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Scheitelpunkte, kurz Scheitel, sind in der Geometrie besondere Punkte auf Kurven.

Die Scheitelpunkte eines Kegelschnitts (Ellipse, Parabel oder Hyperbel) sind die Schnittpunkte der Kurve mit den Symmetrieachsen. Sie sind gleichzeitig die Punkte, an denen die Krümmung maximal oder minimal ist.

Der Scheitelpunkt einer aufrecht stehenden Parabel, die Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist, ist Hochpunkt oder Tiefpunkt des Graphen. Durch die Lage des Scheitelpunkts und den Streckfaktor ist der Graph einer quadratischen Funktion eindeutig bestimmt. Die rechnerische Bestimmung des Scheitelpunkts ist somit ein wichtiges Hilfsmittel, um den Graph einer quadratischen Funktion zu zeichnen.

Allgemeiner bezeichnet man in der Differentialgeometrie einen Punkt auf einer regulären Kurve als Scheitel oder Scheitelpunkt, wenn die Krümmung dort ein lokales Extremum (also ein lokales Maximum oder Minimum) besitzt. Der Vierscheitelsatz macht eine Aussage über die Existenz und die Anzahl von Scheitelpunkten bei einfach geschlossenen glatten ebenen Kurven.

Inhaltsverzeichnis

Scheitelpunkt eines KegelschnittsBearbeiten

Die Scheitelpunkte eines Kegelschnitts sind die Schnittpunkte einer solchen Kurve mit deren Symmetrieachsen. Die Ellipse hat vier Scheitel, zwei Hauptscheitel und zwei Nebenscheitel, bei der Hyperbel treten zwei auf, bei der Parabel nur einer, der Kreis hat keinen expliziten Scheitelpunkt.

Scheitelpunkt einer ParabelBearbeiten

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Ihr Scheitelpunkt ist identisch mit dem Hochpunkt (lokales Maximum), wenn sie nach unten geöffnet ist, und identisch mit dem Tiefpunkt (lokales Minimum), wenn sie nach oben geöffnet ist.

Wenn die Lage des Scheitelpunktes bekannt ist, kann die Parabel, soweit es sich um eine Normalparabel handelt, mit Hilfe einer Parabelschablone schnell in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Man kann die Parabelschablone auch zum Zeichnen von Parabeln verwenden, die keine Normalparabeln sind, wenn man das Koordinatensystem entsprechend skaliert.

ScheitelpunktformBearbeiten

Unter der Scheitelform oder Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion

 

versteht man eine bestimmte Form dieser Gleichung, aus welcher man den Scheitelpunkt der Funktion direkt ablesen kann.

Sie lautet

 

mit dem Scheitelpunkt  .

Folglich kann die Funktion   in die Form

 

überführt werden.

Der Scheitelpunkt lautet dann

 

In der Schule wird diese Formel aufgrund ihrer Größe meistens nicht gelehrt. Stattdessen wird die quadratische Ergänzung gelehrt, mit deren Hilfe man eine quadratische Funktion von der Polynomform in die Scheitelpunktform überführt.

Herleitung mittels quadratischer ErgänzungBearbeiten

Die obige Formel kann mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet werden. Die allgemeine Form wird in die Scheitelpunktform umgeformt.

 

Daraus können die Koordinaten des Scheitelpunktes direkt abgelesen werden:  .

Herleitung mittels AbleitungBearbeiten

Da die Steigung im Scheitelpunkt gleich 0 ist, ist es möglich mit Hilfe der ersten Ableitung die obige Formel herzuleiten.

 

Einsetzen in die Normalform:

 

BeispieleBearbeiten

 
Diagramm zu Beispiel 1

Beispiel 1

 

hat den Scheitelpunkt

 , also  

Beispiel 2

 

Mit  ,   und   berechnet sich der Scheitelpunkt zu

 , also  

Bestimmung der Nullstellen aus der ScheitelpunktformBearbeiten

Aus der Scheitelpunktform lassen sich sehr einfach die Nullstellen der jeweiligen quadratischen Funktion bestimmen.

Substituiert man   mit   und   mit  , ergibt sich die Form   mit dem Scheitelpunkt  .

Bestimmung der Nullstellen:

 

Ersetzt man   und   wieder durch   und  , ergibt sich die a-b-c-Formel: