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Hyperbel (Mathematik)

spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht
Die Hyperbel ist einer der Kegelschnitte.
Hyperbel in der Architektur: Kathedrale von Brasilia

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. Sie zählt neben dem Kreis, der Parabel und der Ellipse zu den Kegelschnitten, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Kreiskegel entstehen (s. Bild).

Wie Ellipse und Parabel lassen sich Hyperbeln als Ortskurven in der Ebene definieren (s. Abschnitt Definition).

Die Hyperbel wurde von Menaichmos entdeckt. Die von Apollonios von Perge eingeführte Bezeichnung kommt aus dem Griechischen und bezieht sich auf die Übertreibung (ὑπερβολή hyperbolé, von altgriechisch βάλλειν bállein, deutsch ‚werfen‘, ὑπερβάλλειν hyperballein, deutsch ‚über das Ziel hinaus werfen‘) des Schnittwinkels (oder der numerischen Exzentrizität , s. unten) beim Kegelschnitt: Mit steigendem Schnittwinkel verwandelt sich der Kreis () erst zu immer länglicheren Ellipsen und dann über die Parabel ( und die schneidende Ebene ist parallel zu einer Tangentialebene des Kegels) zu Hyperbeln mit .[1]

Definition einer Hyperbel als OrtskurveBearbeiten

 
Hyperbel: Definition und Asymptoten

Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte   der Zeichenebene  , für die der Betrag der Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den sogenannten Brennpunkten   und  , konstant gleich   ist:

 

Der Mittelpunkt   der Brennpunkte heißt Mittelpunkt der Hyperbel. Die Verbindungsgerade der Brennpunkte ist die Hauptachse der Hyperbel. Auf der Hauptachse liegen die beiden Scheitel   im Abstand   vom Mittelpunkt. Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität und wird üblicherweise mit   bezeichnet. Die in der Einleitung erwähnte dimensionslose numerische Exzentrizität   ist  .

Dass der Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die steiler ist als die Mantellinien des Kegels und die Kegelspitze nicht enthält, eine Hyperbel ist, zeigt man, indem man die obige definierende Eigenschaft mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweist (s. Abschnitt Hyperbel als Kegelschnitt).

 
Hyperbel: Definition mit Leitkreis

Bemerkung:
Die Gleichung   lässt sich auch so interpretieren: Ist   der Kreis um   mit Radius  , so hat   vom Kreis   denselben Abstand wie vom Brennpunkt  :   Man nennt   den zu   gehörigen Leitkreis der Hyperbel. Er erzeugt den rechten Ast

 

der Hyperbel. Den linken Ast   erhält man analog mit dem zum Brennpunkt   gehörigen Leitkreis  .
Die Erzeugung einer Hyperbel mit Leitkreisen sollte man nicht verwechseln mit der Erzeugung einer Hyperbel mit Leitlinien (siehe unten).

Aufgrund der Leitkreis-Eigenschaft ist ein Ast einer Hyperbel die Äquidistanz-Kurve zu einem ihrer Brennpunkte und dem Leitkreis mit dem anderen Brennpunkt als Mittelpunkt.

Hyperbel in 1. HauptlageBearbeiten

GleichungBearbeiten

Die Gleichung der Hyperbel erhält eine besonders einfache Form, wenn sie in 1. Hauptlage liegt, das heißt, dass die beiden Brennpunkte auf der  -Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1. Hauptlage haben also die Brennpunkte die Koordinaten   und   (mit e = lineare Exzentrizität), und die Scheitel haben die Koordinaten   und  .

Für einen beliebigen Punkt   in der Ebene ist der Abstand zum Brennpunkt   gleich   und zum anderen Brennpunkt  . Der Punkt   liegt also genau dann auf der Hyperbel, wenn die Differenz dieser beiden Ausdrücke gleich   oder gleich   ist.

Durch algebraische Umformungen und mit der Abkürzung   kann man zeigen, dass die Gleichung

 

zur Gleichung

 

äquivalent ist. Letztere Gleichung nennt man die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage.

ScheitelBearbeiten

Eine Hyperbel besitzt nur zwei Scheitel:   und  . Im Gegensatz zur Ellipse sind hier   und   keine Kurvenpunkte. Letztere werden deswegen auch imaginäre Nebenscheitel genannt. Die Gerade durch die Nebenscheitel heißt Nebenachse. Die Hyperbel liegt symmetrisch zur Haupt- und Nebenachse.

