Dreiteilung des Winkels

mathematisches Problem
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Unter der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie das Problem, ob man einen beliebigen Winkel nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal (den euklidischen Werkzeugen) konstruktiv und präzise in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar.

Obwohl die Problemstellung der Winkeldreiteilung bis in die Antike zurückreicht, konnte erst im 19. Jahrhundert mit Methoden der Algebra gezeigt werden, dass sie mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht zu lösen ist. Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In diesem wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine Zahlen sind, die sich in endlich vielen Schritten konstruieren lassen. Da nur zu zeigen ist, dass die Konstruktion im Allgemeinen nicht funktioniert, reicht die Angabe eines einzigen Gegenbeispiels. Zum Beispiel ist der Winkel von 20° nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar, weshalb der Winkel 60° mit diesen Werkzeugen auch nicht gedrittelt werden kann.

Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, exakt vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt.

In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal.

Klassisches ProblemBearbeiten

 
Beispiele für drittelbare Winkel, für die Winkel 9° und 3° bedarf es lediglich der Konstruktion des Winkels 30° und der des regelmäßigen Fünfecks.

Nach der klassischen Vorgabe zählt eine Lösung nur, wenn ein beliebiger gegebener Winkel allein mit Hilfe eines Zirkels und einem nichtskalierten Lineal in drei gleich große Teile aufgeteilt wird.

Bei speziellen Winkeln ist so eine Dreiteilung des Winkels möglich, etwa bei jedem ganzzahligen Vielfachen von 9°.[1][2]

Schon die alten Griechen versuchten vergeblich, eine allgemeine Lösung für beliebige Winkel zu finden. Um das Jahr 1830 schuf der französische Mathematiker Évariste Galois die Grundlagen für den späteren Beweis dafür, dass dies nicht allgemein möglich ist.[3] Beispielsweise ist es nicht möglich, den konstruierbaren Winkel 60° zu dritteln, da 20° nicht konstruierbar ist.

Warum dies unmöglich ist, wird im Abschnitt Beweis der Unmöglichkeit verdeutlicht.

Eine allgemeine Dreiteilung ist demzufolge letztendlich nur möglich, wenn neben Zirkel und Lineal auch zusätzliche Hilfsmittel Verwendung finden – etwa eine Trisektrix – oder wenn auf dem Lineal Markierungen angebracht werden. Andererseits sind mit Zirkel und Lineal beliebig gute Näherungslösungen – wie dies Beispiele im Folgenden zeigen – darstellbar.

GeschichteBearbeiten

AntikeBearbeiten

Die Griechen waren es, die im 5. Jahrhundert v. Chr. das Problem, einen beliebigen Winkel in drei gleich große Winkel zu unterteilen, erkannten. Vermutlich trat dieses Problem in den Vordergrund mathematischen Interesses, als sie versuchten, für astronomische Zwecke eine Sehnentafel aufzustellen.[4] Sie strebten nach einer Lösung, die allein mit Zirkel und einem unmarkierten Lineal – eine auf Oinopides von Chios (~ 440 v. Chr.) zurückgehende Beschränkung –[5] zu bewältigen sei, aber sie fanden keine, die dieser Vorgabe gerecht wurde.[6] Beispielsweise bei der Sehnentafel des Ptolemaios stößt man auf die elementargeometrisch nicht mehr zu bewältigende Aufgabe, aus der Sehne für   die Sehne für   zu gewinnen.[4] Die für die Sehnengeometrie erforderliche Trigonometrie wurde viele Jahrhunderte bis Nikolaus Kopernikus (1473–1543) lediglich als Bestandteil der Astronomie aufgefasst und dementsprechend in astronomischen Werken behandelt. Das erste selbständige Lehrbuch der Trigonometrie verfasste Regiomontanus um 1464, doch erschien es erst posthum fast 70 Jahre später im Jahr 1533.[7]

Hippias von Elis (um 460 bis um 400 v. Chr.) fand als Erster um 422 v. Chr. eine Lösung mithilfe eines sogenannten zusätzlichen Hilfsmittels. Es war eine Hilfskurve, sie wurde bekannt als die Trisektrix des Hippias oder Quadratrix des Hippias.[8] Diese ist sogar für die Teilung eines Winkels in   gleiche Teile erdacht. Der Name Quadratrix rührt davon, dass sie auch das Problem der Kreisquadratur beantwortet. Daraus kann gefolgert werden, dass es sich um eine transzendente Kurve handelt. Dennoch ist sie leicht beschreibbar, da sie durch zwei einfache Bewegungen erzeugt wird.[4]

Archimedes von Syrakus (287 bis 212 v. Chr.) fand eine pragmatische Lösung. Obgleich die Zuweisung an Archimedes nicht gesichert ist, existiert eine nur auf Arabisch überlieferte Konstruktion des regelmäßigen Siebenecks. Während die regelmäßigen Drei-, Vier-, Fünf- und Sechsecke sich bekanntlich mit Zirkel und Lineal in einem gegebenen Kreis beschreiben lassen, geht das beim Siebeneck nicht mehr. Algebraisch führt die Teilung des Kreises in sieben gleiche Teile auf eine kubische Gleichung und gehört daher der gleichen Problemklasse an wie die Würfelverdoppelung und die Winkeldreiteilung. Die angeblich von Archimedes gefundene Konstruktion arbeitet zwar auch nur mit diesen beiden Geräten, verwendet das Lineal allerdings in einer in der euklidischen Geometrie nicht erlaubten Weise: Es wird solange um einen festen Punkt gedreht, bis zwei Dreiecke, von denen eines bei der Drehung anwächst, während das andere abnimmt, flächengleich sind. Es ist dies ein besonderer Typus einer Einschiebekonstruktion oder sog. Neusis. Das angewandte Verfahren ist zwar von theoretischem Interesse, aber nicht praktisch verwendbar.[9] Heute wird es als Neusis-Konstruktion bezeichnet. Später schuf Archimedes eine spezielle Kurve, nannte sie Spirale (archimedische Spirale) und untersuchte damit die Winkelteilung und die Quadratur des Kreises.

