Konstruierbares Polygon

In der Mathematik ist ein konstruierbares Polygon ein regelmäßiges Polygon, das mit Zirkel und (unmarkiertem) Lineal – den Euklidischen Werkzeugen – konstruiert werden kann. Zum Beispiel ist das regelmäßige Fünfeck konstruierbar, das regelmäßige Siebeneck hingegen nicht.

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks

KonstruierbarkeitBearbeiten

 
Anwendungsbeispiel Höhensatz
Durch die Ergänzung der konstruierten Zahl   mit   = 1 ist mittels Thaleskreis   konstruierbar.
Zahlenbeispiel:      

Um den Begriff „mit Zirkel und Lineal konstruierbar“ mathematisch präzise zu erfassen, muss definiert werden, was mit diesen Werkzeugen möglich ist. Wir gehen davon aus, dass am Anfang einer jeden Konstruktion zwei Punkte gegeben sind. Mit dem Lineal kann man dann eine Gerade durch zwei Punkte konstruieren, mit dem Zirkel einen Kreis durch einen Punkt um einen anderen Punkt als Mittelpunkt. Außerdem seien die Schnittpunkte von Geraden und Kreisen konstruierbar.

Aus diesen Grundkonstruktionen lassen sich eine Reihe weiterer Konstruktionen ableiten, wie die Konstruktion einer Mittelsenkrechte oder das Fällen eines Lotes. Man nennt dann eine positive reelle Zahl konstruierbar, wenn man zwei Punkte konstruieren kann, sodass der euklidische Abstand zwischen ihnen gleich dem Betrag dieser Zahl ist (wobei der Abstand zweier vorgegebener Punkte als 1 definiert wird). Ist beispielsweise die Zahl   konstruierbar, so kann man mit Hilfe des Höhensatzes zwei Punkte mit Abstand   konstruieren. Sind zwei Zahlen   und   konstruierbar, so mit Hilfe des Strahlensatzes auch deren Produkt   und der Kehrwert  , sowie durch Abgreifen eines Abstandes deren Summe   und Differenz  .→ Siehe zu den algebraische Operationen auch den Artikel Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Ein Winkel   heiße konstruierbar, wenn die Zahl   konstruierbar ist; der Sinn dieser Definition erschließt sich schnell durch Betrachten des Einheitskreises.

Um nun ein regelmäßiges  -Eck zu konstruieren, genügt es, den Zentriwinkel   zu konstruieren, denn wenn man den Mittelpunkt des  -Ecks und eine Ecke gegeben hat, lässt sich ausgehend von der Verbindungsgeraden durch Mittelpunkt und Eckpunkt der nächste Eckpunkt konstruieren. Ist umgekehrt ein regelmäßiges  -Eck gegeben, so kann man den Zentriwinkel abgreifen. Zur Beantwortung der Frage, ob das  -Eck konstruierbar ist, ist man also auf den Fall zurückgeführt, zu entscheiden, ob der Zentriwinkel konstruierbar ist.

Konstruierbarkeit von ZahlenBearbeiten

Eine Zahl heißt genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn sie z. B. eine ganze Zahl, eine Dezimalzahl mit endlicher Anzahl Nachkommastellen oder die positive Wurzel aus einer dieser Zahlen (siehe Anwendungsbeispiel Höhensatz) ist, genauer gesagt die Länge einer Strecke ist, die wie hier beschrieben konstruiert werden kann.

In der synthetischen Geometrie werden auch Punkte und Zahlen untersucht, die etwas allgemeiner aus einer (fast) beliebigen Vorgabemenge von Streckenlängen konstruiert werden können. Dazu werden Körpererweiterungen der rationalen Zahlen betrachtet, die euklidische Körper und damit Koordinatenkörper einer euklidischen Ebene (im Sinne der synthetischen Geometrie) sind. Die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal einer Zahl bedeutet dann, dass sie eine Koordinate eines aus den Vorgaben konstruierbaren Punktes in der Ebene ist. → Siehe zu diesen Begriffsbildungen auch den Artikel euklidischer Körper!

Kriterium für KonstruierbarkeitBearbeiten

Carl Friedrich Gauß zeigte 1796, dass das regelmäßige Siebzehneck konstruierbar ist. Dazu wies er nach, dass die Zahl   als Ausdruck dargestellt werden kann, der nur ganze Zahlen, arithmetische Grundoperationen und verschachtelte Quadratwurzeln enthält. Durch die in seinen Disquisitiones Arithmeticae entwickelte Theorie gelang es Gauß fünf Jahre später, eine hinreichende Bedingung für die Konstruktion regelmäßiger Polygone anzugeben:

Wenn   das Produkt einer Potenz von 2 mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist, dann ist das regelmäßige  -Eck konstruierbar.[1]

Gauß wusste zwar, dass die Bedingung auch notwendig ist, hat allerdings seinen Beweis hierfür nicht veröffentlicht. Pierre-Laurent Wantzel holte dies 1837 nach.