AsymptotenBearbeiten

 
Hyperbel: Halbachsen a,b, lin. Exzentrizität e, Halbparameter p

Löst man die Hyperbelgleichung nach   auf, so erhält man

 

Hier erkennt man, dass sich die Hyperbel für betragsmäßig große   an die Geraden

 

beliebig dicht annähert. Diese Geraden gehen durch den Mittelpunkt und heißen die Asymptoten der Hyperbel  

Halbparameter pBearbeiten

Die halbe Länge einer Hyperbelsehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch Quermaß oder nur Parameter)   der Hyperbel. Er lässt sich berechnen durch

 

Weitere Bedeutung von  :

  ist der Scheitelkrümmungskreisradius,

d. h.,   ist der Radius desjenigen Kreises durch einen Scheitel, der sich an die Hyperbel im Scheitel am besten anschmiegt. (Siehe unten: Formelsammlung/Scheitelgleichung.)

TangenteBearbeiten

Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt   findet man am einfachsten durch implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung  :

 

Unter Berücksichtigung von   ergibt sich:

 

Gleichseitige HyperbelBearbeiten

Eine Hyperbel, für die   gilt, heißt gleichseitige Hyperbel. Ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander. Die lineare Exzentrizität ist  , die numerische Exzentrizität   und der Halbparameter ist  .

Parameterdarstellung mit HyperbelfunktionenBearbeiten

Mit den Hyperbelfunktionen   ergibt sich eine (zur Ellipse analoge) Parameterdarstellung der Hyperbel  :

 

Hyperbel in 2. HauptlageBearbeiten

Vertauscht man   und  , so erhält man Hyperbeln in 2. Hauptlage:

 

Hyperbel mit einer Gleichung y=A/xBearbeiten

 
Drehung des Koordinatensystems zur Beschreibung einer gleichseitigen Hyperbel als Graph einer Funktion
 
3 gleichseitige Hyperbeln   mit den Koordinatenachsen als Asymptoten
rot: A=1, magenta: A=2; blau: A=3

Dreht man das x-y-Koordinatensystem um den Winkel   und nennt die neuen Koordinaten  , so ist  .
Die gleichseitige Hyperbel   (die Halbachsen sind gleich lang!) hat in den neuen Koordinaten die Gleichung  . Löst man diese Gleichung nach   auf, erhält man  

Also ist (in einem x-y-Koordinatensystem) der Graph der Funktion   mit der Gleichung

  •   eine gleichseitige Hyperbel mit
  • den Koordinatenachsen als Asymptoten,
  • der Gerade   als Hauptachse,
  • dem Mittelpunkt   und den Halbachsen  
  • den Scheiteln  
  • dem Halbparameter und Scheitelkrümmungskreisradius  
  • der linearen Exzentrizität   und der numerischen Exzentrizität  
  • der Tangente   im Punkt  

Dreht man die ursprüngliche Hyperbel um   (dies entspricht einer Drehung des Koordinatensystems um  ), so erhält man eine gleichseitige Hyperbel mit der Gleichung

  •   mit
  • den Halbachsen  
  • der Gerade   als Hauptachse,
  • den Scheiteln  

Verschiebt man die Hyperbel mit der Gleichung   so, dass der Punkt   der Mittelpunkt der verschobenen Hyperbel ist, so hat die verschobene Hyperbel die Gleichung

  •  

Die verschobene Hyperbel hat die Asymptoten   und  .
Die Parameter   ändern sich bei einer Verschiebung nicht.

Hyperbel als KegelschnittBearbeiten

 
Hyperbel (rot): Auf- und Seitenriss eines Kegels mit Dandelinschen Kugeln d1, d2

Schneidet man einen senkrechten Kreiskegel mit einer Ebene  , deren Neigung größer als die Neigung der Mantellinien des Kegels ist und die nicht durch die Kegelspitze geht, so ergibt sich eine Hyperbel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. der Brennpunkte (s. oben) führt man mit Hilfe zweier Dandelinscher Kugeln  , das sind Kugeln, die den Kegel in Kreisen   bzw.   und die Hyperbelebene in Punkten   bzw.   berühren. Es stellt sich heraus, dass   die Brennpunkte der Schnitthyperbel sind.

  1.   sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve.
  2. Die Mantellinie durch   schneidet den Kreis   in einem Punkt   und den Kreis   in einem Punkt  .
  3. Die Strecken   und   sind tangential zur Kugel   und damit gleich lang.
  4. Die Strecken   und   sind tangential zur Kugel   und damit auch gleich lang.
  5. Also ist   und damit unabhängig vom Hyperbelpunkt  .

Tangente als WinkelhalbierendeBearbeiten

 
Hyperbel: Tangente als Winkelhalbierende der Brennstrahlen

Für eine Hyperbel gilt:

  • Die Tangente in einem Punkt   ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen  

Daraus folgt: Ein Lichtstrahl, der von einem Brennpunkt ausgeht, wird demnach an der Hyperbeltangente so reflektiert, dass er vom anderen Brennpunkt auszugehen scheint.