Im 2. Jh. v. Chr. ersann Nikomedes ein Instrument, das die Forderung der von Pappos überlieferten Neusis-Konstruktion mechanisch zu erfüllen gestattet. Die damit konstruierbaren Kurven erhielten wegen ihrer Gestalt den Namen Konchoide, auf deutsch Muschelkurven.[10] Das Instrument besteht aus zwei T−förmig fest miteinander verbundenen Linealen, auf denen sich ein drittes in bestimmter Weise bewegen kann.[11] Es diente ihm damit als zusätzliches Hilfsmittel für die Dreiteilung des Winkels.[12]

Pappos von Alexandria (im 4. Jh. n. Chr.) gehörte dem Kreis der alexandrinischen Neuplatoniker an. Seine Collectiones sind ein Sammelwerk in acht Büchern; bis auf das erste und den Anfang des zweiten sind sie allesamt erhalten geblieben. In der frühen Neuzeit entnahmen die europäischen Mathematiker den Collectiones viele Anregungen, enthalten sie doch wichtige Auszüge aus den Schriften von Euklid, Apollonios, Archimedes und anderen Mathematikern. Pappos erweiterte diese Auszüge um kritische Kommentare und teils eigene Ergänzungen.[13] Er zeigte u. a. zwei unterschiedliche Varianten für die Lösung der Winkeldreiteilung mit Hilfsmitteln – eine pragmatische mit einem markierten Lineal als zusätzlichem Hilfsmittel,[14] sprich eine Neusis-Konstruktion (siehe hierzu den Abschnitt Die Methode des Pappos) und eine zweite, in der er die Hyperbel als Trisektrix nutzte.[15]

Früh- bis SpätmittelalterBearbeiten

Ahmad ibn Mûsâ lebte Mitte des 9. Jahrhunderts in Bagdad und war einer der drei Brüder, die sich Banū Mūsā nannten. Er war Astronom und Mathematiker. Seine Lösung zeigt zwei vorbestimmte Asymptoten einer Hyperbel, die durch einen gegebenen Punkt verläuft. Für die Drittelung des Winkels bedarf es eines markierten Lineals und somit einer Neusis-Konstruktion. Seine Lösung war der von Pappos’ Papierstreifenkonstruktion sehr ähnlich (siehe hierzu den Abschnitt Die Methode des Pappos).[16]

Thabit ibn Qurra (826–901) aus Bagdad war anfangs Geldwechsler, fand Interesse an der Wissenschaft, wurde in Mathematik geschult und befasste sich auch mit Philosophie und Astronomie. Für seine Neusis-Konstruktion nutze er ebenfalls die Hyperbel. Seine Konstruktion war aber, im Gegensatz zu der von Ahmad ibn Mûsâ, exakter bezeichnet und ausführlicher begründet. Auch seine Lösung hatte große Ähnlichkeit mit Pappos Papierstreifenkonstruktion.[17]

Ihren Höhepunkt erreichte die muslimische Astronomie und Trigonometrie im 15. Jahrhundert an der Sternwarte des Ulug Beg in Samarkand. Dort war al-Kaschi tätig, der sich eines geschickten Iterationsverfahrens bediente, um mit großer Genauigkeit aus der Winkeldreiteilungsgleichung den Sinus von   zu berechnen. Im Prinzip ging er folgendermaßen vor. Da sich   beliebig exakt bestimmen ließ (man konnte ihn z. B. aus der Differenz von   am Fünfeck und   am Sechseck mit Zirkel und Lineal konstruieren), verwendete er die Winkeldreiteilungsgleichung

 .

In dieser trigonometrischen Schreibweise findet sie sich erstmalig am Ende des 16. Jahrhunderts bei Vieta. Sie ist vom Typus   (in der damaligen Klassifikation wurden die Koeffizienten — hier  ,   — als positiv vorausgesetzt). Al-Kaschi berechnete die erste Näherung aus   zu  . Die zweite Näherung folgt dann analog aus   usw., wobei sich als Besonderheit ergibt, dass sich mit jedem Schritt eine weitere Sexagesimalstelle exakt ermitteln lässt. Das Ergebnis al-Kaschis, in Dezimalschreibweise umgerechnet, liefert 18 Stellen:[18]

 

Eine große Anzahl arabischer Handschriften befindet sich noch ungesichtet in orientalischen Bibliotheken, so dass die Forschung bisher kein vollständiges Bild der Entwicklung und des erreichten Wissens erarbeiten konnte.[19]

Renaissance bis NeuzeitBearbeiten

Albrecht Dürer steuerte als Mathematiker ebenfalls zur Theorie der Winkeldreiteilung bei. Neben guten Näherungskonstruktionen für das reguläre 7-, 9-, 11- und 13-Eck finden sich im 2. Buch seiner Underweysung auch die näherungsweise Winkeldreiteilung. Sie wurde 1931 mit mehreren anderen Näherungslösungen der gleichen Aufgabe verglichen und dabei wurde gezeigt, dass sie nirgends um mehr als etwa 20 Bogensekunden vom genauen Wert abweicht und damit alle anderen späteren Lösungsvorschläge übertrifft.[20][21] Dürers Konstruktionsidee lässt sich zudem leicht iterieren und liefert nach einigen Schritten eine sehr hohe Genauigkeit. Bei allem ist sich Dürer des grundlegenden Unterschiedes zwischen exakten, er nennt sie demonstrative, und Näherungslösungen, er nennt sie mechanice, jederzeit bewusst und hebt sich damit sogar von den meisten professionellen Mathematikern seiner Zeit ab.[22]

Die erste Person, die den Nachweis der Unlösbarkeit des Problems – allein mit Zirkel und Lineal – erbrachte, war Pierre-Laurent Wantzel im Jahr 1837. Es wird von Historikern jedoch bezweifelt, dass Wantzel als Erster um einen Beweis wusste, da schon der junge Carl Friedrich Gauß sehr wahrscheinlich über einen solchen verfügt hat.[23] Ein großer Teil seines 1801 erschienenen Werkes Disquisitiones arithmeticae ist der Frage gewidmet, welche Bedingungen eine Polynomgleichung erfüllen muss, um durch quadratische Radikale lösbar zu sein. Dort finden sich auch die nach Gauß benannten Sätze, mit deren Hilfe für die meisten klassischen Aufgaben die Unlösbarkeit mit Zirkel und Lineal nachgewiesen werden kann. Mit seinen entwickelten Techniken bewies Gauß zum Beispiel, dass sich das 17-Eck mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt. Die Tatsache, dass trotzdem Wantzel von vielen Autoren als Urheber der Sätze genannt und zitiert wird, führen die Mathematikhistoriker Christoph Scriba und Peter Schreiber auf die „Kommunikationsschwierigkeiten“ der Wissenschaft des 19. Jahrhunderts zurück.[24]

Beweis der UnmöglichkeitBearbeiten

Geschichte des BeweisesBearbeiten

 
Es ist im Allgemeinen nicht möglich, die Dreiteilung des Winkels allein mit Zirkel und Lineal zu vollziehen

Pierre Wantzel veröffentlichte 1837 einen Beweis, dass es im Allgemeinen unmöglich ist, einen Winkel mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teile zu zerlegen.[25] Sein Beweis benutzt, wenn man es in moderner Terminologie ausdrückt, Körpererweiterungen, wie sie in der abstrakten Algebra und insbesondere in der Galoistheorie behandelt werden. Wantzel veröffentlichte diese Ergebnisse früher als Galois (dessen Werk 1846 herauskam) und benötigte dabei nicht den Zusammenhang zwischen Körpererweiterungen und Gruppen, mit dem sich die Galoistheorie befasst.[26] Sein Beweis beruhte auf folgenden algebraischen Überlegungen:[27]

1. Im ersten Teil des Beweises argumentiert er, dass, wenn ein Konstruktionsproblem mit Lineal und Zirkel gelöst werden kann, „die Unbekannte des Problems durch die Lösung einer Reihe von quadratischen Gleichungen erhalten werden kann, deren Koeffizienten rationale Funktionen der Parameter   des Problems und der Wurzeln der vorherigen Gleichungen sind“.
Mit der „Unbekannten des Problems“ ist dabei zum Beispiel die gesuchte Strecke   gemeint.
2. Danach zeigte er, dass jede algebraische Zahl  , die Lösung der letzten Gleichung   eines Systems
 
ist, wobei die Koeffizienten   stets durch sukzessive Adjunktion im Körper   liegen, eine Polynomgleichung des Grades   mit Koeffizienten in   löst. Dabei löst   die Gleichung   und   sind die gegebenen Parameter des Problems.
3. Wantzel wusste, dass jede algebraische Zahl Nullstelle eines Polynoms mit Grad einer Zweierpotenz ist, wenn diese hinreichend groß gewählt würde. Daher war sein Hauptresultat, zu zeigen, dass, wenn die Anzahl an benötigten Gleichungen zu einem Minimum reduziert würde, das resultierende Polynom irreduzibel über   ist.

