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Tangentialebene an eine Fläche

Die Tangentialebene in einem Punkt an eine Fläche im dreidimensionalen Raum ist diejenige Ebene, die die Fläche in der Umgebung des Punktes am besten annähert (berührt). Sie ist damit die zweidimensionale Entsprechung zur Tangente einer Kurve. Wie im Fall der Kurve existiert eine Tangentialebene nur, wenn die Fläche hinreichend „glatt“ ist. Dies gilt zum Beispiel für die Graphen von differenzierbaren Funktionen von zwei Variablen. Eine Fläche, die einen Knick oder eine Spitze hat – zum Beispiel ein Kegel – besitzt in diesen Punkten keine Tangentialebene.

Eine Ebene ist durch einen Punkt (in diesem Fall der Berührpunkt ) und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren oder durch einen Punkt und einen Normalenvektor bestimmt. Je nachdem, wie eine gegebene Fläche beschrieben wird (implizit, explizit oder parametrisiert, s. u.) wird man entweder Richtungsvektoren oder einen Normalenvektor bestimmen.

Die Tangentialebene bildet den zweidimensionalen Spezialfall eines Tangentialraums einer Untermannigfaltigkeit des .

Veranschaulichung der Definition. Hier heißt die Fläche M und der Berührungspunkt x.

Inhaltsverzeichnis

Formale DefinitionBearbeiten

Es sei   eine reguläre Fläche und   ein Punkt.

Die Tangentialebene an   im Punkt   ist die Ebene durch  , die von den Geschwindigkeitsvektoren von durch   verlaufenden Wegen aufgespannt wird: Ist die Funktion   ein Weg mit  , so ist   ein Punkt der Tangentialebene. Da die Tangentialebene zweidimensional ist, genügen zwei solcher Wege (in verschiedene Richtungen), um die Tangentialebene aufzuspannen.

Tangentialebene an den Graphen einer FunktionBearbeiten

 
Paraboloid

Die Fläche   ist als Graph

 

einer Funktion   von zwei Veränderlichen   gegeben. Gesucht ist die Tangentialebene an die Fläche in einem Punkt  . Falls die Funktion   an der Stelle   differenzierbar ist mit den partiellen Ableitungen  , liefert das Taylorpolynom erster Ordnung

 

eine Gleichung der gesuchten Tangentialebene. Die Tangentialebene ist somit der Graph der affin-linearen Funktion

 .

Beispiel: Die Fläche   (ein Paraboloid) ist gegeben als Graph der Funktion   mit  . Es sei  . Mit   und   ergibt sich

  bzw.
 

als Gleichung der gesuchten Tangentialebene im Flächenpunkt  .

Tangentialebene an eine implizit gegebene FlächeBearbeiten

 
Ellipsoid

In diesem Fall ist die Fläche als Niveaufläche

 

einer Funktion   von 3 Variablen gegeben. Zum Beispiel ist die Einheitskugel durch die Gleichung

 

gegeben. Es sei   ein Punkt der Fläche d. h. es ist  . Falls   im Punkt   differenzierbar ist und

 

gilt, so wird die Tangentialebene im Punkt   durch die Gleichung

 

dargestellt. Begründung: Der Vektor   zeigt in die Richtung der stärksten Zunahme von   und muss damit ein Normalenvektor der gesuchten Tangentialebene sein.

Beispiel: Die Fläche   ist ein Ellipsoid mit der Gleichung

 ,

gesucht ist die Tangentialebene von   im Punkt  . Es gilt   und die gesuchte Tangentialebene hat die Koordinatengleichung

  bzw.
 .

Tangentialebene einer parametrisierten FlächeBearbeiten

 
Affensattel

In diesem Fall ist die Fläche durch eine Parameterdarstellung   gegeben. Ist die Parameterdarstellung   in einem Parameterpunkt   differenzierbar und sind die Ableitungsvektoren   linear unabhängig, so ist

 

eine Parameterdarstellung der Tangentialebene im Punkt  .

Beispiel:   ist eine Parameterdarstellung des Affensattels. Mit   und   ergibt sich für die Tangentialebene in einem beliebigen Punkt

 .

Bemerkung: Das Beispiel des Affensattels zeigt, dass eine Fläche durchaus auf mehrere Möglichkeiten dargestellt werden kann: 1) parametrisiert wie hier eingeführt, 2) als Graph der Funktion   und schließlich 3) implizit durch  .

Schnitt einer Tangentialebene mit der FlächeBearbeiten

Es gibt Flächen, die in der Nähe eines Punktes auf einer Seite der Tangentialebene in diesem Punkt liegen. Z.B.: Paraboloid und Ellipsoid (s. o.) oder Zylinder. Allerdings ist es auch möglich, dass die Fläche in der Nähe eines Punktes auf beiden Seiten der Tangentialebene in diesem Punkt liegt. Z.B. Affensattel oder hyperbolisches Paraboloid. Ist die Gauß-Krümmung in einem Flächenpunkt nicht Null, so gilt: bei positiver Gaußkrümmung tritt der erste Fall (Fläche auf einer Seite) und bei negativer Gaußkrümmung der zweite Fall (Fläche auf beiden Seiten) ein. Ist die Gaußkrümmung Null, so sind beide Fälle möglich. Z.B.: Zylinder überall oder Affensattel im Nullpunkt.

AnwendungenBearbeiten

Überall, wo die Beschreibung einer Fläche für Berechnungen zu kompliziert ist, verwendet man Tangentialebenen als Ersatz für die gegebene Fläche, z. B. bei

  • der Bestimmung von Punkten der Schnittkurve zweier Flächen (Newton-Verfahren),
  • der Bestimmung von Umrisspunkten einer Fläche: Die Projektionsrichtung liegt in der Tangentialebene eines Umrisspunktes,
  • Abbildungen (Projektionen von Flächen auf eine Ebene, wie es etwa für Karten notwendig ist).

LiteraturBearbeiten

  • Meyberg & Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 380, 392, 468
  • Do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg-Verlag, 1983