Beweis

Zum Beweis verwendet man den Hilfspunkt   auf dem Brennstrahl  , der von   den Abstand   hat (s. Bild,   ist die Halbachse der Hyperbel). Die Gerade   ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen. Um nachzuweisen, dass   die Tangente im Punkt   ist, zeigt man, dass jeder von   verschiedene Punkt   von   nicht auf der Hyperbel liegen kann. Also kann   die Hyperbel nur im Punkt   schneiden und ist damit die Tangente in  . Aus der Zeichnung ist ersichtlich (Dreiecksungleichung), dass   ist, d. h., es ist  . Wenn   ein Hyperbelpunkt wäre, müsste die Differenz gleich   sein.

Da eine Winkelhalbierende leicht zu zeichnen ist, bietet diese Eigenschaft eine einfache Möglichkeit die Tangente in einem Hyperbelpunkt zu konstruieren. Falls statt der zwei Brennpunkte die zwei Asymptoten bekannt sind, kann man die im Abschnitt Tangentenkonstruktion beschriebene Methode verwenden.

Leitlinien-EigenschaftBearbeiten

 
Hyperbel: Leitlinien-Eigenschaft

Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand  . Für einen beliebigen Punkt   der Hyperbel ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Leitlinie gleich der numerischen Exzentrizität:

  •  

Zum Beweis zeigt man, dass für   und   die Gleichung

 

erfüllt ist.

Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Leitlinie) sowie eine reelle Zahl   mit   vorgeben und eine Hyperbel definieren als

  • Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich   ist.

Wählt man  , so erhält man eine Parabel. Für   ergibt sich eine Ellipse.

Zum Beweis geht man von   und der Vorgabe, dass   ein Kurvenpunkt ist, aus. Die Leitlinie   wird dann durch die Gleichung   beschrieben. Für   folgt aus  

  und hieraus  

Mit der Abkürzung   erhält man

 

Dies ist die Scheitelgleichung einer Ellipse ( ), einer Parabel ( ) oder einer Hyperbel ( ). Siehe Abschnitt Formelsammlung.

Führt man im Fall   neue Konstanten   so ein, dass   ist, so geht die Scheitelgleichung in

 

über. Dies ist die Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt  ,  -Achse als Hauptachse und Halbachsen  .

Fadenkonstruktion einer HyperbelBearbeiten

 
Hyperbel: Fadenkonstruktion

Die Definition einer Hyperbel mit Hilfe eines Leitkreises (s. o.) bietet eine einfache Möglichkeit mit Hilfe eines Fadens und einem Lineal einen Hyperbelbogen zu zeichnen:[2]

(0) Wahl der Brennpunkte   und des Abstandes   der Scheitel; der Radius des Leitkreises ist auch  
(1) Das Lineal wird mit einem Ende im linken Brennpunkt drehbar befestigt und der Punkt   im Abstand   an der Kante markiert
(2) Faden (blau) der Länge  
(3) Befestigung des einen Fadenendes im Punkt   des Lineals, das andere Ende im Brennpunkt  
(4) Mit einem Stift den Faden so spannen, dass er an der Linealkante   anliegt
(5) Durch Drehen des Lineals um den Punkt   überstreicht der Stift einen Hyperbelbogen, denn es ist   (Leitkreiseigenschaft).

Steiner-Erzeugung einer HyperbelBearbeiten

 
Hyperbel: Steiner-Erzeugung
 
Hyperbel y=1/x: Steiner-Erzeugung

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Hyperbel zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten   (alle Geraden durch den Punkt   bzw.  ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung   des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.[3][4]

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Hyperbel   gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln   aus. Seien nun   ein Punkt der Hyperbel und  . Wir unterteilen die Rechteckseite   in n gleiche Stücke und übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen   auf die Strecke   (s. Bild). Die benutzte Parallelprojektion vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in   und  . Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden   und   liegen dann auf der durch die Vorgaben eindeutig bestimmten Hyperbel.

Bemerkung: Die Unterteilungen lassen sich jenseits der Punkte   bzw.   fortsetzen, um weitere Punkte zu konstruieren. Da aber dann schleifende Schnitte und eine sehr ungleiche Punkteverteilung auftreten, ist es besser, die Konstruktion der obigen Punkte symmetrisch auf die anderen Hyperbelteile zu übertragen (s. Animation).

Bemerkung:

  1. Auch für Ellipsen und Parabeln gibt es die Steiner-Erzeugung. Im Parabelfall lässt sich die Behauptung leicht nachrechnen.
  2. Die Steiner-Erzeugung wird auch Parallelogramm-Methode genannt, da man statt der Scheitel auch andere Hyperbelpunkte auf einem Hyperbeldurchmesser verwenden kann. Dann tritt ein Parallelogramm statt eines Rechtecks auf.