Man kann zeigen, dass eine Zahl   genau dann das Produkt einer Potenz von 2 mit verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist, wenn   eine Potenz von 2 ist. Hierbei bezeichnet   die Eulersche φ-Funktion.

Zusammenfassend: Für eine Zahl   sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  • Das regelmäßige  -Eck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
  •   mit   und   paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen  .
Dabei steht das für m=0 sich ergebende leere Produkt definitionsgemäß für die Zahl 1.
  •   für ein  .

Sind insbesondere   und   teilerfremd und sowohl das  -Eck als auch das  -Eck konstruierbar, so ist wegen   auch das  -Eck konstruierbar. Für diese Tatsache lässt sich auch direkt die geometrische Konstruktion angeben, denn wenn   und   teilerfremd sind, so gibt es nach dem Lemma von Bézout zwei ganze Zahlen   und   mit   Indem man nun  -mal den Zentriwinkel des  -Ecks und  -mal den Zentriwinkel des  -Ecks anlegt, hat man den Winkel   – und damit auch das  -Eck – konstruiert.

Konkrete Konsequenzen des KriteriumsBearbeiten

Trotz intensiver Suche wurden über die fünf bereits Gauß bekannten Fermatschen Primzahlen 3, 5, 17, 257 und 65537 hinaus bis heute keine weiteren gefunden. Es besteht sogar die plausible Vermutung, dass es keine weiteren Fermatschen Primzahlen gibt.

Sollte es tatsächlich nur fünf Fermatsche Primzahlen (FP) geben, dann sind unter den Polygonen mit ungerader (!) Eckenzahl genau die folgenden 31 theoretisch konstruierbar:[2]

Eckenzahl Produkt FP

3  
5  
15  
17  
51  
85  
255  
Eckenzahl Produkt FP
257  
771  
1.285  
3.855  
4.369  
13.107  
21.845  
65.535  
Eckenzahl Produkt FP
65.537  
196.611  
327.685  
983.055  
1.114.129  
3.342.387  
5.570.645  
16.711.935  
Eckenzahl Produkt FP
16.843.009  
50.529.027  
84.215.045  
252.645.135  
286.331.153  
858.993.459  
1.431.655.765  
4.294.967.295  

Alle anderen konstruierbaren Polygone (dann mit gerader Eckenzahl) sind das Quadrat oder sie ergeben sich durch (fortgesetztes) Verdoppeln der Eckenzahl.

Für das Dreieck, Fünfeck, Siebzehneck und 257-Eck sind Konstruktionsanweisungen bekannt, eine angeblich existierende Konstruktionsanweisung für das 65537-Eck ist – sofern sie existiert – nicht zugänglich oder verifiziert. Damit liegen nur für die ungeraden Polygone bis zum 65535-Eck Konstruktions­anweisungen vor.

Lässt man zur Konstruktion zusätzlich ein Hilfsmittel zur Dreiteilung eines Winkels (Trisektion) zu, so sind alle regelmäßigen Polygone mit Eckenzahlen der Form   konstruierbar, wobei   mit   verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei der Form   sind. Auf diese Weise sind beispielsweise auch das Siebeneck[3], das Neuneck und das Dreizehneck konstruierbar.

Werden als zusätzliche Hilfsmittel z. B. die Quadratrix des Hippias oder die archimedische Spirale akzeptiert, die neben der Dreiteilung auch Teilungen mit   gleich große Winkel ermöglichen, wie das Beispiel Neunzehneck zeigt, sind theoretisch sämtliche regelmäßige Polygone konstruierbar.

Daraus folgt: Lässt man als zusätzliches Hilfsmittel nur die Dreiteilung eines Winkels (Trisektion) zu, ergibt sich für regelmäßige Polygone bis zum 1000-Eck folgende Tabelle für die Konstruktion mit Zirkel und Lineal (J), bzw. zusätzlich Trisektion (T) oder nicht (N):