Die Unmöglichkeit der Konstruktion folgt nun als Korollar aus den Sätzen 1 bis 3: Wäre, beginnend mit den Strecken 0, 1 und  , die Dreiteilung eines Winkels   mit Zirkel und Lineal möglich, so müsste   Nullstelle eines irreduziblen Polynoms über   sein, das als Grad eine Zweierpotenz hat. Das Polynom   ist im Allgemeinen irreduzibel über  , hat aber den Grad 3. Dies ist ein Widerspruch.

Es ist zu beachten, dass Wantzels Originalpublikation von dem Mathematikhistoriker Jesper Lützen als lückenhaft und schwer zu verstehen angesehen wird – dies betrifft vor allen Dingen den „Beweis“ des Hauptsatzes 3. Von Lützen wurden die Lücken im Nachhinein geschlossen und die Resultate, wie oben beschrieben, in moderner Fachsprache formuliert.[28] Wantzels Beweis für die Unmöglichkeit, die Dreiteilung des Winkels und die Verdoppelung des Würfels mit Lineal und Zirkel zu konstruieren, war nach seiner Veröffentlichung im Jahr 1837 fast ein Jahrhundert lang vergessen. Laut Lützen waren dabei die „mangelnde Berühmtheit des Autors“, die „Tatsache, dass einige seiner Zeitgenossen das Ergebnis als bekannt oder sogar als bewiesen ansahen“, und dass „das Ergebnis zum Zeitpunkt seiner Veröffentlichung nicht als wichtiges mathematisches Ergebnis angesehen wurde“, die treibenden Gründe.[29]

Algebraischer BeweisBearbeiten

 
Kennt man  ,   oder  , so kann der Winkel   konstruiert werden. Die Frage ist also, ob man zum Beispiel aus der Information   mit Zirkel und Lineal die Zahl   konstruieren kann.
 
Dreiteilung des Winkels   mittels der dritten Einheitswurzeln in der komplexen Zahlenebene

Das Problem der Konstruktion eines Winkels von gegebener Größe   ist äquivalent zur Konstruktion zweier Strecken, deren Längen im Verhältnis   stehen. Die Lösung eines dieser beiden Probleme mit Zirkel und Lineal ergibt die Lösung des anderen. Mithilfe der Formel zum Kosinus des dreifachen Winkels[30]

 

lässt sich eine algebraische Gleichung aufstellen, die die Werte   und   in Verbindung bringt. Daraus folgt, dass das Problem der Winkeldreiteilung äquivalent dazu ist, eine bestimmte Strecke zu konstruieren, bei der das Verhältnis zwischen Streckenlänge und Längeneinheit gleich einer Lösung einer bestimmten kubischen Gleichung ist. Damit ist das ursprünglich geometrische Problem auf ein rein algebraisches Problem zurückgeführt.

Die kubische Gleichung kann einfach aus der Formel von De Moivre für die komplexe Exponentialfunktion gefolgert werden. Nach der Eulerschen Formel gilt

 

und durch beidseitiges Potenzieren mit 3 kann die Gleichung über einen Vergleich der Realteile und   abgelesen werden. Dabei bezeichnet   die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen.

Im Detail kann der Beweis der Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung über folgende Ideen aus der Algebra vollzogen werden. Es seien eine Menge   von Punkten (komplexen Zahlen), welche mindestens 0 und 1 enthält, und ein beliebiger Punkt   gegeben. Es ist für diese Überlegungen von Wichtigkeit, dass die komplexen Zahlen als Ebene aufgefasst werden können – im Gegensatz dazu werden die reellen Zahlen schlicht als Gerade aufgefasst. Dann gilt, dass der Punkt   genau dann mit Zirkel und Lineal aus den Punkten   konstruierbar ist, falls er in einem Körper   (dabei ist   der Körper der komplexen Zahlen) liegt, der durch Adjunktion einer Quadratwurzel aus dem Körper

 

hervorgeht. Dabei ist grob gesprochen   die Menge, die durch Bilden aller Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten aus rationalen Zahlen mit   entsteht. Hier ist   die Menge der komplex Konjugierten aller Elemente von   und das Symbol   steht für die Vereinigung zweier Mengen. Adjunktion einer Quadratwurzel bedeutet, dass es ein   geben muss, so dass  . Zum Beispiel geht   durch die Adjunktion einer Quadratwurzel aus den rationalen Zahlen hervor, da   eine rationale Zahl ist – entsprechend ist   die Menge aller Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten rationaler Zahlen mit der Zahl  . Bei   handelt es sich um eine sogenannte Körpererweiterung. Das Problem der Winkeldreiteilung mittels Zirkel und Lineal lässt sich also auf die Frage reduzieren, ob die Zahl   in einem Teilkörper von   liegt, der aus   durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln gewonnen werden kann. Das bedeutet jedoch, dass der Erweiterungsgrad von   aus   eine Potenz von 2 sein muss. Es ist aber im Allgemeinen

 

womit es unmöglich ist, die Winkeldreiteilung mittels Zirkel und Lineal vorzunehmen.[31] Dass die Körpererweiterung   im Allgemeinen vom Grad 3 ist, kann wie folgt gesehen werden: Wäre das Polynom   für   reduzibel über den rationalen Zahlen, müsste es eine rationale Nullstelle besitzen. Wegen   kann äquivalenterweise   studiert werden. Nach dem Satz über rationale Nullstellen kommen nur die Werte  ,  ,   und   als rationale Nullstellen dieser Gleichung in Frage. Alle diese Werte können durch Einsetzen als Nullstelle ausgeschlossen werden. Somit muss   irreduzibel über   sein, und das Minimalpolynom von   über   hat den Grad 3.