Hyperbel als affines Bild der EinheitshyperbelBearbeiten

 
Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel

Eine andere Definition der Hyperbel benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel   definiert. Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form  , wobei   eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und   ein beliebiger Vektor ist. Sind   die Spaltenvektoren der Matrix  , so wird die Einheitshyperbel   auf die Hyperbel

 

abgebildet.   ist der Mittelpunkt,   ein Punkt der Hyperbel und   Tangentenvektor in diesem Punkt.   stehen i. a. nicht senkrecht aufeinander. D. h.   sind i. A. nicht die Scheitel der Hyperbel. Aber   sind die Richtungsvektoren der Asymptoten. Diese Definition einer Hyperbel liefert eine einfache Parameterdarstellung einer beliebigen Hyperbel.

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Hyperbelpunkt

 

ist, ergibt sich der Parameter   eines Scheitels aus der Gleichung

 

und damit aus

 

zu

 

Es wurden die Formeln   benutzt.

Falls   ist, ist   und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform.

Die zwei Scheitel der Hyperbel sind  

Aus

 

und den Additionstheoremen für die Hyperbelfunktionen ergibt sich die Scheitelform der Parameterdarstellung der Hyperbel:

 

Beispiele:

 
Hyperbel als Graph der Funktion y=1/x (Beispiel 3)
 
Hyperbel: Transformation auf Scheitelform (Beispiel 5)
  1.   liefert die übliche Parameterdarstellung der Hyperbel mit der Gleichung  
  2.   liefert die Parameterdarstellung der Hyperbel, die aus der Hyperbel   durch Drehung um den Winkel   und anschließende Verschiebung um   hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D. h.,   sind die Scheitel der Hyperbel.
  3.   liefert die Hyperbel mit der Gleichung   Beim Nachweis von   verwende man  
  4. Bildet man die Hyperbel   mit affinen Abbildungen der Form   ab, so erhält man die Schar   aller Hyperbeln mit achsenparallelen Asymptoten. Der Mittelpunkt solch einer Hyperbel ist   Die Besonderheit dieser Hyperbelschar ist, dass sie sich als Funktionsgraphen darstellen lassen.
  5. Die Parameterdarstellung
  einer Hyperbel ist nicht in Scheitelform.
Der Scheitelparameter ergibt sich aus   zu  
Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:
 
Die Scheitel sind   und
die Halbachsen  

Bemerkung: Sind die Vektoren   aus dem  , so erhält man eine Parameterdarstellung einer Hyperbel im Raum.

Hyperbel als affines Bild der Hyperbel y=1/xBearbeiten

Da die Einheitshyperbel   zur Hyperbel   äquivalent ist (s. o.), kann man eine beliebige Hyperbel auch als affines Bild der Hyperbel   auffassen:

 

  ist der Mittelpunkt der Hyperbel,   zeigen in Richtung der Asymptoten und   ist ein Punkt der Hyperbel.

Für den Tangentenvektor ergibt sich

 

In einem Scheitel steht die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht, d. h., es ist

 

Also ist der Scheitelparameter

 

Für   ist   und   sind die Scheitel der Hyperbel.

TangentenkonstruktionBearbeiten

 
Tangenten-Konstruktion: Asymptoten und P gegeben → Tangente

Der Tangentenvektor kann durch Ausklammern von   so geschrieben werden:

 

D. h., in dem Parallelogramm   ist die Diagonale   parallel zur Tangente im Hyperbelpunkt   (s. Bild). Diese Eigenschaft bietet eine einfache Möglichkeit, die Tangente in einem Hyperbelpunkt zu konstruieren.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 3-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.[5]

PunktkonstruktionBearbeiten

 
Punkt-Konstruktion: Asymptoten und P1 gegeben → P2

Eine weitere Eigenschaft einer Hyperbel erlaubt die Konstruktion von Hyperbelpunkten, falls die Asymptoten und ein Punkt der Hyperbel bekannt sind:

Für eine Hyperbel mit der Parameterdarstellung   (der Mittelpunkt wurde der Einfachheit halber als Nullpunkt angenommen) gilt:

Sind   zwei Hyperbelpunkte, so liegen die Punkte

 

auf einer Geraden durch den Mittelpunkt (s. Bild). Der einfache Beweis ergibt sich aus  .

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 4-Punkte-Ausartung des Satzes von Pascal.[6]

Tangenten-Asymptoten-DreieckBearbeiten

 
Hyperbel: Tangenten-Asymptoten-Dreieck

Für die folgenden Überlegungen, nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Mittelpunkt sich im Nullpunkt (0,0) befindet und dass die Vektoren   die gleiche Länge haben. Falls Letzteres nicht der Fall sein sollte, wird die Parameterdarstellung zuerst in Scheitelform gebracht (s. o.). Dies hat zur Folge, dass   die Scheitel und   die Nebenscheitel sind. Also ist   und  .

Berechnet man die Schnittpunkte der Tangente in dem Hyperbelpunkt   mit den Asymptoten, so erhält man die beiden Punkte

 

Der Flächeninhalt des Dreiecks   lässt sich mit Hilfe einer 2×2-Determinante ausdrücken:

 

S. Rechenregeln für Determinanten.   ist der Flächeninhalt der von   aufgespannten Raute. Der Flächeninhalt einer Raute ist gleich der Hälfte des Diagonalenproduktes. Die Diagonalen dieser Raute sind die Halbachsen  . Also gilt:

Der Flächeninhalt des Dreiecks   ist unabhängig vom Hyperbelpunkt  

Affine Selbstabbildungen der Hyperbel y=1/xBearbeiten

Nicht jede affine Abbildung der reellen affinen Ebene (s. vorigen Abschnitt) bildet die Hyperbel   auf eine andere Hyperbel ab. Die folgenden affinen Abbildungen lassen die Hyperbel   als Ganzes invariant:

  •  
  •  

Spezialfälle:

  1. Für   bleibt jeder Punkt der Ebene fest. Diese Abbildung heißt Identität.
  2. Für   wird jeder Punkt der Hyperbel bewegt, d. h., es gibt keinen Fixpunkt auf der Hyperbel.
  3. Für   ist die Abbildung die Punktspiegelung am Nullpunkt.
  4. Für   ist die Abbildung die „normale“ Spiegelung an der Geraden  .
  5. Für   ist die Abbildung die Schrägspiegelung an der Gerade   in Richtung der Geraden  . (Siehe Abschnitt Mittelpunkte paralleler Sehnen.)

Mittelpunkte paralleler SehnenBearbeiten

 
Hyperbel: Die Mittelpunkte paralleler Sehnen liegen auf einer Geraden.
 
Hyperbel: Der Mittelpunkt einer Sehne halbiert auch die Sehne der Asymptoten.

Für jede Hyperbel gilt:

  • Die Mittelpunkte paralleler Sehnen (s. Bild) liegen auf einer Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel.

D. h., zu jedem Punktepaar   einer Sehne   gibt es eine Schrägspiegelung an einer Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel, die die Punkte   vertauscht und die Hyperbel auf sich abbildet. Dabei versteht man unter einer Schrägspiegelung eine Verallgemeinerung einer gewöhnlichen Spiegelung an einer Geraden  , bei der alle Strecken Punkt–Bildpunkt zwar zueinander parallel, aber nicht unbedingt senkrecht zur Spiegelachse   sind.

Den Nachweis dieser Eigenschaft führt man am einfachsten an der Hyperbel   durch. Da alle Hyperbeln affine Bilder der Einheitshyperbel und damit auch von der Hyperbel   sind und bei einer affinen Abbildung Mittelpunkte von Strecken in die Mittelpunkte der Bildstrecken übergehen, gilt die obige Eigenschaft für alle Hyperbeln.

Bemerkung: Die Punkte der Sehne   dürfen auch auf verschiedenen Ästen der Hyperbel liegen.

Eine Folgerung dieser Symmetrie ist: Die Asymptoten der Hyperbel werden bei der Schrägspiegelung vertauscht und der Mittelpunkt   einer Hyperbelsehne   halbiert auch die zugehörige Strecke   zwischen den Asymptoten, d. h., es gilt  . Diese Eigenschaft kann man benutzen, um bei bekannten Asymptoten und einem Punkt   beliebig viele weitere Hyperbelpunkte   zu konstruieren, indem man die jeweilige Strecke   zur Konstruktion von   verwendet.

Entartet die Sehne   zu einer Tangente, so halbiert der Berührpunkt den Abschnitt zwischen den Asymptoten.

Pol-Polare-BeziehungBearbeiten

 
Hyperbel: Pol-Polare-Beziehung

Eine Hyperbel lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem immer durch eine Gleichung der Form   beschreiben. Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt   ist   Lässt man in dieser Gleichung zu, dass   ein beliebiger vom Nullpunkt verschiedener Punkt der Ebene ist, so wird dem Punkt   die Gerade   zugeordnet. Diese Gerade geht nicht durch den Mittelpunkt der Hyperbel.

Umgekehrt kann man

der Geraden   den Punkt   bzw.
der Geraden   den Punkt  

zuordnen. Solch eine Zuordnung Punkt ↔ Gerade nennt man eine Polarität oder Pol-Polare-Beziehung. Der Pol ist der Punkt, die Polare ist die zugehörige Gerade.