Eckenzahl

3 4 5 6 7 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Konstruierbar

J J J J T J T J N J T T J J J T T J T N N J N
Eckenzahl 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Konstruierbar T T T N J N J N J T T T T T J N T N N T N N J N N
Eckenzahl 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
Konstruierbar J T N T N T T N N J N N T J T N N J N T N T T T N
Eckenzahl 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Konstruierbar T N T N J T N N T J N N N N T T N N N T J T N N N
Eckenzahl 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125
Konstruierbar N J N T T N N T T N T T N T N N T N T J N N N N N
Eckenzahl 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
Konstruierbar T N J N T N N T N T J N N N T N N N T N T N T N N
Eckenzahl 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175
Konstruierbar N T T N N T N N N J N T T N N N N T N J T N N N N
Eckenzahl 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
Konstruierbar N N N N T N T N N T N N N T T N J T T T N N N N N
Eckenzahl 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225
Konstruierbar N N N J N N N T N T N N N N N T N T T N T T N T N
Eckenzahl 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250
Konstruierbar N N T N N N N N T N N N T N J N N T N N N T N N N
Eckenzahl 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275
Konstruierbar N T N N J J J N T T N N N N N T N N N T N J T N N
Eckenzahl 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300
Konstruierbar N N N N T N N N N T N N T N N T T N N N T N N N N
Eckenzahl 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325
Konstruierbar N N N T N T N N N N N T N N T N N N N J N N T T N
Eckenzahl 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350
Konstruierbar T T N N N N N T N T N N N N J N T N N N N N N N N
Eckenzahl 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375
Konstruierbar T N N N N N T N N T N N N T T N N N N T N N N N N
Eckenzahl 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400
Konstruierbar N N T N T N N N J N T N T N T N N N N N N N N T N
Eckenzahl 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425
Konstruierbar N N N N T N N J N N N N N N N T N N N T N N N N N
Eckenzahl 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450
Konstruierbar N N N N N N T T N N T N T N N N T N T N N N T N N
Eckenzahl 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475
Konstruierbar N N N N T T N N T N N N N N N N N T N N N N N N N
Eckenzahl 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500
Konstruierbar T N N N J T N N N T T T N T N N N N T N N N N N N
Eckenzahl 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525
Konstruierbar N N N T N N N N N J T J T J N N N T N T N N N N N
Eckenzahl 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550
Konstruierbar N N N N N N T N N N N N N N T N N N J T T N N N N
Eckenzahl 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575
Konstruierbar N N N N T N N N N T N N N N N N T N N T N N N N N
Eckenzahl 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600
Konstruierbar T T N T N N T N T T N N N N N N T N N T N N N N N
Eckenzahl 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625
Konstruierbar N N N N N N N T N N N T N N N N N N N N N N N T N
Eckenzahl 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650
Konstruierbar N N N T T N N N N N N N N N J N N N N N T N T N N
Eckenzahl 651 652 653 654 655 656 657 658 659 660 661 662 663 664 665 666 667 668 669 670 671 672 673 674 675
Konstruierbar N T N T N N T N N N N N T N T T N N N N N T N N N
Eckenzahl 676 677 678 679 680 681 682 683 684 685 686 687 688 689 690 691 692 693 694 695 696 697 698 699 700
Konstruierbar N N N T J N N N T N N N N N N N N N N N N N N N N
Eckenzahl 701 702 703 704 705 706 707 708 709 710 711 712 713 714 715 716 717 718 719 720 721 722 723 724 725
Konstruierbar N T T N N N N N N N N N N T N N N N N T N N N N N
Eckenzahl 726 727 728 729 730 731 732 733 734 735 736 737 738 739 740 741 742 743 744 745 746 747 748 749 750
Konstruierbar N N T T T N N N N N N N N N T T N N N N N N N N N
Eckenzahl 751 752 753 754 755 756 757 758 759 760 761 762 763 764 765 766 767 768 769 770 771 772 773 774 775
Konstruierbar N N N N N T N N N T N N T N T N N J T N J T N N N
Eckenzahl 776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786 787 788 789 790 791 792 793 794 795 796 797 798 799 800
Konstruierbar T T N N T N N N N N N N N N N N N N N N N N T N N
Eckenzahl 801 802 803 804 805 806 807 808 809 810 811 812 813 814 815 816 817 818 819 820 821 822 823 824 825
Konstruierbar N N N N N N N N N T N N N N T J N N T N N N N N N
Eckenzahl 826 827 828 829 830 831 832 833 834 835 836 837 838 839 840 841 842 843 844 845 846 847 848 849 850
Konstruierbar N N N N N N T N N N N N N N T N N N N N N N N N N
Eckenzahl 851 852 853 854 855 856 857 858 859 860 861 862 863 864 865 866 867 868 869 870 871 872 873 874 875
Konstruierbar N N N N T N N N N N N N N T N T N N N N N T T N N
Eckenzahl 876 877 878 879 880 881 882 883 884 885 886 887 888 889 890 891 892 893 894 895 896 897 898 899 900
Konstruierbar T N N N N N N N T N N N T N N N N N N N T N N N N
Eckenzahl 901 902 903 904 905 906 907 908 909 910 911 912 913 914 915 916 917 918 919 920 921 922 923 924 925
Konstruierbar N N N N N N N N N T N T N N N N N T N N N N N N N
Eckenzahl 926 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 941 942 943 944 945 946 947 948 949 950
Konstruierbar N N N N N N N N N N T N N N N N N N N T N N N T N
Eckenzahl 951 952 953 954 955 956 957 958 959 960 961 962 963 964 965 966 967 968 969 970 971 972 973 974 975
Konstruierbar N T N N N N N N N J N T N N T N N N T T N T N T N
Eckenzahl 976 977 978 979 980 981 982 983 984 985 986 987 988 989 990 991 992 993 994 995 996 997 998 999 1000
Konstruierbar N N T N N T N N N N N N T N N N N N N N N N N T N

