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Der Kehrwert (auch der reziproke Wert oder das Reziproke) einer von verschiedenen Zahl ist in der Arithmetik diejenige Zahl, die mit multipliziert die Zahl ergibt; er wird als oder notiert.

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EigenschaftenBearbeiten

 
Der Graph der Kehrwertfunktion ist eine Hyperbel.

Je näher eine Zahl bei   liegt, desto weiter ist ihr Kehrwert von   entfernt. Die Zahl   selbst hat keinen Kehrwert und ist auch kein Kehrwert. Die durch   beschriebene Kehrwertfunktion (siehe Abbildung) hat dort eine Polstelle. Der Kehrwert einer positiven Zahl ist positiv, der Kehrwert einer negativen Zahl ist negativ. Dies findet seinen geometrischen Ausdruck darin, dass der Graph in zwei Hyperbeläste zerfällt, die im ersten bzw. dritten Quadranten liegen. Die Kehrwertfunktion ist eine Involution, d. h. der Kehrwert des Kehrwerts von   ist wieder   Ist eine Größe   umgekehrt proportional zu einer Größe   dann ist sie proportional zum Kehrwert von  

Den Kehrbruch eines Bruches, also den Kehrwert eines Quotienten   mit   erhält man, indem man Zähler und Nenner miteinander vertauscht:

 

Daraus folgt die Rechenregel für das Dividieren durch einen Bruch: Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. Siehe auch Bruchrechnung.

Den Kehrwert   einer natürlichen Zahl   nennt man einen Stammbruch.

Auch zu jeder von   verschiedenen komplexen Zahl   mit reellen Zahlen   gibt es einen Kehrwert   Mit dem Absolutbetrag   von   und der zu   konjugiert komplexen Zahl   gilt:

 

BeispieleBearbeiten

  • Der Kehrwert von 1 ist wiederum 1.
  • Der Kehrwert von 0,001 ist 1000.
  • Der Kehrwert von   ist  
  • Der Kehrwert des Bruches   ist  
  • Der Kehrwert der komplexen Zahl   ist  .

VerallgemeinerungBearbeiten

Eine Verallgemeinerung des Kehrwerts ist das multiplikativ Inverse   zu einer Einheit   eines unitären Ringes. Es ist ebenfalls durch die Eigenschaft   definiert, wobei   das Einselement des Ringes bezeichnet.

Wenn es sich z. B. um einen Ring von Matrizen handelt, so ist das Einselement nicht die Zahl   sondern die Einheitsmatrix. Matrizen, zu denen keine inverse Matrix existiert, heißen singulär.

Verwandte ThemenBearbeiten

LiteraturBearbeiten

Hintergrundwissen für Lehramtsstudenten zur Arithmetik:

  • Friedhelm Padberg: Didaktik der Arithmetik. Für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung. 3. erweiterte völlig überarbeitete Auflage, Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München 2009, ISBN 978-3-8274-0993-5.