Die Bedeutung dieser Pol-Polare-Beziehung besteht darin, dass die möglichen Schnittpunkte der Polare eines Punktes mit der Hyperbel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Hyperbel sind.

  • Liegt der Punkt (Pol) auf der Hyperbel, so ist seine Polare die Tangente in diesem Punkt (s. Bild:  ).
  • Liegt der Pol außerhalb der Hyperbel, so sind die Schnittpunkte der Polare mit der Hyperbel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Hyperbel (s. Bild:  ).
  • Liegt der Punkt innerhalb der Hyperbel, so hat seine Polare keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel (s. Bild:  ).

Zum Beweis: Die Bestimmung der Schnittpunkte der Polare eines Punktes   mit der Hyperbel   und die Suche nach Hyperbelpunkten, deren Tangenten den Punkt   enthalten, führen auf dasselbe Gleichungssystem.

Bemerkungen:

  1. Der Schnittpunkt zweier Polaren (z. B. im Bild:  ) ist der Pol der Verbindungsgeraden der zugehörigen Pole (hier:  ).
  2. Der Brennpunkt   bzw.   und die Leitlinie   bzw.   sind zueinander polar.
  3. Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel haben keine Pole. Man sagt: „Ihre Pole liegen auf der Ferngeraden.“
  4. Der Mittelpunkt der Hyperbel hat keine Polare, „sie ist die Ferngerade“.
  5. Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Ellipsen und Parabeln. Siehe auch projektiver Kegelschnitt.

Orthogonale TangentenBearbeiten

 
Hyperbel mit orthoptischer Kurve (lila)

Für eine Hyperbel   liegen die Schnittpunkte orthogonaler Tangenten auf dem Kreis  . (Im Fall   gibt es keine orthogonalen Tangenten.)

Diesen Kreis nennt man die orthoptische Kurve der gegebenen Hyperbel.

Hyperbeln der Form y=a/(x−b)+cBearbeiten

Peripheriewinkelsatz für HyperbelnBearbeiten

Hyperbeln der Form   sind Funktionsgraphen, die durch die drei Parameter   eindeutig bestimmt sind. Man benötigt also drei Punkte, um diese Parameter zu ermitteln. Eine schnelle Methode beruht auf dem Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln.

 
Hyperbel: Peripheriewinkelsatz

Um einen Winkel zwischen zwei Sehnen zu messen, führen wir für zwei Geraden, die weder zur  - noch zur  -Achse parallel sind, ein Winkelmaß ein:

Für zwei Geraden   messen wir den zu gehörigen Winkel mit der Zahl  .

Zwei Geraden sind parallel, wenn   und damit das Winkelmass gleich 1 ist.

Analog zum Peripheriewinkelsatz für Kreise gilt hier der

Peripheriewinkelsatz (für Hyperbeln):

Für vier Punkte   (s. Bild) gilt:
Die vier Punkte liegen nur dann auf einer Hyperbel der Form  , wenn die Winkel bei   und   im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h., wenn:
 

(Beweis durch Nachrechnen. Dabei kann man für die eine Richtung voraussetzen, dass die Punkte auf einer Hyperbel y=a/x liegen.)

3-Punkte-Form einer HyperbelBearbeiten

Analog zur 2-Punkte-Form einer Geraden (Steigungswinkel werden mit der Steigung gemessen) folgt aus dem Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln die

3-Punkte-Form (für Hyperbeln):

Die Gleichung der Hyperbel durch drei Punkte   ergibt sich durch Auflösen der Gleichung
 
nach y.

FormelsammlungBearbeiten

HyperbelgleichungBearbeiten

Eine Hyperbel mit Mittelpunkt (0|0) und  -Achse als Hauptachse erfüllt die Gleichung

 

Die Asymptoten der zugehörigen Hyperbel sind die Geraden:

 

Brennpunkte sind:

 

Eine Hyperbel mit Mittelpunkt   und der Geraden   als Hauptachse erfüllt die Gleichung

 

Eine beliebige Hyperbel, deren Asymptoten die Geraden mit den Gleichungen   sind, besitzt eine Gleichung der Form

 

Z. B.: Sind die Asymptoten die Koordinatenachsen  , ergeben sich alle Hyperbeln mit einer Gleichung  .

ScheitelgleichungBearbeiten

 
Kegelschnitt-Schar

Die Schar der Hyperbeln, deren Achse die  -Achse, ein Scheitel der Punkt (0,0) und der Mittelpunkt (–a,0) ist, lässt sich durch die Gleichung

 

beschreiben.