Eckenzahlen konstruierbarer Polygone findet man auch in der Folge A003401 in OEIS, Eckenzahlen nicht klassisch konstruierbarer Polygone in der Folge A004169 in OEIS.

GaloistheorieBearbeiten

Durch Entwicklung der Galoistheorie gelangte man zu einer tieferen Einsicht in das Problem. Die Menge der konstruierbaren Zahlen bildet nämlich einen Körper, in dem zusätzlich auch aus positiven Zahlen die Quadratwurzel gezogen werden kann. Insbesondere entspricht das Schneiden von Geraden dem Lösen einer linearen Gleichung und das Schneiden einer Geraden mit einem Kreis oder das Schneiden zweier Kreise dem Lösen einer quadratischen Gleichung. In der Sprache der Körpererweiterungen ist das folgende Tatsache:

Ist   eine konstruierbare Zahl, so gibt es einen Körperturm  , so dass   und   für ein  .

Umgekehrt ist natürlich auch jede Zahl aus   konstruierbar. Ist also   konstruierbar, so ist   algebraisch und es ist   eine Potenz von 2.

Zur Klärung der Konstruktion von regelmäßigen  -Ecken mit   betrachtet man Kreisteilungskörper   als Körpererweiterung über  , wobei   die  -te Einheitswurzel bezeichnet. Die  -ten Einheitswurzeln sind die auf dem Einheitskreis liegenden Ecken eines regelmäßigen  -Ecks. Es genügt die reelle Zahl   zu konstruieren.

Sind zum Beispiel   und   teilerfremd, so ist  . Sind dann das  - und das  -Eck konstruierbar, so ist auch das  -Eck konstruierbar.

Um nun obige Argumente anwenden zu können, müssen einige Körpererweiterungsgrade bestimmt werden. Da die Kreisteilungspolynome irreduzibel sind, ist  . Wegen   ist  , also ist  , und damit  .

Im regelmäßigen  -Eck beträgt der Zentriwinkel  . Ist somit das regelmäßige  -Eck konstruierbar, so auch eine Strecke der Länge  . Wegen   ist dann auch diese Zahl konstruierbar, also muss   eine Potenz von 2 sein. Damit ist dann  .

Ist umgekehrt  , so ist   eine endliche abelsche Gruppe der Ordnung  . Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen existiert dann eine Kette   von sukzessiven Normalteilern   mit  . Mit dem Hauptsatz der Galoistheorie erhält man daraus dann als Fixkörper von   einen Körperturm   mit  , mithin ist   für  , und somit ist   und damit auch das regelmäßige  -Eck konstruierbar.

Sei beispielsweise  . Dann ist   eine Potenz von 2 und  , da 2 eine Primitivwurzel modulo 5 ist. Eine mögliche Kette von Normalteilern ist  . Der dazugehörige Körperturm ist  . Es ist  , da es normiert ist und   annulliert und mit Reduktion modulo 2 irreduzibel ist. Nach Lösen der Gleichung   ergibt sich  . Nun könnte man bereits die erste Ecke konstruieren, indem man den Punkt mit Abstand   vom Mittelpunkt auf einer Achse aus konstruiert und dann das Lot durch diesen Punkt fällt. Durch Lösen von   ergibt sich  . Durch diesen algebraischen Ausdruck lässt sich alternativ die erste Ecke konstruieren, indem man eine reelle und eine imaginäre Achse einzeichnet und mit deren Hilfe den Punkt   konstruiert.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Edmund Weitz: Das regelmäßige 17-Eck. In: YouTube. 2017, abgerufen am 27. August 2020.
  2. Folge A045544 in OEIS
  3. Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194 (Seite 186, Fig. 1. Construction of a regular heptagon (Siebeneck). PDF sowie Seite 193, Fig. 4. Construction of a regular triskaidecagon (Dreizehneck). PDF (Memento vom 19. Dezember 2015 im Internet Archive)). Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon (Memento des Originals vom 2. Februar 2016 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/apollonius.math.nthu.edu.tw Original aus dem Archiv regeneriert am 31. Januar 2016

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten