ln x ist. Die Primzahldichte oder Wahrscheinlichkeit dafür, dass F_n als ungerade Zahl eine Primzahl ist, beträgt daher näherungsweise 2 / ln F_n ≈ 3/2ⁿ. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Fermatzahl F_n oder eine der folgenden Fermatzahlen eine Primzahl ist, ergibt sich durch Summation der geometrische Reihe ungefähr zu 6/2ⁿ.

Für verbliebene weder teilweise noch vollständig faktorisierte Fermat-Zahlen ist diese Wahrscheinlichkeit mit etwa 6 · 10⁻¹⁰ mittlerweile aber sehr klein geworden.

Faktorisierungsergebnisse von Fermat-Zahlen

Die Zahlen F₀ bis F₄ sind, wie schon Fermat erkannt hat, Primzahlen:

n	Fermat-Primzahl Fn
00	3
01	5
02	17
03	257
04	65537

Die Zahlen F₅ bis F₁₁ sind entgegen der Vermutung Fermats zusammengesetzt. Sie sind bereits vollständig faktorisiert:

Liste der zusammengesetzten und vollständig faktorisierten Fermat-Zahlen

n	Entdecker der Faktoren	Primfaktorenzerlegung von Fn
05	Leonhard Euler (1732)	4.294.967.297 (10 Stellen)  = 641 (3 Stellen)  × 6.700.417 (7 Stellen)
06	Clausen (1855), Landry & Le Lasseur (1880)	18.446.744.073.709.551.617 (20 Stellen)  = 274.177 (6 Stellen)  × 67.280.421.310.721 (14 Stellen)
07	Morrison & Brillhart (1970)	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457 (39 Stellen)  = 59.649.589.127.497.217 (17 Stellen)  × 5.704.689.200.685.129.054.721 (22 Stellen)
08	Brent & Pollard (1980)	115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937 (78 Stellen)  = 1.238.926.361.552.897 (16 Stellen)  × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321 (62 Stellen)
09	Western (1903), Lenstra & Manasse (1990)	13.407.807.929.942.597.099.574.024.998.205.846.127.479.365.820.592.393.377.723.561.443.721.764.030.073.546.976.801.874.298.166.903.427.690.031. 858.186.486.050.853.753.882.811.946.569.946.433.649.006.084.097 (155 Stellen)  = 2.424.833 (7 Stellen)  × 7.455.602.825.647.884.208.337.395.736.200.454.918.783.366.342.657 (49 Stellen)  × 741.640.062.627.530.801.524.787.141.901.937.474.059.940.781.097.519.023.905.821.316.144.415.759.504.705.008.092.818.711.693.940.737 (99 Stellen)
10	Selfridge (1953), Brillhart (1962), Brent (1995)	179.769.313.486.231.590.772.930 … 304.835.356.329.624.224.137.217 (309 Stellen)  = 45.592.577 (8 Stellen)  × 6.487.031.809 (10 Stellen)  × 4.659.775.785.220.018.543.264.560.743.076.778.192.897 (40 Stellen)  × 130.439.874.405.488.189.727.484 … 806.217.820.753.127.014.424.577 (252 Stellen)
11	Cunningham (1899), Brent & Morain (1988)	32.317.006.071.311.007.300.714.8 … 193.555.853.611.059.596.230.657 (617 Stellen)  = 319.489 (6 Stellen)  × 974.849 (6 Stellen)  × 167.988.556.341.760.475.137 (21 Stellen)  × 3.560.841.906.445.833.920.513 (22 Stellen)  × 173.462.447.179.147.555.430.258 … 491.382.441.723.306.598.834.177 (564 Stellen)

Ab F₁₂ ist keine Fermat-Zahl mehr vollständig faktorisiert. Die ersten acht lauten:

Liste der ersten acht der nur teilweise faktorisierten Fermat-Zahlen

n	Entdecker der Faktoren	Primfaktorenzerlegung von Fn
12	Lucas & Perwuschin (1877), Western (1903), Hallyburton & Brillhart (1974), Baillie (1986), Vang, Zimmermann & Kruppa (2010)	1.044.388.881.413.152.506.691.752.710.716 … 340.403.154.190.337 (1234 Stellen)  = 114.689 (6 Stellen)  × 26.017.793 (8 Stellen)  × 63.766.529 (8 Stellen)  × 190.274.191.361 (12 Stellen)  × 1.256.132.134.125.569 (16 Stellen)  ×  568.630.647.535.356.955.169.033.410.940.867.804.839.360.742.060.818.433 (54 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (1133 Stellen)
13	Hallyburton & Brillhart (1974), Crandall (1991), Brent (1995)	1.090.748.135.619.415.929.462.984.244.733 … 665.475.715.792.897 (2467 Stellen)  =  2.710.954.639.361 (13 Stellen)  ×  2.663.848.877.152.141.313 (19 Stellen)  ×  3.603.109.844.542.291.969 (19 Stellen)  ×  319.546.020.820.551.643.220.672.513 (27 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (2391 Stellen)
14	Rajala & Woltman (2010)	1.189.731.495.357.231.765.085.759.326.628 … 290.669.964.066.817 (4933 Stellen)  =  116.928.085.873.074.369.829.035.993.834.596.371.340.386.703.423.373.313 (54 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (4880 Stellen)
15	Kraitchik (1925), Gostin (1987), Crandall & van Halewyn (1997)	1.415.461.031.044.954.789.001.553.027.744 … 104.633.712.377.857 (9865 Stellen)  =  1.214.251.009 (10 Stellen)  ×  2.327.042.503.868.417 (16 Stellen)  ×  168.768.817.029.516.972.383.024.127.016.961 (33 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (9808 Stellen)
16	Selfridge (1953), Crandall & Dilcher (1996)	2.003.529.930.406.846.464.979.072.351.560 … 895.905.719.156.737 (19729 Stellen)  =  825.753.601 (9 Stellen)  ×  188.981.757.975.021.318.420.037.633 (27 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (19694 Stellen)
17	Gostin (1978), Bessell & Woltman (2011)	4.014.132.182.036.063.039.166.060.606.038 … 318.570.934.173.697 (39457 Stellen)  =  31.065.037.602.817 (14 Stellen)  ×  7.751.061.099.802.522.589.358.967.058.392.886.922.693.580.423.169 (49 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (39395 Stellen)
18	Western (1903), Crandall, McIntosh & Tardif (1999)	16.113.257.174.857.604.736.195.721.184.520 … 349.934.298.300.417 (78914 Stellen)  =  13.631.489 (8 Stellen)  ×  81.274.690.703.860.512.587.777 (23 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (78884 Stellen)
19	Riesel (1962), Wrathall (1963), Bessell & Woltman (2009)	259.637.056.783.100.077.612.659.649.572.688 … 528.226.185.773.057 (157827 Stellen)  =  70.525.124.609 (11 Stellen)  ×  646.730.219.521 (12 Stellen)  ×  37.590.055.514.133.754.286.524.446.080.499.713 (35 Stellen)  × zusammengesetzte Zahl (157770 Stellen)

Von F₁₂ bis F₃₂ und von einigen größeren Fermat-Zahlen ist bekannt, dass sie zusammengesetzt sind – hauptsächlich, weil ein oder mehrere Faktoren gefunden wurden. Von zwei Fermat-Zahlen (F₂₀ und F₂₄) kennt man zwar keinen Faktor, hat aber auf andere Art gezeigt, dass sie zusammengesetzt sind.

Für F₁₄ wurde am 3. Februar 2010 ein Faktor veröffentlicht, für F₂₂ am 25. März 2010.

Die kleinste Fermat-Zahl, von der bislang nicht bekannt ist, ob sie prim oder zusammengesetzt ist, ist F₃₃. Diese Zahl hat 2.585.827.973 Stellen. Insgesamt weiß man von den ersten 50 Fermat-Zahlen nur von 10 nicht, ob sie zusammengesetzt sind oder nicht.

F_18.233.954 ist die größte Fermat-Zahl, von der ein Faktor bekannt ist, nämlich die Primzahl 7 · 2^18.233.956 + 1. Dieser Faktor wurde am 5. Oktober 2020 von Ryan Propper mit Computer-Programmen von Geoffrey Reynolds, Jean Penné und Jim Fougeron entdeckt und hat 5.488.969 Stellen. Die Fermat-Zahl F_18.233.954 selbst hat allerdings mehr als 10^5.488.966 Stellen.

Versuch einer anschaulichen Erklärung der Größe der Fermat-Zahl F_18.233.954

Es gibt keine sinnvolle Methode, sich die Menge an Papier, die man benötigt sie aufzuschreiben – oder gar die Zahl selber – vorzustellen: Selbst mit den hypothetisch kleinsten Teilchen aufgeschrieben, ist das Universum spätestens mit F₆₁₅ vollgeschrieben und für jeden weiteren Schritt bis F_18233954 würde sich der Platz zum Aufschreiben jeweils verdoppeln. Nur hat man mit F₆₁₅ ja quasi damit noch nicht mal richtig angefangen! Ein wissenschaftlicher Taschenrechner würde eine etwa 27 Kilometer lange Zeile oder alternativ eine 27 Meter mal 10 Meter große Tafel allein für das Anschreiben der Anzahl der Stellen, also von 10^5488966, als Dezimalzahl benötigen.

Insgesamt weiß man von 324 Fermat-Zahlen, dass sie zusammengesetzt sind. 368 Primfaktoren sind bisher bekannt (Stand: 30. Juli 2023).

Der folgenden Tabelle kann man entnehmen, in welchem Intervall wie viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen bekannt sind (Stand: 30. Juli 2023):

nachweislich keine Primzahl n bekannt zusammengesetzt Anteil 05 ≤ n ≤ 32 028 100,0 % 033 ≤ n ≤ 100 032 047,1 % 101 ≤ n ≤ 500 064 016,0 % 0501 ≤ n ≤ 1000 022 004,4 % 1001 ≤ n ≤ 5000 053 001,3 % 05001 ≤ n ≤ 10000 027 000,5 % TOTAL 226 002,3 %

nachweislich keine Primzahl n bekannt zusammengesetzt Anteil 10001 ≤ n ≤ 50000 38 0,09500 % 050001 ≤ n ≤ 100000 11 0,02200 % 100001 ≤ n ≤ 500000 26 0,00650 % 0500001 ≤ n ≤ 1000000 07 0,00140 % 1000001 ≤ n ≤ 5000000 13 0,00033 % 05000001 ≤ n ≤ 20000000 03 0,00006 % TOTAL 98 0,00049 %

Die kleinsten 25 Fermat-Primfaktoren sind die folgenden:

3, 5, 17, 257, 641, 65.537, 114.689, 274.177, 319.489, 974.849, 2.424.833, 6.700.417, 13.631.489, 26.017.793, 45.592.577, 63.766.529, 167.772.161, 825.753.601, 1.214.251.009, 6.487.031.809, 70.525.124.609, 190.274.191.361, 646.730.219.521, 2.710.954.639.361, 2.748.779.069.441, … (Folge A023394 in OEIS)

Um von einer Fermat-Zahl nachzuweisen, dass sie zusammengesetzt ist, benutzt man in der Regel den Pépin-Test und den Suyama-Test, die beide besonders auf diese Zahlen zugeschnitten und sehr schnell sind.

Die folgenden 16 Primfaktoren von Fermat-Zahlen wurden vor 1950 entdeckt.

Vor 1950 ohne Zuhilfenahme programmgesteuerter Rechenmaschinen entdeckte Primfaktoren von Fermat-Zahlen

Jahr	Entdecker	Fermat- Zahl	Dezimal- stellen von Fn	Faktor	Dezimal- stellen dieses Faktors	Faktor ausgeschrieben
1732	Leonhard Euler	F5 ⁠	10	5 · 27 + 1	3	641
1732	Leonhard Euler	F5 ⁠	10	52347 · 27 + 1	7	6.700.417
1855	Thomas Clausen	F6 ⁠	20	1071 · 28 + 1	6	274.177
1855	Thomas Clausen	F6 ⁠	20	262814145745 · 28 + 1	14	67.280.421.310.721
1877	Iwan Perwuschin	F12	1.234	7 · 214 + 1	6	114.689
1878	Iwan Perwuschin	F23	2.525.223	5 · 225 + 1	9	167.772.161
1886	Paul Peter Heinrich Seelhoff	F36	20.686.623.784	5 · 239 + 1	13	2.748.779.069.441
1899	Allan Joseph Champneys Cunningham	F11	617	39 · 213 + 1	6	319.489
1899	Allan Joseph Champneys Cunningham	F11	617	119 · 213 + 1	6	974.849
1903	Alfred Edward Western	F9	155	37 · 216 + 1	7	2.424.833
1903	Alfred Edward Western	F12	1.234	397 · 216 + 1	8	26.017.793
1903	Alfred Edward Western	F12	1.234	973 · 216 + 1	8	63.766.529
1903	Alfred Edward Western	F18	78.914	13 · 220 + 1	8	13.631.489
1903	James Cullen	F38	82.746.495.136	3 · 241 + 1	13	6.597.069.766.657
1906	James Caddall Morehead	F73	2.843.147.923.723.958.896.933	5 · 275 + 1	24	188.894.659.314.785.808.547.841
1925	Maurice Borissowitsch Kraitchik	F15	9.865	579 · 221 + 1	10	1.214.251.009

^(a) 

Diese Zahlen waren damit vollständig faktorisiert.

Seit 1950 wurden alle weiteren Faktoren durch Einsatz von Computern gefunden.

Mit Zuhilfenahme programmgesteuerter Rechenmaschinen entdeckte Primfaktoren von Fermat-Zahlen

Jahr Teiler 1951 0– 1952 0– 1953 02 1954 0– 1955 0– 1956 14 1957 06 1958 0– 1959 0– 1960 0– TOTAL 22

Jahr Teiler 1961 0– 1962 02 1963 11 1964 0– 1965 0– 1966 0– 1967 0– 1968 0– 1969 0– 1970 02 TOTAL 15

Jahr Teiler 1971 0– 1972 0– 1973 0– 1974 02 1975 0– 1976 02 1977 04 1978 02 1979 13 1980 09 TOTAL 32

Jahr Teiler 1981 03 1982 02 1983 02 1984 07 1985 02 1986 12 1987 05 1988 04 1989 0– 1990 08 TOTAL 45

Jahr Teiler 1991 12 1992 10 1993 10 1994 01 1995 08 1996 07 1997 04 1998 08 1999 09 2000 13 TOTAL 82

Jahr Teiler 2001 22 2002 08 2003 08 2004 02 2005 07 2006 01 2007 04 2008 06 2009 06 2010 07 TOTAL 71

Jahr Teiler 2011 09 2012 16 2013 07 2014 07 2015 06 2016 07 2017 05 2018 07 2019 03 2020 05 TOTAL 72

Jahr Teiler 2021 05 2022 0– 2023 08 2024 2025 2026 2027 2028 2029 2030 TOTAL 13

Es wurden somit bisher 352 Primfaktoren von Fermat-Zahlen mit Computern gefunden (Stand: 30. Juli 2023).

Eigenschaften

• Für $n>1$ hat jeder Teiler von $F_{n}$ die Form $k\cdot 2^{n+2}+1$ (bewiesen von Euler und Lucas, siehe auch Artikel Quadratisches Reziprozitätsgesetz, Unterabschnitt Teiler von Fermat- und Mersenne-Zahlen).

Beispiele:

Der Teiler 641 von F₅: 641 = 5 · 2⁷ + 1 = 5 · 128 + 1

Der Teiler 6700417 von F₅: 6700417 = 52347 · 2⁷ + 1 = 52347 · 128 + 1

• Fermat-Zahlen lassen sich auf folgende Arten rekursiv berechnen:

• $F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1$  für  $n\geq 1$
• $F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-2}$  für  $n\geq 2$
• $F_{n}=F_{n-1}^{2}-2\cdot (F_{n-2}-1)^{2}$  für  $n\geq 2$
• $F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2$  für  $n\geq 1$

Beweis der vier Behauptungen:

Zwei der vier Beweise funktionieren mittels vollständiger Induktion. Man zeigt, dass die Behauptungen für den Anfang gelten (Induktionsanfang), nimmt an, dass die Behauptung für $n$ gilt (Induktionsvoraussetzung) und beweist, dass die Behauptung dadurch auch für $n+1$ gelten muss (Induktionsschluss).

Beweis der ersten Behauptung: $F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1$ für $n\geq 1$

Der Beweis funktioniert direkt.