Für Hyperbeln gilt  . Setzt man in dieser Gleichung

 , so erhält man einen Kreis,
für   eine Ellipse,
für   eine Parabel.

Die Kegelschnitte haben bei gleichem Halbparameter   alle denselben Krümmungskreisradius im Scheitel S:  

ParameterdarstellungenBearbeiten

für die Hyperbel mit der Gleichung  :

1:  

2:  

3:   (Darstellung mit rationalen Funktionen).

4: Tangentensteigung als Parameter:

Eine Parameterdarstellung, die die Tangentensteigung   in dem jeweiligen Hyperbelpunkt verwendet, erhält man analog zum Fall der Ellipse, indem man dort   durch   ersetzt und Formeln für die hyperbolischen Funktionen verwendet:

 

Hierbei ist   die obere und   die untere Hälfte der Hyperbel. Die Punkte mit senkrechten Tangenten (Scheitel  ) werden durch diese Parameterdarstellung nicht erfasst.

Die Gleichung der Tangente im Punkt   ist

 

Diese Gleichung ist ein wesentliches Hilfsmittel bei der Bestimmung der orthoptischen Kurve einer Hyperbel.

In PolarkoordinatenBearbeiten

 
Hyperbel: Polardarstellung, Pol = Mittelpunkt
 
Hyperbel: Polardarstellung, Pol = Brennpunkt

Man beachte

  1. im ersten Fall (Pol ist der Mittelpunkt der Hyperbel), dass der Radikand negativ werden kann. Für solche Winkel ergeben sich keine Hyperbelpunkte.
  2. Im zweiten Fall (Pol ist ein Brennpunkt der Hyperbel) liegen auf jedem Strahl, für den der Nenner nicht 0 ist, zwei Hyperbelpunkte (wegen  ). Für   ergeben sich die beiden Scheitel.

Winkel zur Hauptachse, Pol im Mittelpunkt (0,0):

 

Winkel zur Hauptachse, Pol in einem Brennpunkt (s. Kegelschnitt):

 

TangentengleichungBearbeiten

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als  -Achse, Berührpunkt  

 

Mittelpunkt  , Hauptachse parallel zur  -Achse, Berührpunkt  

 

KrümmungskreisradiusBearbeiten

Der Krümmungskreisradius der Hyperbel   in den beiden Scheiteln   ist

  (wie bei einer Ellipse in den Hauptscheiteln).

Hyperbel als TrisektrixBearbeiten

Bereits Pappos von Alexandria (4. Jhdt.) nutzte für seine Lösung des Problems Dreiteilung eines Winkels diese Eigenschaft der Hyperbel als zusätzliches Hilfsmittel.[7][8] Erwiesenermaßen gibt es bei Beschränkung auf die „euklidischen Werkzeuge“ Zirkel und Lineal keine Lösung.

Die im Folgenden beschriebene Methode ist weitgehend dem Aufsatz Zur Trisektion des Winkels von K. Matter (1902) entnommen.[9] In der darin gezeigten Konstruktion liegt der Winkelscheitel   im Gegensatz zu der nach Pappos,[7] nicht auf der Ordinate der Hyperbel. Nimmt man für unterschiedliche Winkelweiten stets die gleiche Sehnenlänge   so können mit nur einer konstruierten Hyperbel die Winkelweiten ab ca.   bis   bei genügenden Platzverhältnissen bereits ab nahe   gedrittelt werden. Die Bezeichnungen der Hyperbel wurden dem derzeit üblichen Stand angepasst.

 
Skizze zur Vorüberlegung

Als Vorüberlegung stellt man sich z. B. einen Winkel   als Teil eines Kreissektors vor, in dem der Punkt   den Kreisbogen   im Verhältnis   teilt. Ein darin eingezeichnetes Dreieck   mit der Sehne   erhält somit gemäß Kreiswinkelsatz am Scheitel   den Winkel   und am Scheitel   den Winkel   Ist der Scheitel   der Koordinatenursprung des kartesischen Koordinatensystems, gilt für den Punkt   die  -Koordinate (Strecke  )

(1)  

Elimination des  

Terme der Gleichung (1) umformen
(2)  
(3)   ist eine Doppelwinkelfunktion, deshalb gilt auch
(4)  
(2) einsetzen in (4)
(5)  
(5) und (3) gleichsetzen, quasi   eliminieren
(6)  
somit gilt für  
(7)  

schließlich bekommt man die Hyperbelgleichung

 

Daraus ergeben sich konstruktionsrelevante Merkmale, die auch ohne Verwendung des kartesischen Koordinatensystems gelten, d. h. eine bestimmte Richtung oder Position der Sehne   ist nicht erforderlich:

der Mittelpunkt liegt auf der Sehne  
die Halbachse  
die Exzentrizität  
der linke Hyperbelast verläuft durch den Scheitel   (im Weiteren mit Scheitel   bezeichnet).
 