Es kann gezeigt werden, dass sich der Winkel   nicht mit Zirkel und Lineal dreiteilen lässt, falls   eine transzendente Zahl ist.[31]

VerallgemeinerungBearbeiten

Eine Verallgemeinerung des Problems ist es, genau zu charakterisieren, welche Winkel konstruierbar sind und welche nicht. Äquivalente Fragestellungen sind, für welche natürlichen Zahlen   man einen Kreis in   gleich große Stücke mittels Zirkel und Lineal unterteilen kann bzw. welche regulären Polygone konstruierbar sind. Die exakte Charakterisierung der konstruierbaren  -Ecke wurde 1837 von Pierre Wantzel (nach wesentlichen Vorarbeiten von Carl Friedrich Gauß und Évariste Galois) erzielt und besagt, dass dies genau dann der Fall ist, wenn   ein Produkt aus einer Zweierpotenz und paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen ist.[25] Ein Winkel   lässt sich genau dann in   gleich große Winkel teilen, wenn   das Produkt einer Zweierpotenz und paarweise verschiedener Fermatscher Primzahlen ist, welche   nicht teilen. Insbesondere folgt, dass   genau dann klassisch gedrittelt werden kann, wenn   nicht durch 3 teilbar ist, da 3 eine Fermatsche Primzahl ist.[32] Zum Beispiel lässt sich der Winkel   (entspricht  ) dritteln, da   und 3 die 8 nicht teilt. Andererseits ist im Falle von   der Winkel   (entspricht  ) nicht mit Zirkel und Lineal drittelbar, da die Zahl 15 durch 3 teilbar ist.

Der erste entscheidende Schritt über die Mathematik des Altertums hinaus war dem jungen Gauß mit seiner Entdeckung zu verdanken, dass das reguläre Siebzehneck konstruierbar ist.

Die bekannten Fermatschen Primzahlen sind 3, 5, 17, 257 und 65537. Allgemein sind Fermat-Zahlen die Zahlen  , wobei   selbst eine Zweierpotenz ist. Es wird vermutet, dass alle Fermat-Zahlen mit   zusammengesetzte Zahlen sind.

Für das Problem der Winkeldreiteilung braucht man die fortgeschrittenen Theorien von Gauß und Galois nicht. Hier genügt die Erkenntnis, dass eine Streckenlänge, die einer irreduziblen Gleichung dritten Grades genügt, nicht konstruierbar ist; denn jede konstruierbare Streckenlänge lässt sich algebraisch durch das aufeinanderfolgende Lösen quadratischer Gleichungen gewinnen, ist also algebraisch von einem Zweierpotenzgrad.

Lösungsversuche durch AmateureBearbeiten

Obwohl also die Unmöglichkeit der Dreiteilung des Winkels allein mit Zirkel und Lineal schon lange bekannt ist, werden bis in die Gegenwart mathematische Zeitschriften und Fakultäten mit Beweisversuchen von Amateuren überhäuft. Underwood Dudley, der das Phänomen analysierte,[33] beschreibt den typischen Trisektor als älteren Mann, der in seiner Jugend von dem Problem hörte (es ist von den drei klassischen Problemen wahrscheinlich das für Laien zugänglichste) und im Ruhestand daran tüftelte. Dudley, der hunderte ihrer Beweisversuche sammelte, fand nur zwei Frauen unter den Winkeldreiteilern.

Ein weiteres Kennzeichen sei, so Dudley, dass Laien die Bedeutung von „unmöglich“ in der Mathematik nicht verstünden und dies stattdessen eher als Herausforderung sähen. Typischerweise hätten sie nur geringe Mathematikkenntnisse, dies müsse aber nicht unbedingt heißen, dass die Fehler in ihren Konstruktionen einfach zu finden sind. Charakteristischerweise seien ihre Diagramme sehr komplex, könnten aber mit geometrischen Kenntnissen häufig drastisch vereinfacht werden. Des Weiteren seien sie von der Wichtigkeit ihrer Lösungen für technische Anwendungen überzeugt, was wiederum für viele Patent- und Geheimhaltungsfragen nicht unwichtig ist.

Nachdem Dudley viele Methoden im Umgang mit hartnäckigen Winkeldreiteilern ausprobiert hatte, empfahl er, deren Arbeit als Beitrag zu einer besseren Näherungslösung an das Problem zu loben (wahlweise für dessen Einfachheit oder Eleganz). Darüber hinaus soll man ihnen einen Computerausdruck, der den Fehler des Versuchs für verschiedene Winkel aufzeigt, zukommen lassen sowie Beispiele von „Näherungslösungen“ anderer Winkeldreiteiler.

Nichtklassische VerfahrenBearbeiten

Beschränkt man sich nicht auf die klassischen Konstruktionvorschriften für Zirkel und Lineal, sondern lässt darüber hinaus die Verwendung anderer Konstruktionswerkzeuge und mathematischer Hilfsobjekte zu oder begnügt sich auch mit Näherungslösungen, so ergibt sich eine Vielzahl von möglichen Verfahren, einen beliebigen Winkel dreizuteilen. In den folgenden Abschnitten werden einige von ihnen beispielhaft vorgestellt.

Die Methode des ArchimedesBearbeiten

 
Erforderlicher Anlegevorgang der Konstruktion

Archimedes war ein Pragmatiker, er gab eine Lösung[34] in seinem Liber Assumptorum an. Sei   der dreizuteilende Winkel wie in nebenstehender Zeichnung. Gehe dann wie folgt vor:

  1. Schlage einen Kreis um   mit beliebigem Radius  .
  2. Am Lineal bringe zwei Markierungen im Abstand   an.
  3. Lege das Lineal so an  , dass eine der beiden Markierungen auf der Geraden   im Punkt   und die andere auf der Kreislinie im Punkt   liegt, und zeichne die Strecke  .
  4. Der Winkel   bei   ist der gesuchte Drittelwinkel.
 
Beweisführung für die Winkeldreiteilung nach Archimedes:  
 
Anlegen des Lineals für Winkelweiten  
  ist parallel zu  
 
Anlegen des Lineals für  
  ist parallel zu  

Zur Begründung beachte man, dass wegen der speziellen Positionierung des Lineals die Länge der Strecke   gleich dem Abstand   der Markierungen ist, also gleich dem Radius des Kreises, der sich auch als   und   wiederfindet. Insbesondere ist das Dreieck   gleichschenklig, weshalb der Winkel   auch bei   auftritt. Der Winkel des Dreiecks   bei   ist einerseits gleich   (Winkelsumme im Dreieck), andererseits der Nebenwinkel von  , also ist  . Da das Dreieck   ebenfalls gleichschenklig ist, taucht der Winkel   auch bei   auf, und der Winkel dieses Dreiecks bei   ist gleich  . Beachtet man nun, dass sich die Winkel bei   zu   addieren, ergibt sich  .

Dass mit dieser Methode jeder Winkel wie bewiesen dreigeteilt werden kann, steht nicht in Widerspruch zur Unlösbarkeit des klassischen Problems, denn die obige Konstruktion wurde nicht nach den klassisch geforderten Regeln durchgeführt. Eine Markierung am Lineal und ein geschicktes Anlegen des Lineals entsprechen keinen klassischen Konstruktionsmethoden. Es wurde also ein abweichender Instrumentensatz verwendet und die möglichen Konstruktionen sind vom Instrumentensatz abhängig.