$F_{n}=2^{2^{n}}+1=2^{2\cdot 2^{n-1}}+1=(2^{2^{n-1}})^{2}+1=({\color {red}2^{2^{n-1}}+1}-1)^{2}+1=({\color {red}F_{n-1}}-1)^{2}+1$, was zu zeigen war. $\Box$

Beweis der zweiten Behauptung: $F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-2}$ für $n\geq 2$

Der Beweis funktioniert mittels vollständiger Induktion.

Induktionsanfang:

$17=F_{2}=F_{1}+2^{2^{2-1}}\cdot F_{0}=5+2^{2^{1}}\cdot 3=5+2^{2}\cdot 3=5+4\cdot 3=17$

$257=F_{3}=F_{2}+2^{2^{3-1}}\cdot F_{0}\cdot F_{1}=17+2^{4}\cdot 3\cdot 5=17+16\cdot 3\cdot 5=17+240=257$

Induktionsvoraussetzung: $F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}\cdot F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-2}$ bzw. umgeformt $F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-2}={\frac {F_{n}-F_{n-1}}{2^{2^{n-1}}}}$

Induktionsschluss: zu zeigen: $F_{n+1}=F_{n}+2^{2^{n}}\cdot F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}$

${\begin{array}{rcll}F_{n+1}&=&(F_{n}-1)^{2}+1&{\text{(erste obige Behauptung)}}\\&=&{\color {red}F_{n}}^{2}-2{\color {magenta}F_{n}}+1+1\\&=&({\color {red}F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}})^{2}-2\cdot ({\color {magenta}F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}})+2&{\text{(Induktionsvoraussetzung)}}\\&=&F_{n-1}^{2}+2\cdot 2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}F_{n-1}+(2^{2^{n-1}})^{2}F_{0}^{2}F_{1}^{2}\ldots F_{n-2}^{2}-2F_{n-1}-2\cdot 2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}+2\\&=&(F_{n-1}^{2}-2F_{n-1}+1)+1+2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot (2F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}-2)\\&=&{\color {magenta}(F_{n-1}-1)^{2}+1}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot ({\frac {2}{2^{2^{n-1}}}}F_{n-1}+{\color {red}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}}-{\frac {2}{2^{2^{n-1}}}})\\&=&{\color {magenta}F_{n}}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot ({\frac {2}{2^{2^{n-1}}}}F_{n-1}+{\color {red}{\frac {F_{n}-F_{n-1}}{2^{2^{n-1}}}}}-{\frac {2}{2^{2^{n-1}}}})&{\text{(umgeformte Induktionsvoraussetzung)}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\frac {2F_{n-1}+F_{n}-F_{n-1}-2}{2^{2^{n-1}}}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\frac {{\color {red}F_{n-1}}+{\color {magenta}F_{n}}-2}{2^{2^{n-1}}}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\frac {{\color {red}2^{2^{n-1}}+1}+{\color {magenta}2^{2^{n}}+1}-2}{2^{2^{n-1}}}}&{\text{(Definition von Fermat-Zahlen)}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\frac {2^{2^{n-1}}+2^{2^{n}}}{2^{2^{n-1}}}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\frac {2^{2^{n-1}}\cdot (1+2^{2^{n-1}})}{2^{2^{n-1}}}}\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot ({\color {red}2^{2^{n-1}}+1})\\&=&F_{n}+2^{2^{n}}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-2}\cdot {\color {red}F_{n-1}}&{\text{(Definition von Fermat-Zahlen)}}\end{array}}$

Was zu zeigen war. $\Box$

Beweis der dritten Behauptung: $F_{n}=F_{n-1}^{2}-2\cdot (F_{n-2}-1)^{2}$ für $n\geq 2$

Der Beweis funktioniert direkt.

${\begin{array}{rcll}F_{n}=2^{2^{n}}+1&=&2^{2\cdot 2^{n-1}}+2\cdot 2^{2^{n-1}}+1-2\cdot 2^{2^{n-1}}\\&=&(2^{2^{n-1}})^{2}+2\cdot 2^{2^{n-1}}+1-2\cdot 2^{2\cdot 2^{n-2}}\\&=&({\color {red}2^{2^{n-1}}+1})^{2}-2\cdot (2^{2^{n-2}})^{2}\\&=&{\color {red}F_{n-1}}^{2}-2\cdot (2^{2^{n-2}}+1-1)^{2}\\&=&F_{n-1}^{2}-2\cdot (F_{n-2}-1)^{2}\end{array}}$

Was zu zeigen war. $\Box$

Beweis der vierten Behauptung: $F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2$ für $n\geq 1$

Der Beweis funktioniert mittels vollständiger Induktion.

Induktionsanfang:

$5=F_{1}=F_{0}+2=3+2=5$

$17=F_{2}=F_{0}\cdot F_{1}+2=3\cdot 5+2=15+2=17$

Induktionsvoraussetzung: $F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2$

Induktionsschluss: zu zeigen: $F_{n+1}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n}+2$

${\begin{array}{rcll}F_{n+1}&=&(F_{n}-1)^{2}+1&{\text{(erste obige Behauptung)}}\\&=&{\color {red}F_{n}}^{2}-2{\color {magenta}F_{n}}+1+1\\&=&({\color {red}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}+2})^{2}-2({\color {magenta}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}+2})+2&{\text{(Induktionsvoraussetzung)}}\\&=&F_{0}^{2}F_{1}^{2}\ldots F_{n-1}^{2}+4F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}+4-2F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}-4+2\\&=&F_{0}^{2}F_{1}^{2}\ldots F_{n-1}^{2}+2F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}+2\\&=&F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}\cdot ({\color {red}F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}+2})+2\\&=&F_{0}F_{1}\ldots F_{n-1}\cdot {\color {red}F_{n}}+2&{\text{(Induktionsvoraussetzung)}}\end{array}}$

Was zu zeigen war. $\Box$

• Es gelten folgende Darstellungen von $F_{n}$:

• Jede Fermat-Zahl $F_{n}$ mit $n\geq 1$ ist von der Form $6m-1$, wobei $m\in \mathbb {N}$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: $F_{n}\equiv -1{\pmod {6}}$)
• Jede Fermat-Zahl $F_{n}$ mit $n\geq 1$ ist von der Form $4m+1$, wobei $m\in \mathbb {N}$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: $F_{n}\equiv 1{\pmod {4}}$)
• Jede Fermat-Zahl $F_{n}$ mit $n\geq 1$ ist von der Form $3m+2$, wobei $m\in \mathbb {N}$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: $F_{n}\equiv 2{\pmod {3}}$)
• Jede Fermat-Zahl $F_{n}$ mit $n\geq 2$ ist von der Form $10m+7$, wobei $m\in \mathbb {N}$ positiv ganzzahlig ist. (mit anderen Worten: $F_{n}\equiv 7{\pmod {10}}$)

Anders formuliert: Mit Ausnahme von $F_{0}=3$ und $F_{1}=5$ endet jede Fermat-Zahl im Dezimalsystem mit der Ziffer 7. Die letzten beiden Ziffern sind 17, 37, 57 oder 97.

Beweis der vier Behauptungen:

Beweis der ersten Behauptung: $F_{n}\equiv -1{\pmod {6}}$

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist das Gewünschte.

Eine weiter oben angegebene Eigenschaft besagt, dass $F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2$ gilt für $n\geq 1$. Somit gilt aber, weil $F_{0}=3$ ist:

$F_{n}+1=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+3=3\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+3=3\cdot (F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+1)$.