Dreiteilung des Winkels mithilfe der Hyperbel, Animation

Die eigentliche Konstruktion beginnt mit dem Positionieren des Winkelscheitels   und dem Einzeichnen der beiden Winkelschenkel, die eine beliebige Winkelweite des Winkels   einschließen. Anschließend wird ein Kreisbogen um   mit frei wählbarem Radius gezogen; dabei ergeben sich an den Winkelschenkeln der erste Brennpunkt   und der zweite Scheitel   der späteren Hyperbel. Es folgt eine Gerade durch die Punkte   und   Die Strecke   ist quasi die Sehne   Nach dem Dritteln der Sehne   in   und   wird die Strecke   ab   auf die Gerade abgetragen, daraus ergeben sich für die gesuchte Hyperbel der zweite Brennpunkt   sowie die

Halbachse   und die
Exzentrizität  

Nun wird die Hyperbel mithilfe der Brennpunkte     des Scheitelpunktes   sowie z. B. mittels einer Dynamische-Geometrie-Software (DGS) oder einem mechanischen Hyperbelzirkel eingezeichnet.

Der rechte Hyperbelast schneidet in   den Kreisbogen   und liefert den   Abschließend bedarf es nur noch einer Halbgeraden ab   durch  

Hyperbeln als ebene Schnitte von QuadrikenBearbeiten

Folgende Flächen zweiter Ordnung (Quadriken) besitzen Hyperbeln als ebene Schnitte:

Hyperbel y=1/x über einem beliebigen ZahlkörperBearbeiten

Betrachtet man in einer affinen Ebene über einem beliebigen (kommutativen) Körper   die Punktmenge, die der Hyperbelgleichung   genügt, so bleiben viele Eigenschaften des reellen Falls, die mit „schneiden“, „verbinden“ und „parallel“ formuliert werden und deren Beweise nur Multiplikation/Division und Addition/Subtraktion verwenden, erhalten.[3] Z. B.:

  • Eine Gerade schneidet die Hyperbel   in höchstens zwei Punkten.
  • Durch jeden Hyperbelpunkt   gibt es außer den achsenparallelen Geraden   genau eine Gerade, die mit der Hyperbel nur den Punkt   gemeinsam hat, die Tangente:  . Eine Gerade ohne Schnittpunkt heißt Passante, eine mit zwei Schnittpunkten Sekante.

Unterschiede zum reellen Fall:

  1. Für   (rationale Zahlen) ist die Gerade   eine Passante, denn die Gleichung   hat in   keine Lösung.
  2. Für   (komplexe Zahlen) gibt es keine Passanten. Z. B.:   schneidet die Hyperbel in den Punkten  .
  3. Hat der Körper die Charakteristik 2 (d. h., es gilt 1 + 1 = 0), so gibt es unter den Geraden   keine Sekanten, da jede Gleichung   im Fall Charakteristik 2 höchstens eine Lösung hat (es gibt kein „ “). Die Tangente im Hyperbelpunkt   hat (bei Charakteristik 2) die Gleichung  . D. h., alle Tangenten gehen durch den Nullpunkt (0,0).

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Peter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: „gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Hrsg. von Gundolf Keil, Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb.), Eberhard Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, S. 24.
  2. Frans van Schooten: Mathematische Oeffeningen, Leyden, 1659, S. 327
  3. a b Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF; 180 kB). Kurzskript, TU Darmstadt, S. 12–16.
  4. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. B. G. Teubner, Leipzig 1867. 2. Teil, S. 96. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  5. Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF; 757 kB) S. 33.
  6. Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF; 757 kB) S. 32.
  7. a b Regina Bruischütz: 5. Winkeldreiteilung mit Hyperbeln (nach Pappus ca. 300 n. Chr.). In: Winkeldreiteilung - Konstruktion mit zusätzlichen Hilfsmitteln (Teil A). Universität Bayreuth, 26. Mai 1997, S. 3, abgerufen am 22. Juli 2019.
  8. Robert C. Yates: THE TRISECTION PROBLEM, 3. The Hyperbola. In: ERIC. National Council of Teachers of Mathematics, Inc., Washington, D.C., 1971, S. 32–33, abgerufen am 27. Juli 2019.
  9. K. Matter: Zur Trisektion des Winkels. In: e-perodica. ETH zürich, 1902, S. 20–23, abgerufen am 22. Juli 2019.
  10. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. (PDF; 3,4 MB) TU Darmstadt, S. 108.
  11. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. (PDF; 3,4 MB) TU Darmstadt, S. 118.
  12. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie. (PDF; 3,4 MB) TU Darmstadt, S. 123.