Der Ausdruck $F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}$ ist als Produkt von ungeraden Fermat-Zahlen selber ungerade. Addiert man 1 dazu, erhält man eine gerade Zahl. Also ist $F_{n}+1$ ein Produkt aus 3 und einer geraden Zahl und somit durch 6 teilbar. Es gibt also ein $m\in \mathbb {N}$ mit $F_{n}+1=6m$. Daher ist $F_{n}$ von der Form $6m-1$, was zu zeigen war. $\Box$

Beweis der zweiten Behauptung: $F_{n}\equiv 1{\pmod {4}}$

$F_{n}=2^{2^{n}}+1=(2^{2})^{\frac {2^{n}}{2}}+1=4^{2^{n-1}}+1\equiv 1{\pmod {4}}$, was zu zeigen war. $\Box$

Beweis der dritten Behauptung: $F_{n}\equiv 2{\pmod {3}}$

Der dritte Beweis funktioniert mit vollständiger Induktion:

Induktionsanfang:

$F_{1}=2^{2^{1}}+1=5=3\cdot 1+2\equiv 2{\pmod {3}}$

$F_{2}=2^{2^{2}}+1=17=3\cdot 5+2\equiv 2{\pmod {3}}$

Induktionsvoraussetzung: $F_{n}=3\cdot k+2$

Induktionsschluss: zu zeigen: $F_{n+1}=3\cdot m+2$ für ein $m\in \mathbb {N}$

${\begin{array}{rcll}F_{n+1}&=&(F_{n}-1)^{2}+1&{\text{(erste Behauptung weiter oben)}}\\&=&{\color {red}F_{n}}^{2}-2{\color {magenta}F_{n}}+1+1\\&=&({\color {red}3k+2})^{2}-2\cdot ({\color {magenta}3k+2})+2&{\text{(Induktionsvoraussetzung)}}\\&=&9k^{2}+12k+4-6k-4+2\\&=&9k^{2}+6k+2\\&=&3\cdot (3k^{2}+2k)+2\\&=&3m+2&{\text{(mit }}m:=3k^{2}+2k{\text{)}}\end{array}}$

Was zu zeigen war. $\Box$

Beweis der vierten Behauptung: $F_{n}\equiv 7{\pmod {10}}$

Der vierte Beweis funktioniert direkt:

Weiter oben wurde gezeigt, dass $F_{n}=F_{0}\cdot F_{1}\cdot \ldots \cdot F_{n-1}+2$ für $n\geq 1$ gilt. Daraus kann man folgern, dass $F_{n}\equiv 2{\pmod {F_{k}}}$ für $k=0,1,\ldots ,n-1$ gilt. Im Speziellen gilt also für $k=1$ (also für $F_{1}=5$) die Kongruenz $F_{n}\equiv 2{\pmod {5}}$ und somit entweder $F_{n}\equiv 2{\pmod {10}}$ oder $F_{n}\equiv 7{\pmod {10}}$. Weil aber Fermat-Zahlen immer ungerade sind, kann nur die Kongruenz $F_{n}\equiv 7{\pmod {10}}$ zutreffen, was zu zeigen war.

Die Aussage, dass die letzten beiden Ziffern 17, 37, 57 oder 97 sind, kann man der Literatur entnehmen. $\Box$

• Sei $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ die $n$-te Fermat-Zahl. Dann gilt:

• $F_{n}$ hat unendlich viele Darstellungen der Form $F_{n}=x^{2}-2y^{2}$ mit $x,y\in \mathbb {N}$ positiv ganzzahlig, für alle $n\geq 2$
• $F_{n}$ hat mindestens eine Darstellung der Form $F_{n}=x^{2}-y^{2}$ mit $x,y\in \mathbb {N}$ positiv ganzzahlig. Ist $F_{n}$ zusammengesetzt, gibt es mehrere Möglichkeiten dieser Darstellung.
• $F_{n}$ kann niemals als Summe von zwei Primzahlen dargestellt werden, für alle $n\geq 2:$

$F_{n}\not =p_{1}+p_{2}$ für alle $p_{1},p_{2}\in \mathbb {P} ,n\geq 2$

• $F_{n}$ kann niemals als Differenz von zwei p-ten Potenzen geschrieben werden, wenn $F_{n}$ und p ungerade Primzahlen sind:

$F_{n}\not =a^{p}-b^{p}$ für alle $p\in \mathbb {P} ,\,p\not =2$

Beweis der vier Behauptungen:

Beweis der ersten Behauptung: $F_{n}=x^{2}-2y^{2}$

Der Beweis funktioniert direkt.

Die Existenz einer solchen Darstellung konnte schon weiter oben mit $x:=F_{n-1}$ und $y:=F_{n-2}-1$ gezeigt werden: $F_{n}=x^{2}-2y^{2}=F_{n-1}^{2}-2\cdot (F_{n-2}-1)^{2}$

Um unendlich viele solche Darstellungen zu erhalten, betrachte man folgende Identität:

${\begin{array}{rcl}(3x+4y)^{2}-2\cdot (2x+3y)^{2}&=&9x^{2}+24xy+16y^{2}-2\cdot (4x^{2}+12xy+9y^{2})\\&=&9x^{2}+24xy+16y^{2}-8x^{2}-24xy-18y^{2}\\&=&x^{2}-2y^{2}\end{array}}$

Weil $x,y\in \mathbb {N}$ ist, gilt $3x+4y>x$ und $2x+3y>y$. Somit kann man aus dem Darstellungspaar $(x,y)$ für $F_{n}$ ein (größeres) Darstellungspaar $(3x+4y,2x+3y)$ für $F_{n}$ konstruieren. Aus diesem kann man mit obiger Identität das nächste (größere) Darstellungspaar für $F_{n}$ konstruieren und so fort. Man erhält also unendlich viele Darstellungspaare für $F_{n}$ und somit auch unendlich viele Darstellungen von $F_{n}$ der Form $F_{n}=x^{2}-2y^{2}$, was zu zeigen war. $\Box$

Beweis der zweiten Behauptung: $F_{n}=x^{2}-y^{2}$

Der Beweis funktioniert direkt.

Es gilt:

$F_{n}=2^{2^{n}}+1=2^{2^{n}}+2^{2^{n}}+1-2^{2^{n}}=2^{2^{n}}+2\cdot 2^{2^{n}-1}+1-2^{2^{n}}=\left(2^{2^{n}-1}+1\right)^{2}-\left(2^{2^{n}-1}\right)^{2}$

Somit hat man zwei Zahlen $x:=2^{2^{n}-1}+1$ und $y:=2^{2^{n}-1}$ gefunden, sodass $F_{n}=x^{2}-y^{2}$, also die Differenz von zwei Quadratzahlen, ist, was zu zeigen war.

Die Aussage, dass es mehrere solche Darstellungsmöglichkeiten als Differenz von zwei Quadratzahlen gibt, wenn $F_{n}$ zusammengesetzt ist, kann man der Literatur entnehmen. $\Box$

Beweis der dritten Behauptung: $F_{n}\not =p_{1}+p_{2}$

Der Beweis funktioniert indirekt. Man startet mit einer Behauptung und zeigt, dass sie falsch ist, womit die Behauptung fallengelassen werden muss und das Gegenteil gilt.

Alle Fermat-Zahlen $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ sind als Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl 1 immer ungerade Zahlen. Primzahlen sind, bis auf die erste Primzahl $p=2$, immer ungerade. Wenn also die ungerade Zahl $F_{n}$ Summe von zwei Primzahlen sein soll, so dürfen nicht beide Primzahlen ungerade sein, weil die Summe zweier ungerader Zahlen eine gerade Zahl ergibt. Eine davon muss gerade sein. Weil es nur eine gerade Primzahl gibt, muss also 2 eine der beiden Summanden sein. Der andere prime Summand ist somit $F_{n}-2$ und es gilt trivialerweise $F_{n}=2+(F_{n}-2)$. Es gilt aber:

$F_{n}-2=2^{2^{n}}+1-2=2^{2^{n}}-1=(2^{2^{n-1}}-1)\cdot (2^{2^{n-1}}+1)$

Somit ist aber $F_{n}-2$ für $n\geq 2$ zusammengesetzt und keine Primzahl, weil sogar der kleinere der beiden Faktoren $2^{2^{n-1}}-1\geq 2^{2^{2-1}}-1=2^{2}-1=3$ ist und somit eine nichttriviale Faktorisierung von $F_{n}-2$ existiert. Wir erhalten einen Widerspruch. Die Annahme, dass man eine Fermat-Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellen kann, muss fallengelassen werden, was zu zeigen war. $\Box$

Beweis der vierten Behauptung: $F_{n}\not =a^{p}-b^{p}$

Der Beweis funktioniert indirekt. Man startet mit einer Behauptung und zeigt, dass sie falsch ist, womit die Behauptung fallengelassen werden muss und das Gegenteil gilt.

Angenommen, $p\in \mathbb {P}$ ist eine ungerade Primzahl und $F_{n}$ kann dargestellt werden als Differenz von zwei p-ten Potenzen. Es sei also $F_{n}=a^{p}-b^{p}$. Dann gilt:

$F_{n}=a^{p}-b^{p}=(a-b)\cdot (a^{p-1}+a^{p-2}b+\ldots +ab^{p-2}+b^{p-1})$ mit $a>b$

Weil $F_{n}$ prim ist und somit nicht zwei Teiler haben darf, muss $a-b=1$ sein. Wegen des kleinen fermatschen Satzes ist $a^{p}\equiv a{\pmod {p}}$ und $b^{p}\equiv b{\pmod {p}}$ und somit gilt:

$F_{n}=a^{p}-b^{p}\equiv a-b\equiv 1{\pmod {p}}$

Somit muss $p$ ein Teiler von $F_{n}-1=2^{2^{n}}+1-1=2^{2^{n}}$ sein, was aber nicht sein kann, weil $2^{2^{n}}$ nur Zweierpotenzen als Teiler hat.

Die Annahme muss also fallengelassen werden, $F_{n}$ kann daher nicht dargestellt werden als Differenz von zwei p-ten Potenzen.

Was zu zeigen war. $\Box$

• Sei $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ die $n$-te Fermat-Zahl und sei $D(n)$ die Anzahl der Stellen von $F_{n}$. Dann gilt:

$D(n)=\lfloor \log _{10}\left(2^{2^{n}}+1\right)+1\rfloor \approx \lfloor \log _{10}2^{2^{n}}+1\rfloor =\lfloor 2^{n}\cdot \log _{10}2+1\rfloor$

wobei mit $\lfloor x\rfloor$ die Floor-Funktion gemeint ist (also die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist)

• Sei $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ die $n$-te Fermat-Zahl mit $n\geq 1$. Dann gilt:

$F_{n}$ ist eine Primzahl genau dann, wenn gilt: $3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}$

Mit anderen Worten: Für $n\geq 1$ gilt:

$F_{n}\in \mathbb {P} \Longleftrightarrow 3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}$

Dieser Satz nennt sich Pépin-Test.

Beweis der Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit dem linken Teil der Aussage und zeigt, dass daraus die rechte folgert. Danach startet man mit dem rechten Teil der Aussage und zeigt, dass daraus die linke Seite folgert.

Beweis:

„$\Rightarrow$“: Sei $F_{n}\in \mathbb {P}$ eine Primzahl mit $n\geq 1$. Man muss zeigen, dass $3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1\mod F_{n}$ ist.

Es gilt nach dem Eulerschein Kriterium für das Legendre-Symbol die folgende Kongruenz:

$3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv \left({\frac {3}{F_{n}}}\right)\mod F_{n}$

Weil $F_{n}\equiv 1{\pmod {4}}$ und $F_{n}\equiv 2{\pmod {3}}$ gilt (wurde weiter oben bewiesen), erhält man wegen des Quadratischen Reziprozitätsgesetzes für das Legendre-Symbol:

$\left({\frac {3}{F_{n}}}\right)=\left({\frac {F_{n}}{3}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)=(-1)^{\frac {3^{2}-1}{8}}=-1$

Somit erhält man:

$3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv \left({\frac {3}{F_{n}}}\right)=-1\mod F_{n}$

Damit ist eine Richtung des obigen Satzes gezeigt worden.

„$\Leftarrow$“: Sei nun $3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1\mod F_{n}$. Man muss zeigen, dass $F_{n}\in \mathbb {P}$ eine Primzahl ist.

Quadriert man diese Kongruenz, erhält man:

$(3^{\frac {F_{n}-1}{2}})^{2}=3^{F_{n}-1}\equiv (-1)^{2}=1\mod F_{n}$

Nach dem verbesserten Lucas-Test folgt, dass $F_{n}$ prim ist (weil $F_{n}-1=2^{2^{n}}+1-1=2^{2^{n}}$ nur einen einzigen Primteiler, nämlich $p=2$ hat und für diesen Primfaktor $p=2$ auch laut Voraussetzung $3^{\frac {F_{n}-1}{p}}=3^{\frac {F_{n}-1}{2}}\equiv -1\not \equiv 1{\pmod {F_{n}}}$ gilt).

Damit sind beide Richtungen obiger Aussage bewiesen, sie hat sich somit als richtig herausgestellt. $\Box$

• Für $n\geq 2$ gilt:

$F_{n}^{\frac {F_{n+1}-1}{2}}\equiv 1{\pmod {F_{n+1}}}$

• Sei $n\geq 2$, $k\geq 1$ und $F_{n+k}$ prim. Dann gilt:

$F_{n}^{\frac {F_{n+k}-1}{2}}\equiv 1{\pmod {F_{n+k}}}$

Beweis der ersten Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist mittels Umformungen und Modulo-Rechnungen das Gewünschte.

Beweis der ersten Behauptung:

$F_{n}^{2}=(2^{2^{n}}+1)^{2}={\color {red}2^{2^{n+1}}+1}+2\cdot 2^{2^{n}}={\color {red}F_{n+1}}+2\cdot 2^{2^{n}}\equiv 2\cdot 2^{2^{n}}{\pmod {F_{n+1}}}$

Somit gilt:

$F_{n}^{2^{2}}\equiv (2\cdot 2^{2^{n}})^{2}=4\cdot 2^{2^{n+1}}=4\cdot (F_{n+1}-1)=4\cdot F_{n+1}-4\equiv -4\equiv -2^{2}{\pmod {F_{n+1}}}$

Für $k\geq 3$ erhält man:

$F_{n}^{2^{k}}=(F_{n}^{2^{2}})^{2^{k-2}}\equiv (-2^{2})^{2^{k-2}}\equiv 2^{2^{k-1}}{\pmod {F_{n+1}}}$

Setzt man nun $k=2^{n+1}-1$ in obiges Ergebnis ein, dann erhält man:

$F_{n}^{2^{2^{n+1}-1}}=F_{n}^{\frac {2^{2^{n+1}}}{2}}=F_{n}^{\frac {{\color {red}2^{2^{n+1}}+1}-1}{2}}=F_{n}^{\frac {{\color {red}F_{n+1}}-1}{2}}\equiv 2^{2^{2^{n+1}-2}}{\pmod {F_{n+1}}}$

Die Zahl $2^{2^{n+1}-2}$ ist als Potenz von 2 durch jede kleinere Potenz von 2 teilbar, somit für $n\geq 2$ auch durch $2^{n+1}$. Es existiert also eine positive ganze Zahl $N\in \mathbb {N}$ mit $2^{2^{n+1}-2}=2^{n+1}\cdot 2N$. Wenn man dies in obiges Ergebnis einsetzt, erhält man:

$F_{n}^{\frac {F_{n+1}-1}{2}}\equiv 2^{2^{2^{n+1}-2}}=(2^{2^{n+1}})^{2N}=({\color {red}2^{2^{n+1}}+1}-1)^{2N}=({\color {red}F_{n+1}}-1)^{2N}\equiv (-1)^{2N}\equiv 1{\pmod {F_{n+1}}}$

Womit die erste Behauptung bewiesen ist. $\Box$

• Sei $F_{n}$ eine Primzahl und $a\in \mathbb {Z}$ eine ganze Zahl. Dann gilt für jede prime Fermat-Zahl $F_{k}$ mit $F_{k}\leq F_{n}$:

$F_{k}$ teilt $a^{F_{n}}-a$

Beweis der Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt. Man startet mit einer bekannten richtigen Aussage und beweist das Gewünschte.

Beweis:

Sei $F_{k}$ eine prime Fermat-Zahl mit $0\leq k\leq n$.

Sei weiters $F_{k}$ ein Teiler von $a$. Dann ist $F_{k}$ auch ein Teiler von $a^{F_{n}}$ und somit auch Teiler der Differenz. Also gilt:

$F_{k}$ teilt $a^{F_{n}}-a=a\cdot (a^{F_{n}-1}-1)$

Sei nun $F_{k}$ kein Teiler von $a$. Dann gilt wegen des kleinen fermatschen Satzes: $a^{F_{k}-1}\equiv 1{\pmod {F_{k}}}$ und somit:

$F_{k}$ teilt $a^{F_{k}-1}-1$

Weil aber jede kleine Zweierpotenz jede größere Zweierpotenz teilt, gilt auch:

$F_{k}-1=2^{2^{k}}+1-1=2^{2^{k}}$ teilt $2^{2^{n}}=2^{2^{n}}+1-1=F_{n}-1$

Weiters gilt bei mehrfacher Anwendung der dritten binomischen Formel:

$a^{F_{k}-1}-1=a^{2^{2^{k}}+1-1}-1=a^{2^{2^{k}}}-1^{2}$ teilt $a^{2^{2^{n}}}-1^{2}=a^{2^{2^{n}}+1-1}-1=a^{F_{n}-1}-1$

Obige Ergebnisse zusammengefasst ergibt:

$F_{k}$ teilt $a^{F_{k}-1}-1$ teilt $a^{F_{n}-1}-1$ teilt $a\cdot (a^{F_{n}-1}-1)=a^{F_{n}}-a$

Was zu zeigen war. $\Box$

• Sei $H_{n}:=2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}+1$. Dann gilt:

$H_{n}=(F_{n-1}^{2}-3F_{n-1}+3)\cdot H_{n-1}$ für alle $n\geq 1$

Beweis der Behauptung:

Der Beweis funktioniert direkt.

Beweis:

Man betrachte die folgende Identität unter Verwendung der dritten binomischen Formel:

${\begin{array}{rcll}\left[(x+1)^{2}-3(x+1)+3\right]\cdot (x^{2}+x+1)&=&(x^{2}+2x+1-3x-3+3)\cdot (x^{2}+x+1)&\\&=&(x^{2}-x+1)\cdot (x^{2}+x+1)&\\&=&((x^{2}+1)-x)\cdot ((x^{2}+1)+x)&{\text{(dritte binomische Formel)}}\\&=&(x^{2}+1)^{2}-x^{2}&\\&=&x^{4}+2x^{2}+1-x^{2}&\\&=&x^{4}+x^{2}+1&\end{array}}$

Wenn man nun $x:=2^{2^{n-1}}$ substituiert, sich ins Gedächtnis zurückruft, dass Fermatzahlen die Form $F_{n-1}=2^{2^{n-1}}+1$ haben und dass laut Definition $H_{n-1}:=2^{2^{n}}+2^{2^{n-1}}+1=(2^{2^{n-1}})^{2}+2^{2^{n-1}}+1$ ist, erhält man das gewünschte Ergebnis:

${\begin{array}{rcl}({\color {red}F_{n-1}}^{2}-3{\color {red}F_{n-1}}+3)\cdot {\color {blue}H_{n-1}}&=&\left[({\color {red}2^{2^{n-1}}+1})^{2}-3({\color {red}2^{2^{n-1}}+1})+3\right]\cdot ({\color {blue}({2^{2^{n-1}}})^{2}+2^{2^{n-1}}+1})\\&=&\left[(x+1)^{2}-3(x+1)+3\right]\cdot (x^{2}+x+1)\\&=&x^{4}+x^{2}+1\\&=&(2^{2^{n-1}})^{4}+(2^{2^{n-1}})^{2}+1\\&=&2^{2^{2}\cdot 2^{n-1}}+2^{2\cdot 2^{n-1}}+1\\&=&2^{2^{n+1}}+2^{2^{n}}+1\\&=&H_{n}\end{array}}$

Was zu zeigen war. $\Box$

• Sei $n^{n}+1$ eine Primzahl. Dann gilt:

• $n=F_{m}-1=2^{2^{m}}$ mit einer positiven ganzen Zahl $m\in \mathbb {N}$
• $n^{n}+1=F_{2^{m}+m}$

Beweis der Behauptung:

Beweis von Teil 1 durch Widerspruch: Man führt die Annahme, dass das zu Beweisende falsch sei, zu einem Widerspruch (analog zum Beweis weiter oben).

Annahme: $n^{n}+1$ ist prim und die Hochzahl $n$ hat einen ungeraden Teiler $c>1$.

Dann gilt

$n^{n}+1=n^{{\frac {n}{c}}\cdot c}+1=(n^{\frac {n}{c}})^{c}+1^{c}$

mit einer ganzen Zahl ${\frac {n}{c}}$. Nach Annahme ist $c$ ungerade, also ist diese Summe bekanntlich durch die Summe $n^{\frac {n}{c}}+1$ der beiden Basen teilbar:

$n^{n}+1=(n^{\frac {n}{c}})^{c}+1^{c}=(n^{\frac {n}{c}}+1)\cdot \sum _{j=0}^{c-1}(-1)^{j}\cdot (n^{\frac {n}{c}})^{j}$

Weil die Zahl $n^{n}+1$ prim ist, muss ihr Teiler $n^{\frac {n}{c}}+1$ gleich 1 oder gleich $n^{n}+1$ sein. Aber im Widerspruch dazu ist $n^{\frac {n}{c}}+1$ (wegen $n^{\frac {n}{c}}>0$) größer als 1 und (wegen ${\frac {n}{c}}<n$) kleiner als $n^{n}+1$. Die Annahme, dass $n^{n}+1$ prim ist und $n$ einen ungeraden Teiler $c>1$ hat, muss daher fallengelassen werden: $n^{n}+1$ kann nur prim sein, wenn $n$ eine Zweierpotenz $2^{k}$ mit $k\geq 0$ ist.

Es ist also $n^{n}+1=(2^{k})^{2^{k}}+1=2^{k\cdot 2^{k}}+1$ und $n^{n}$ ist somit eine Zweierpotenz.

Es wurde aber weiter oben gezeigt, dass eine Zahl der Form $2^{t}+1$ nur dann eine Primzahl ist, wenn die Hochzahl (also der Exponent) selbst eine Zweierpotenz ist. Es gibt also ein $t\in \mathbb {N} _{0}$, sodass $k\cdot 2^{k}=2^{t}$ ist. Somit muss $k$ selbst eine Zweierpotenz (also ohne ungerade Teiler) sein, daher gibt es ein $m\in \mathbb {N} _{0}$, sodass $k=2^{m}$ ist. Es ist also $n=2^{k}=2^{2^{m}}=2^{2^{m}}+1-1=F_{m}-1$, was als Erstes zu zeigen war.

Weiters gilt also $n^{n}+1=(2^{k})^{(2^{k})}+1=(2^{2^{m}})^{(2^{2^{m}})}+1=2^{2^{m}\cdot 2^{2^{m}}}+1=2^{2^{m+2^{m}}}+1=2^{2^{2^{m}+m}}+1=F_{2^{m}+m}$, was zu zeigen war. $\Box$

Beispiele:

Für $m=0$ erhält man $n^{n}+1=F_{2^{0}+0}=F_{1}=5\in \mathbb {P}$

Für $m=1$ erhält man $n^{n}+1=F_{2^{1}+1}=F_{3}=257\in \mathbb {P}$

Für $m=2$ erhält man $n^{n}+1=F_{2^{2}+2}=F_{6}=18.446.744.073.709.551.617\not \in \mathbb {P}$ (eine 20-stellige Zahl)

Für $m=3$ erhält man $n^{n}+1=F_{2^{3}+3}=F_{11}\not \in \mathbb {P}$ (eine 617-stellige Zahl)

Für $m=4$ erhält man $n^{n}+1=F_{2^{4}+4}=F_{20}\not \in \mathbb {P}$ (eine 315653-stellige Zahl)

Auch für $m=5$ (eine 41373247568-stellige Zahl) und $m=11$ (die Anzahl der Stellen dieser Zahl hat 620 Stellen) erhält man keine Primzahlen. Für alle anderen $m$ ist noch nicht bekannt, ob es sich um Primzahlen handelt oder nicht.

Könnte man zeigen, dass es keine weiteren Primzahlen der Form $n^{n}+1$ gibt, so wäre gleichzeitig auch bewiesen, dass es unendlich viele zusammengesetzte Fermat-Zahlen gibt.

• Sei $n^{n^{n}}+1$ eine Primzahl. Dann gilt:

• $n=F_{m}-1=2^{2^{m}}$ mit einer positiven ganzen Zahl $m\in \mathbb {N}$
• $n^{n^{n}}+1=F_{2^{2^{m}+m}+m}$

• Die Menge aller quadratischen Nichtreste einer primen Fermat-Zahl ist gleich der Menge aller ihrer Primitivwurzeln.

• Zwei Fermat-Zahlen sind gleich oder teilerfremd, wie aus der letzten Aussage folgt (Goldbachs Theorem, nach Christian Goldbach, 1730). Daraus lässt sich folgern, dass es unendlich viele Primzahlen gibt (siehe auch Beweisarchiv).

• Die Summe der Kehrwerte aller Fermat-Zahlen ist eine irrationale Zahl (bewiesen von Solomon W. Golomb im Jahr 1963). Es gilt:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{2^{n}}+1}}\approx 0{,}59606317211782167942379392586279$ (Folge A051158 in OEIS)

• Keine Fermat-Zahl ist eine perfekte Zahl. Keine Fermat-Zahl ist Teil eines Paares befreundeter Zahlen (bewiesen von Florian Luca im Jahr 2000).

• Die Summe der Kehrwerte aller Primteiler von Fermat-Zahlen ist konvergent (bewiesen von Michal Křížek, Florian Luca und Lawrence Somer im Jahr 2002). Mit anderen Worten:

Sei $P_{F}\subset \mathbb {P}$ die Menge aller Primzahlen, die irgendeine Fermat-Zahl $F_{n}$ teilen. Dann gilt:

$\sum _{p\in P_{F}}{\frac {1}{p}}$ ist konvergent.

• Sei $p(F_{n})$ der größte Primteiler der Fermat-Zahl $F_{n}$. Dann gilt:

$p(F_{n})\geq 2^{n+2}\cdot (4n+9)+1$

für alle  $n\geq 4$ (bewiesen von Aleksander Grytczuk, Florian Luca und Marek Wójtowicz im Jahr 2001).

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine starke Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:

$2^{2^{r}}\equiv -1{\pmod {F_{n}}}$

für mindestens ein $0\leq r<2^{n}$ (im Speziellen für $r=n$).

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl ist eine eulersche Pseudoprimzahl zur Basis 2, weil für alle Fermat-Zahlen gilt:

$2^{\frac {F_{n}-1}{2}}=2^{2^{n}-1}\equiv \pm 1{\pmod {F_{n}}}$

• Jede zusammengesetzte Fermat-Zahl $F_{n}$ ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2. Das heißt, für alle Fermat-Zahlen gilt:

$2^{F_{n}-1}\equiv 1{\pmod {F_{n}}}$

• Eine prime Fermat-Zahl $F_{n}$ ist niemals eine Wieferich-Primzahl. Das heißt, für alle primen Fermat-Zahlen gilt:

$2^{F_{n}-1}\not \equiv 1{\pmod {F_{n}^{2}}}$

• Ein Produkt

$F_{a}\cdot F_{b}\cdot \ldots \cdot F_{s}$

von Fermat-Zahlen mit $a>b>\ldots >s>1$ ist eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2 genau dann, wenn $2^{s}>a$ (bewiesen von Michele Cipolla im Jahr 1904).

• Jede Fermat-Zahl $F_{n}$ hat im Binärsystem die Form

$F_{n}=1\;\!000\ldots 000\;\!1$

mit $2^{n}-1$ Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.

Jede Fermat-Zahl ab $F_{2}$ hat im Hexadezimalsystem die Form

$F_{n}=1\;\!000\ldots 000\;\!1$

mit $2^{n-2}-1$ Nullen zwischen den beiden Einsen am Anfang und Ende.

Ungelöste Probleme

• Ist F_n eine zusammengesetzte Zahl für alle n ≥ 5?
• Gibt es unendlich viele zusammengesetzte Fermatsche Zahlen? (Diese Behauptung ist etwas schwächer als die vorherige.)
• Gibt es unendlich viele Fermatsche Primzahlen? (Diese Behauptung steht nicht im Widerspruch zur vorherigen; es könnten beide Behauptungen gelten. Es ist allerdings äußerst unwahrscheinlich, wie der untere Abschnitt zeigt.)
• Gibt es Fermatsche Zahlen, die nicht quadratfrei sind?

Warum es wahrscheinlich keine weiteren Fermat-Primzahlen gibt

Man kann heuristisch annehmen, dass $F_{4}=65537$ die letzte (und somit auch die größte) Fermat-Primzahl ist. Die Überlegungen dafür sind die folgenden:

Der Primzahlsatz gibt an, dass eine zufällige ganze Zahl in einem geeigneten Intervall um $n$ mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa ${\tfrac {1}{\ln n}}$ eine Primzahl ist. Wenn man nun heuristisch davon ausgeht, dass diese Aussage auch für Fermat-Primzahlen gilt, gepaart mit der Tatsache, dass die Fermat-Zahlen $F_{5},\ldots F_{32}$ alle zusammengesetzt sind, kommt man für größere Fermat-Primzahlen zu folgendem Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass $F_{n}$ eine Fermat-Primzahl ist, beträgt höchstens ${\tfrac {4}{2^{n}}}$.

Für eine neue, noch unbekannte Fermat-Primzahl $F_{n}$ muss $n\geq 33$ sein. Somit beträgt die erwartete Anzahl an neuen, noch unbekannten Fermat-Primzahlen höchstens

${\frac {4}{2^{33}}}+{\frac {4}{2^{34}}}+{\frac {4}{2^{35}}}+\ldots ={\frac {4}{2^{32}}}={\frac {1}{2^{30}}}<{\frac {1}{10^{9}}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass es noch eine weitere Fermat-Primzahl $F_{n}>F_{4}$ gibt, beträgt also weniger als 1 zu einer Milliarde, weswegen man davon ausgehen kann, dass es wahrscheinlich keine weiteren gibt.

Geometrische Anwendung der Fermatschen Primzahlen

Anzahl der Seiten bekannter konstruierbarer Polygone.
Rot: Seitenzahlen der 31 bekannten regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl (Lesart von oben nach unten: Gleichseitiges Dreieck – regelmäßiges Fünfeck – regelmäßiges Fünfzehneck - … – 4294967295-Eck)
Schwarz: Seitenzahlen der (unendlich vielen) bekannten Polygone mit gerader Seitenzahl

Carl Friedrich Gauß zeigte (in seinem Lehrbuch Disquisitiones Arithmeticae), dass es einen Zusammenhang zwischen der Konstruktion von regelmäßigen Polygonen und den Fermatschen Primzahlen gibt:

Ein regelmäßiges Polygon mit n Seiten kann dann und nur dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn n

• eine Potenz von 2 oder
• eine Potenz von 2 multipliziert mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.

Mit anderen Worten:

Ein $n$-seitiges regelmäßiges Polygon kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden$\qquad \Longleftrightarrow$

$n=2^{k}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \dotso \cdot p_{s}$  mit $k\in \mathbb {N} _{0}$ und paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen $p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{s}$

Konkret zeigte Gauß die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Siebzehnecks.

Die nach der obigen Formel konstruierbaren regelmäßigen Polygone lassen sich in zwei Gruppen unterteilen: solche mit ungerader Seitenzahl und solche mit gerader Seitenzahl. Alle Polygone, in denen $k>0$ ist, sind offensichtlich solche mit gerader Seitenzahl (durch 2 teilbar). Alle Polygone mit $k=0$ sind solche mit ungerader Seitenzahl (ein Produkt von Primzahlen größer als 2 ist immer eine ungerade Zahl). Da nur endlich viele Fermatsche Primzahlen bekannt sind, ist auch die Anzahl der bekannten, mit Zirkel und Lineal konstruierbaren, regulären Polygone mit ungerader Seitenzahl begrenzt. Unter diesen ist das 4294967295-Eck ($\scriptstyle \prod _{i=1}^{5}p_{i}$) dasjenige mit der größten Eckenzahl.

Verallgemeinerte Fermatsche Zahlen

Eine Zahl der Form $b^{2^{n}}+a^{2^{n}}$ mit zwei teilerfremden natürlichen Zahlen a > 0 und b > 0 heißt verallgemeinerte Fermatsche Zahl. Ist eine solche Zahl prim, dann heißt sie verallgemeinerte Fermatsche Primzahl.

Insgesamt sind schon über 11719 Faktoren von verallgemeinerten zusammengesetzten Fermat-Zahlen bekannt (Stand: 13. August 2018). Davon wurden alleine über 5100 von Anders Björn und Hans Riesel vor 1998 entdeckt.

Ist a = 1, so werden die so erhaltenen verallgemeinerten Fermatschen Zahlen üblicherweise mit

$F_{n}(b)=b^{2^{n}}+1$

bezeichnet. Die Zahl b nennt man Basis.

Ist a = 1 und b = 2, so handelt es sich um die schon weiter oben erwähnten Fermat-Zahlen

$F_{n}(2)=F_{n}=2^{2^{n}}+1$.

Es folgt eine Auflistung der ersten verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form $F_{n}(b,a)={\frac {b^{2^{n}}+a^{2^{n}}}{\operatorname {ggT} (b+a,2)}}$. Die beiden Basen $b$ und $a$ müssen, damit $F_{n}(b,a)$ prim sein kann, teilerfremd sein. Außerdem ist es auch notwendig, dass man $F_{n}(b,a)$ durch den größten gemeinsamen Teiler ${\operatorname {ggT} (b+a,2)}$ dividiert, da die Zahl $b^{2^{n}}+a^{2^{n}}$ bei ungeradem $b$ und $a$ immer eine gerade Zahl wäre und somit niemals eine Primzahl sein könnte. Weiters kann man ohne Einschränkung annehmen, dass $a<b$ sein muss, da man bei $F_{n}(b,a)$ das $a$ bedenkenlos mit $b$ vertauschen kann und somit zum Beispiel $F_{n}(5,9)=F_{n}(9,5)$ ist. Der Fall $a=b$ führt niemals zu Primzahlen, da dann $F_{n}(b,a)=F_{n}(b,b)={\frac {b^{2^{n}}+b^{2^{n}}}{\operatorname {ggT} (b+b,2)}}={\frac {2b^{2^{n}}}{2}}=b^{2^{n}}$ wäre und sicher nicht prim ist (es wären in diesem Fall auch die beiden Basen $b$ und $b$ nicht wie vorausgesetzt teilerfremd).

Liste der verallgemeinerten Fermatschen Primzahlen der Form $F_{n}(b,a)={\frac {b^{2^{n}}+a^{2^{n}}}{\operatorname {ggT} (b+a,2)}}$ mit konstantem $b\leq 16$ und $a<b$

b a $F_{n}(b,a)$ $n$, für die $F_{n}(b,a)$ prim ist 2 1 $2^{2^{n}}+1^{2^{n}}$ 0, 1, 2, 3, 4, … 3 1 ${\frac {3^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}$ 0, 1, 2, 4, 5, 6, … 3 2 $3^{2^{n}}+2^{2^{n}}$ 0, 1, 2, … 4 1 $4^{2^{n}}+1^{2^{n}}$ 0, 1, 2, 3, … 4 3 $4^{2^{n}}+3^{2^{n}}$ 0, 2, 4, … 5 1 ${\frac {5^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}$ 0, 1, 2 … 5 2 $5^{2^{n}}+2^{2^{n}}$ 0, 1, 2, … 5 3 ${\frac {5^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}$ 1, 2, 3, … 5 4 $5^{2^{n}}+4^{2^{n}}$ 1, 2, … 6 1 $6^{2^{n}}+1^{2^{n}}$ 0, 1, 2, … 6 5 $6^{2^{n}}+5^{2^{n}}$ 0, 1, 3, 4, … 7 1 ${\frac {7^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}$ 2, … 7 2 $7^{2^{n}}+2^{2^{n}}$ 1, 2, … 7 3 ${\frac {7^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}$ 0, 1, 8, … 7 4 $7^{2^{n}}+4^{2^{n}}$ 0, 2, … 7 5 ${\frac {7^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}$ 1, 4, … 7 6 $7^{2^{n}}+6^{2^{n}}$ 0, 2, 4, … 8 1 $8^{2^{n}}+1^{2^{n}}$ es gibt keine Primzahlen dieser Form 8 3 $8^{2^{n}}+3^{2^{n}}$ 0, 1, 2, … 8 5 $8^{2^{n}}+5^{2^{n}}$ 0, 1, 2, …

b a $F_{n}(b,a)$ $n$, für die $F_{n}(b,a)$ prim ist 8 7 $8^{2^{n}}+7^{2^{n}}$ 1, 4, … 9 1 ${\frac {9^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}$ 0, 1, 3, 4, 5, … 9 2 $9^{2^{n}}+2^{2^{n}}$ 0, 2, … 9 4 $9^{2^{n}}+4^{2^{n}}$ 0, 1, … 9 5 ${\frac {9^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}$ 0, 1, 2, … 9 7 ${\frac {9^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}$ 2, … 9 8 $9^{2^{n}}+8^{2^{n}}$ 0, 2, 5, … 10 1 $10^{2^{n}}+1^{2^{n}}$ 0, 1, … 10 3 $10^{2^{n}}+3^{2^{n}}$ 0, 1, 3, … 10 7 $10^{2^{n}}+7^{2^{n}}$ 0, 1, 2, … 10 9 $10^{2^{n}}+9^{2^{n}}$ 0, 1, 2, … 11 1 ${\frac {11^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}$ 1, 2, … 11 2 $11^{2^{n}}+2^{2^{n}}$ 0, 2, … 11 3 ${\frac {11^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}$ 0, 3, … 11 4 $11^{2^{n}}+4^{2^{n}}$ 1, 2, … 11 5 ${\frac {11^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}$ 1, … 11 6 $11^{2^{n}}+6^{2^{n}}$ 0, 1, 2, … 11 7 ${\frac {11^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}$ 2, 4, 5, … 11 8 $11^{2^{n}}+8^{2^{n}}$ 0, 6, … 11 9 ${\frac {11^{2^{n}}+9^{2^{n}}}{2}}$ 1, 2, …

b a $F_{n}(b,a)$ $n$, für die $F_{n}(b,a)$ prim ist 11 10 $11^{2^{n}}+10^{2^{n}}$ 5, … 12 1 $12^{2^{n}}+1^{2^{n}}$ 0, … 12 5 $12^{2^{n}}+5^{2^{n}}$ 0, 4, … 12 7 $12^{2^{n}}+7^{2^{n}}$ 0, 1, 3, … 12 11 $12^{2^{n}}+11^{2^{n}}$ 0, … 13 1 ${\frac {13^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}$ 0, 2, 3, … 13 2 $13^{2^{n}}+2^{2^{n}}$ 1, 3, 9, … 13 3 ${\frac {13^{2^{n}}+3^{2^{n}}}{2}}$ 1, 2, … 13 4 $13^{2^{n}}+4^{2^{n}}$ 0, 2, … 13 5 ${\frac {13^{2^{n}}+5^{2^{n}}}{2}}$ 1, 2, 4, … 13 6 $13^{2^{n}}+6^{2^{n}}$ 0, 6, … 13 7 ${\frac {13^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}$ 1, … 13 8 $13^{2^{n}}+8^{2^{n}}$ 1, 3, 4, … 13 9 ${\frac {13^{2^{n}}+9^{2^{n}}}{2}}$ 0, 3, … 13 10 $13^{2^{n}}+10^{2^{n}}$ 0, 1, 2, 4, … 13 11 ${\frac {13^{2^{n}}+11^{2^{n}}}{2}}$ 2, … 13 12 $13^{2^{n}}+12^{2^{n}}$ 1, 2, 5, … 14 1 $14^{2^{n}}+1^{2^{n}}$ 1, … 14 3 $14^{2^{n}}+3^{2^{n}}$ 0, 3, … 14 5 $14^{2^{n}}+5^{2^{n}}$ 0, 2, 4, 8, …

b a $F_{n}(b,a)$ $n$, für die $F_{n}(b,a)$ prim ist 14 9 $14^{2^{n}}+9^{2^{n}}$ 0, 1, 8, … 14 11 $14^{2^{n}}+11^{2^{n}}$ 1, … 14 13 $14^{2^{n}}+13^{2^{n}}$ 2, … 15 1 ${\frac {15^{2^{n}}+1^{2^{n}}}{2}}$ 1, … 15 2 $15^{2^{n}}+2^{2^{n}}$ 0, 1, … 15 4 $15^{2^{n}}+4^{2^{n}}$ 0, 1, … 15 7 ${\frac {15^{2^{n}}+7^{2^{n}}}{2}}$ 0, 1, 2, … 15 8 $15^{2^{n}}+8^{2^{n}}$ 0, 2, 3, … 15 11 ${\frac {15^{2^{n}}+11^{2^{n}}}{2}}$ 0, 1, 2, … 15 13 ${\frac {15^{2^{n}}+13^{2^{n}}}{2}}$ 1, 4, … 15 14 $15^{2^{n}}+14^{2^{n}}$ 0, 1, 2, 4, … 16 1 $16^{2^{n}}+1^{2^{n}}$ 0, 1, 2, … 16 3 $16^{2^{n}}+3^{2^{n}}$ 0, 2, 8, … 16 5 $16^{2^{n}}+5^{2^{n}}$ 1, 2, … 16 7 $16^{2^{n}}+7^{2^{n}}$ 0, 6, … 16 9 $16^{2^{n}}+9^{2^{n}}$ 1, 3, … 16 11 $16^{2^{n}}+11^{2^{n}}$ 2, 4, … 16 13 $16^{2^{n}}+13^{2^{n}}$ 0, 3, … 16 15 $16^{2^{n}}+15^{2^{n}}$ 0, …

Fast alle verallgemeinerten Fermatschen Zahlen sind wahrscheinlich zusammengesetzt. Bewiesen ist diese Aussage aber nicht, denn schon für $b=2$ und $a=1$ (das sind die ursprünglichen Fermat-Zahlen) wurde weiter oben im K