Die Methode des PapposBearbeiten

 
Methode des Pappos, Neusis-Konstruktion

Aus dem späten Altertum stammt die im Folgenden beschriebene Neusis-Konstruktion des Pappos zur Dreiteilung spitzer Winkel.[14]

Zu teilen sei der Winkel  , vgl. die rechte Abbildung:

Nach dem Zeichnen der beiden Winkelschenkel   und   wird eine beliebige Länge   als Strecke   auf dem Schenkel   bestimmt. Eine Parallele zu   ab   sowie das Lot ab   mit Fußpunkt   auf   schließen sich an. Nun wird das Lineal, auf dem die Länge gleich   markiert ist, so lange verschoben, bis der Eckpunkt   auf der Parallelen zu   liegt, die Länge   die Strecke   in   schneidet und dabei die Kante des Lineals durch den Scheitel   verläuft. Der so gefundene Winkel   ist der gesuchte Winkel  

Denn dieser Winkel   ist als Wechselwinkel gleich   dem Umfangswinkel der Kreissehne   und nach dem Kreiswinkelsatz ist der zugehörige Mittelpunktswinkel   gleich   Weil das Dreieck   gleichschenklig ist, gilt auch   Dieser Winkel ist aber gleich der Differenz   also gilt   und daraus folgt  [14]

Die gestrichelten Linien und der Mittelpunkt   sind für die Konstruktion nicht erforderlich, sie dienen lediglich der Beweisführung.

Teilung mit TomahawkBearbeiten

Der Tomahawk ist eine Figur, die aus mathematischer Sicht aus zwei aufeinander senkrecht stehenden Strecken und einem an einer der Geraden anliegenden Halbkreis besteht; das hintere Ende ist dabei so lang wie der Radius des Halbkreises (siehe Zeichnung). Die Bezeichnung Tomahawk rührt daher, dass die Figur vage an einen Tomahawk (eine indianische Streitaxt) erinnert. Um einen Winkel mit Hilfe des Tomahawks dreizuteilen, muss man ihn so positionieren (siehe Bild 1), dass sein „Stiel“ (Griff des Tomahawks) durch den Winkelscheitel geht, während der Halbkreis (die Klinge des Tomahawks) und der „Haken“ (die hintere Spitze des Tomahawks) jeweils die Schenkel des Winkels berühren. In dieser Position bildet der Stiel mit einem der Schenkel einen Winkel, der genau ein Drittel des Ausgangswinkels beträgt. Die Verbindung des Mittelpunktes des Halbkreises mit der Winkelspitze teilt das zweite und dritte Drittel des Ausgangswinkels. Da der Tomahawk eine Figur ist, die angelegt werden muss, ist diese Methode nicht mit den klassischen Konstruktionsregeln (Lineal und Zirkel) konform.[35]

Ist eine direkte Dreiteilung eines Winkels mithilfe eines Tomahawks nicht möglich (siehe Bild 3), weil der gegebene Winkel zu klein ist, um den Tomahawk positionieren zu können, so lässt sich die Dreiteilung des kleinen Winkels aus der Dreiteilung des zugehörigen großen Nebenwinkels konstruieren. Betrachtet man einen Winkel   mit seinem Nebenwinkel an einem Halbkreis mit Radius  , so erhält man wegen   einen konstanten Winkel, der nicht von der Größe des Winkels   abhängt (siehe Zeichnung). Dieser  -Winkel ist Bestandteil eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Höhe   beträgt. Damit ergibt sich dann die im nächsten Absatz beschriebene Konstruktion.

Es beginnt (siehe Bild 4) mit dem Einzeichnen des Durchmessers  , dessen Halbierung in   und dem Ziehen des Halbkreises über  . Es folgt das Eintragen des gegebenen Winkels   mit seinen beiden Winkelschenkeln. Nun wird der Tomahawk folgendermaßen positioniert: der „Haken“ liegt auf der Strecke   der Halbkreis berührt den oberen Winkelschenkel und der „Stiel“ verläuft durch den Mittelpunkt   Mit dem Einzeichnen der beiden Strecken   und   erhält man die Dreiteilung des Supplementwinkels  . Um eine Dreiteilung des Winkels   zu erzielen, wird nun der Punkt   auf den Kreisbogen   gespiegelt. Hierzu wird der Radius   in   halbiert und ein Halbkreis um   ab   gezogen, daraus ergibt sich der Schnittpunkt  . Abschließend bedarf es noch eines Halbkreises um   mit Radius  , des Schnittpunktes   und der geraden Linie ab   durch   bis zum Kreisbogen  . Der so erzeugte Schnittpunkt   ist eine Spiegelung des Punktes   an der virtuellen Strecke  . Somit ist der konstruierte Winkel   exakt ein Drittel des gegebenen Winkels  .

Teilung mit einem rechtwinkligen dreieckigen LinealBearbeiten

 
Dreiteilung des Winkels mittels des Rechtwinkelhakens nach Ludwig Bieberbach, Animation, am Ende 60 s Pause

Im Jahr 1932 veröffentlichte Ludwig Bieberbach seine Arbeit Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen.[36] Er führt darin aus:

„Im folgenden soll gezeigt werden, daß man alle kubischen Konstruktionen lösen kann, wenn man neben üblichem Gebrauch von Zirkel und Lineal noch folgende Verwendung des Rechtwinkelhakens gestattet: Er ist so hinzulegen, daß sein einer Schenkel durch einen gegebenen Punkt geht, daß sein anderer Schenkel einen gegebenen Kreis berührt, sein Scheitel aber auf einer gegebenen Gerade liegt, wo er den neu zu konstruierenden Punkt markiert.“

Ludwig Bieberbach: Journal für die reine und angewandte Mathematik, DigiZeitschriften[36]

Der Winkel   soll gedrittelt werden. Setzt man

   und   

führt dies zur Gleichung

 [36]

Die folgende Beschreibung der nebenstehenden animierten Konstruktion enthält deren Weiterführung bis zur vollständigen Dreiteilung des Winkels.

Es beginnt mit dem ersten Einheitskreis um seinem Mittelpunkt  , dem ersten Winkelschenkel   und dem daran anschließenden zweiten Einheitskreis um  . Nun wird der Durchmesser   ab   bis zur Kreislinie des zweiten Einheitskreises verlängert, dabei ergibt sich der Schnittpunkt  . Es folgen der Kreisbogen um   mit dem Radius   und das Einzeichnen des zweiten Winkelschenkels des Winkels  , dabei ergibt sich der Punkt  . Jetzt kommt das so genannte zusätzliche Konstruktionsmittel zum Einsatz, im dargestellten Beispiel ist es das Geodreieck. Dieses legt man jetzt auf folgende Art und Weise auf die Zeichnung: Der Scheitel des Winkels   bestimmt auf dem Winkelschenkel   den Punkt  , eine Kathete des Dreiecks verläuft durch den Punkt   und die andere tangiert den Einheitskreis um  . Nach dem Verbinden des Punktes   mit   und dem Einzeichnen der Tangente ab   an den Einheitskreis um   zeigt sich der oben genannte Rechtwinkelhaken. Der von den Strecken   und   eingeschlossene Winkel ist somit exakt  . Es geht weiter mit der Parallelen zu   ab  , dabei ergeben sich der Wechselwinkel oder Z-Winkel   und der Punkt   auf dem Kreisbogen um  . Eine weitere Parallele zu   ab   bestimmt den Berührungspunkt   der Tangente an den Einheitskreis um  . Abschließend noch eine gerade Linie von   durch   ziehen, bis sie den Kreisbogen um   in   schneidet.

Somit ist der Winkel   wegen

 

exakt gedrittelt.

KurvenBearbeiten

Als Trisektrix bezeichnet man eine Kurve, die das exakte Dritteln eines Winkels mit Zirkel und Lineal ermöglicht. Die Existenz beziehungsweise Konstruierbarkeit der Kurve mit anderen Mitteln als Zirkel und Lineal ist hierbei gegeben und unter Zuhilfenahme dieser Kurve als einziges zusätzliches Hilfsmittel ist es dann möglich, einen Winkel zu dritteln. Im Gegensatz zur reinen Konstruktion mit Zirkel und Lineal können Punkte so nicht nur durch den Schnitt von Geraden und Kreisen konstruiert werden, sondern auch durch den Schnitt von Geraden und Kreisen mit der gegebenen Kurve. Die Gesamtheit der Kurvenpunkte selbst ist dabei aber nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar, weshalb die Verwendung einer solchen Kurve eine Verletzung der klassischen Regeln zur Winkeldreiteilung darstellt.

Dreiteilung unterschiedlicher Winkel mithilfe einer einzigen HyperbelBearbeiten

 
Dreiteilung des Winkels mithilfe der Trisektrix des Hippias,[8] die gedrittelte Strecke   liefert den Kurvenabschnitt   der Trisektrix (rot)
 
Dreiteilung des Winkels mithilfe einer einzigen Hyperbel
Hyperbelgleichung  
die Kreissehne   (grün) ist konstant

Hauptartikel: Hyperbel, Hyperbel als Trisektrix

Im Jahr 1902 veröffentlichte K. Matter den Aufsatz Zur Trisektion des Winkels. Darin zeigt er eine Methode, die es ermöglicht, mit nur einer Hyperbel unterschiedliche Winkel zu dritteln.[37]

„Eine von der […] allgemeinen Methode etwas abweichende, hübsche und einfache geometrische Lösung unseres Problems der Dreiteilung des Winkels ist die folgende, bei welcher die Konstruktion einer einzigen Hyperbel in Verbindung mit einem Kreis nötig wird.“

K. Matter: ZOBODAT[38][39]

Auswahl der bekanntesten TrisektrizesBearbeiten

Dreiteilung des Winkels mit OrigamiBearbeiten

Während die Dreiteilung des Winkels mit den klassischen Instrumenten der Geometrie nicht möglich ist, kann die Aufgabe mit der Papierfalttechnik Origami gelöst werden.[41] Verwendet wird hierfür ein rechteckiges oder quadratisches Blatt Papier. Für die Dreiteilung eines Winkels   bedarf es sechs Faltungen des Blattes.

Zuerst wird das Blatt in der Mitte gefaltet (siehe Bild 1), dabei ergeben sich an den beiden Blattkanten die Punkte   und   Alternativ kann   auch mit einer frei wählbaren Länge der Strecke   festgelegt werden. Es folgt die Falte   sie halbiert die Strecke   Punkt   wird nun nach Belieben (siehe Bild 2) auf der Strecke   bestimmt und im Anschluss das Blatt von   bis   gefaltet. Damit ergibt sich der Winkel   am Scheitel  

Jetzt folgt die maßgebende vierte Faltung (siehe Bild 3) zur Dreiteilung des Winkels  , indem man zuerst die Ecke   auf die Falte   und den Punkt   auf die Falte   legt. Nach dem Markieren des Punktes   auf das Blatt, wird die Ecke   zurückgebogen und der Schnittpunkt   markiert – entstanden durch die vierte Falte mit   – das Blatt hat so wieder seine rechteckige Form.

Abschließend (siehe Bild 4) noch die Falte von   durch   sowie die von   durch   knicken. Die Faltlinien   und   teilen den Winkel   in drei (exakt) gleiche Teile.

Dreiteilung des Winkels mithilfe eines flexiblen LinealsBearbeiten

In dieser Methode wird auf einer zylindrischen Mantelfläche eine Schraubenlinie (Helix) aufgetragen, die von einer dreidimensionalen Linie an vier Stellen geschnitten wird. Die beiden inneren Schnittpunkte dritteln den Winkel, der durch die beiden äußeren vorgegeben ist.[42] Bei genauer Betrachtung sieht man die Ähnlichkeit der Konstruktion mit der Methode Quadratrix des Hippias. Als sogenannte zusätzliche Konstruktionsmittel zu Zirkel und Lineal werden ein zylindrischer Körper, ein flexibles Lineal (z. B. Rollbandmaß) und alternativ z. B. ein Anschlagwinkel verwendet.

Konstruktionsbeschreibung

Zuerst wird vom Kreismittelpunkt   des Zylinders der Winkelschenkel   eingezeichnet (siehe Bild 1) und der zu drittelnde Winkel   mittels des Winkelschenkels   bestimmt. Es folgt das Einzeichnen der beiden (roten) Strecken   und   auf die Mantelfläche mithilfe des flexiblen Lineals oder alternativ z. B. mithilfe eines (rechtwinkligen) Anschlagwinkels.

Es geht weiter mit dem Auftragen der Schraubenlinie (grün) auf die zylindrische Mantelfläche (siehe Bild 2). Das flexible Lineal wird an die Zylinderkante gelegt und fixiert. Es folgen fünf Wicklungen mit gleicher Ganghöhe   sie entspricht der Breite des Lineals. Das Einzeichnen der Schraubenlinie geschieht bei schrittweisem Abwickeln, jeweils an der freien Kante des Lineals. Nun werden die Schnittpunkte   mit der ersten Wicklung der Schraubenlinie und   mit der vierten Wicklung markiert.

Das flexible Lineal wird nun so auf die zylindrische Mantelfläche (siehe Bild 3) gesetzt, dass die Kante des Lineals (hellblau) durch die Punkte   und   verläuft, dabei werden die Schnittpunkte   und   auf der Schraubenlinie markiert. In diesem Fall ist diese Linie ― ebenfalls eine Schraubenlinie mit einer sehr großen Ganghöhe ― die kürzeste Verbindung der beiden Punkte   und   [42] Abschließend werden mithilfe des flexiblen Lineals, oder alternativ z. B. mithilfe eines Anschlagwinkels, die Strecken   und   sowie   und   eingetragen.

Wegen   ist somit der Winkel   exakt dreigeteilt.

NäherungsverfahrenBearbeiten

Albrecht Dürers Näherung der DreiteilungBearbeiten

 
Dreiteilung des Winkels, eine Näherungskonstruktion nach Dürer

Karl Hunrath veröffentlichte 1906 eine Untersuchung zu Dürers Näherungslösung der Winkeldreiteilung aus dem Jahr 1525[43] in der Zeitschrift Heidelberger Texte zur Mathematikgeschichte.[21]

Konstruktionsbeschreibung

In einem gegebenen Kreissektor mit Mittelpunkt   und einem Mittelpunktswinkel   größer   wird die Sehne   in   und   gedrittelt. Es folgt das Errichten der beiden Senkrechten auf   in   und  , dabei ergeben sich die Schnittpunkte   bzw.   mit dem Kreisbogen. Nun wird ein Kreisbogen mit dem Radius   ab   und ein zweiter mit dem Radius   ab   gezogen, bis sie die Sehne   in   bzw. in   schneiden. Nach dem Dritteln der Strecke   nahe dem Punkt   und der Strecke   nahe dem Punkt   ergeben sich die Schnittpunkte   bzw.   Die Projektion der Punkte   und   auf den Kreisbogen liefert die gesuchten Punkte   und   Die Verbindungslinien (rot)   mit   sowie   und   teilen den Mittelpunktswinkel   in annähernd drei gleiche Teile.

Dieses Ergebnis wird mit zwei Iterationsschritten erreicht. Nach der ersten Iteration ergeben sich die Winkel     und  

Die eingezeichneten Punkte   und   sowie die mittige Strecke   werden für die Konstruktion nicht benötigt, sie dienen ausschließlich dem von Hunrath ausführlich erörterten Beweis.[44]

Fehlerbetrachtung

Dürers Näherungslösung zeigt bei Winkeln   nur sehr geringe absolute Fehler  [45]

Dreiteilung des Winkels   nach Dürer
absoluter Fehler   des Winkels  
Winkel   Winkel   Winkel    
       
       
       
       
       
       
       

Näherung durch iterative WinkelhalbierungBearbeiten

Dieses weniger effiziente, aber viel einfachere Verfahren verwendet die geometrische Reihe[46]

 

Beispiel Winkel   nach neun Iterationen

 

Es ist zu beachten, dass die folgende Formel gilt:

 

Es gibt damit auch einen indirekten Zusammenhang mit der Darstellung   im Binärsystem.

Näherung für Winkelweiten größer 0° bis 90°Bearbeiten

Im Jahr 2011 sandte Chris Alberts eine außerordentlich gute Näherung einer Winkeldreiteilung an Rouben Rostamian (University of Maryland, Baltimore County).

Rostamian hat die Konstruktion von Alberts umformuliert und neu geordnet, aber die Unterschiede zum Original sind, so sagt er, nur kosmetisch.[47] Zu Beginn der Konstruktionsbeschreibung verweist er auf eine Erläuterung („Explanation here“), in der er auch die Gründe aufzeigt, weshalb von dieser Konstruktion keine Bilder zu sehen sind. Nichtsdestotrotz ist die im Folgenden dargestellte Konstruktion allein mithilfe Rostamians Beschreibung machbar.

 
Näherungskonstruktion für Winkel größer 0° bis 90°
 
Animation mit Schrittgrößen ca. 3°, aus Gründen der Übersichtlichkeit sind die Punkte ohne Beschriftung

KonstruktionBearbeiten

(Übersetzung)

Betrachte den Kreisbogen   auf dem Kreis  , der in   zentriert ist (siehe Bild). Angenommen, der Winkel   liegt zwischen   und   Grad, dann gehe folgendermaßen vor, um   zu teilen:[47]

  1. Zeichne den Kreis   um   mit einem Radius   die Schnittpunkte mit den Strecken   bzw.   sind   bzw.  
  2. Ziehe den Kreis   (grün dargestellt) um   durch den Punkt  
  3. Es sei   der Mittelpunkt der Strecke   Zeichne eine Linie ab   parallel zu   durch die Kreislinie von   bis zum Kreis   die Schnittpunkte sind   bzw.  
  4. Es sei   der Mittelpunkt der Strecke   Ziehe eine Linie ab   durch   bis sie den Kreis   in   schneidet.
  5. Zeichne eine Linie ab   parallel zu   und wähle den Punkt   darauf so, dass   ist.
  6. Verlängere die Strecke   bis sie den Kreis   in   schneidet.
  7. Ziehe die Linie   und verlängere sie, bis sie den Kreis   in   schneidet.
Hinweis: Sieht man sich die Zeichnung genau an, ist zu erkennen, dass sich die Strecken   und   nicht überdecken, d. h. nicht kollinear sind.
  1. Es sei   diametral gegenüber dem Punkt   im Kreis   Ziehe eine Linie ab   parallel zu   und wähle den Punkt   darauf so, dass der Abstand   ist.
Hinweis: Die Strecke   ist keine Verlängerung der Strecke  
  1. Verlängere die Strecke   bis sie den Kreis   in   schneidet.
  2. Spiegle   an der Strecke   um den Punkt   zu erhalten.

Der Winkel   ist nahezu gleich einem Drittel des Winkels  

FehleranalyseBearbeiten

Rostamian führte eine Fehleranalyse durch, u. a. mit folgenden Ergebnissen: Die obigen Konstruktionsschritte (1. – 10.) beinhalten drei Stufen der Näherungsgrade, d. h. drei unterschiedliche Fehlergrößen im Bereich zwischen   und  :

  • Stufe 1: Nach dem 5. Schritt ist die Differenz des Winkels   zu einem exakt gedrittelten Winkel max.  
  • Stufe 2: Nach dem 7. Schritt ist die Differenz des Winkels   zu einem exakt gedrittelten Winkel nur noch max.  
  • Stufe 3: Nach dem 10. Schritt hat der Winkel   zu einem exakt gedrittelten Winkel den hervorragenden kleinen Differenzwert von max.  [47]

Die dargestellte Konstruktion wurde mit der Dynamische-Geometrie-Software (DGS) GeoGebra angefertigt; darin werden in diesem Fall die Winkelgrade mit signifikanten dreizehn Nachkommastellen angezeigt. Die sehr kleinen Fehler des Winkels   sprich, die Differenzwerte aus   werden deshalb von GeoGebra stets mit   angezeigt.

Verdeutlichung des absoluten FehlersBearbeiten

Der Differenzwert von max.   entspricht einem absoluten Fehler   der – nicht eingezeichneten – Sehne   der sich wie folgt ergibt:

 

Anschaulich: Hätten die Winkelschenkel die Länge gleich 1 Billion km (das Licht bräuchte für diese Strecke fast 39 Tage), wäre der absolute Fehler der Sehne   ca. 2,32 mm.

AnwendungenBearbeiten

Eine kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten kann genau dann geometrisch mit Zirkel, Lineal und einem Winkeldreiteiler gelöst (d. h. deren Lösungen konstruiert) werden, wenn sie drei reelle Lösungen hat. Dabei werden die Koeffizienten des Polynoms als gegeben gesehen und bei der Konstruktion verwendet. Insbesondere kann die Kubikwurzel aus 2, die bei der Verdopplung des Würfels benötigt wird, nicht über diese Werkzeuge konstruiert werden, da die Gleichung   nicht ausschließlich reelle Lösungen besitzt.[48]

Ein regelmäßiges Vieleck mit   Seiten lässt sich mit Lineal, Zirkel und Winkeldreiteiler konstruieren genau dann, wenn   mit paarweise verschiedenen Fermatschen Primzahlen   größer als 3 der Form  ,[49] vgl. dazu auch Pierpont-Primzahl.

Mithilfe der kubischen Gleichung des Siebenecks wird im Folgenden exemplarisch erläutert, wie damit der Kosinus des Winkels gefunden wird, der mithilfe eines sogenannten zusätzlichen Hilfsmittels (z. B. Tomahawk) gedrittelt werden kann.

Das Siebenecks hat die kubische Gleichung[50]

 

Setzt man   ergibt sich     als eine Lösung von

 

Durch Einsetzen von

 

vereinfacht es sich zu

 

schließlich erhält man den Kosinus des Winkels, der gedrittelt werden kann:

 .

Im Folgenden wird am Beispiel Siebeneck beschrieben, wie die kubische Gleichung

 

ermittelt wird. Es beginnt mit dem Zeichnen eines regelmäßigen Siebenecks.[51]

Konstruktionsbeschreibung

 
Siebeneck, Konstruktionsskizze für die Ermittlung des Winkels   der mit einem zusätzlichen Hilfsmittel gedrittelt werden kann
  1. Umkreis des Siebenecks mit dem Radius   um den Nullpunkt   eines kartesischen Koordinatensystems.
  2. Markieren der Punkte   und  
  3. Ein Kreisbogen mit Radius   schneidet die  -Achse in   und   die Strecke   ist die Seite eines gleichseitigen Dreiecks mit Umkreisradius  
  4. Verbindung der Punkte   mit   und   mit   der Winkel   entspricht  
  5. Bogen um   mit Radius  
  6. Dreiteilung des Winkels   mithilfe z. B. eines Tomahawks, ergibt Schnittpunkt  
  7. Parallele zu   durch   ergibt die Schnittpunkte   und     und   sind Eckpunkte des – nicht eingezeichneten – regelmäßigen Siebenecks  

Nachweis der Konstruktion

Sei   der Schnittpunkt der Strecke   mit der  -Achse. Aus der Konstruktion geht hervor, dass[51]

 

Die Konstruktion ist korrekt, wenn

   oder gleichwertig, wenn   

wobei die Normierung des Kosinus um den Faktor   von der Wahl des Radius   herrührt. Man muss also nur folgende Identität feststellen:

 

Um dies zu tun, sei

 

eine primitive siebte Einheitswurzel in  .[51] Setze

 

dann ist

 

Somit ist   eine Wurzel der kubischen Gleichung

 

Wie oben beschrieben, erhält man daraus den Kosinus des Winkels  :

 

Satz von MorleyBearbeiten

 
Satz von Morley, Konstruktionsskizze

Auch wenn es im ersten Moment den Anschein hat, der Satz von Morley wäre für die Dreiteilung eines beliebigen Winkels geeignet, dem ist nicht so.

In einem vorgegebenen Dreieck   werden zuerst die Winkel an den Scheitelpunkten   und   gedrittelt. Dazu bedarf es eines zusätzlichen Hilfsmittels, z. B. einer Dynamische-Geometrie-Software (DGS). Die damit exakt erzeugten Winkeldreiteilenden (rot) liefern die Eckpunkte  ,   und   des Morley-Dreiecks.

Satz von Morley:

„Die drei Schnittpunkte der drei anliegenden Winkeldreiteilenden eines beliebigen Dreiecks bilden ein gleichseitiges Dreieck.“

Horst Hischer: Das Morley-Dreieck zwischen Anwendung und Spiel[52]

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Vladimir Matveev: Dreiteilung des Winkels. (PDF) Anwendung: Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Universität Jena, Oktober 2016, S. 30, abgerufen am 10. April 2021.
  2. Hans Walser: 5 Konstruierbarkeit, 5.1 Grad. Winkelmessung. 22. August 2013, abgerufen am 10. April 2021.
  3. Johann Cigler: 1. Der Hauptsatz der Galois–Theorie. Körper – Ringe – Gleichungen. In: univie.ac.at. Universität Wien, abgerufen am 26. März 2021.
  4. a b c Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, Springer, 2010, S. 44.
  5. Markus Asper: 1. Die Anfänge: von Milet nach Athen. (PDF) Mathematik, Milieu, Text. Die frühgriechische(n) Mathematik(en) und ihr Umfeld. Sudhoffs Archiv. Zeitschrift für Wissenschaftsgeschichte, 2003, S. 13, abgerufen am 13. April 2021.
  6. A. Jackter: History of Mathematics. In: The Problem of Angle Trisection in Antiquity. Rutgers University Press, 2000, abgerufen am 27. November 2020.
  7. Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, Springer, 2010, S. 78.
  8. a b Horst Hischer: 1 Zusammenhang zwischen Quadratrix und Trisectrix. (PDF) Geschichte der Mathematik als didaktischer Aspekt(2). Lösung klassischer Probleme. In: horst.hischer.de. 1994, S. 279, abgerufen am 31. März 2021.
  9. Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, Springer, 2010, S. 70.
  10. K. Matter: Zur Trisektion des Winkels Fig. b. In: Mitteilungen der Thurgauischen Naturforschenden Gesellschaft. Band 25, 1902, S. 22 ff. (online auf ZOBODAT [PDF; abgerufen am 1. April 2021]).
  11. Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, Springer, 2010, S. 46.
  12. K. Matter: Zur Trisektion des Winkels, s. letzter Absatz. In: Mitteilungen der Thurgauischen Naturforschenden Gesellschaft. Band 25, 1902, S. 22 (online auf ZOBODAT [PDF; abgerufen am 1. April 2021]).
  13. Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, Springer, 2010, S. 77.
  14. a b c Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik; Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen, Springer-Verlag, 2013, S. 155, Pkt. 3. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche), abgerufen am 21. August 2020.
  15. a b Robert C. Yates: THE TRISECTION PROBLEM, 3. The Hyperbola. In: ERIC. National Council of Teachers of Mathematics, Inc., Washington, D.C., 1971, S. 32–33, abgerufen am 31. März 2021.
  16. Katharina Wieser: 5.2.6. Arabische Mathematiker mit Hyperbel-Neusis. Die drei klassischen mathematischen Probleme der Antike: Würfelverdopplung, Winkeldreiteilung und Kreisquadratur. Johannes Kepler Universität Linz, März 2013, S. 58, abgerufen am 7. April 2021.
  17. Katharina Wieser: 5.2.6. Arabische Mathematiker mit Hyperbel-Neusis. Die drei klassischen mathematischen Probleme der Antike: Würfelverdopplung, Winkeldreiteilung und Kreisquadratur. Johannes Kepler Universität Linz, März 2013, S. 59, abgerufen am 7. April 2021.
  18. Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, Springer, 2010, S. 179.
  19. Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, Springer, 2010, S. 180.
  20. F. Vogel: Über die Näherungskonstruktionen für die Dreiteilung eines Winkels. Zeitschr. f. Math. u. Naturwiss. Unterricht 62. Jhg., 1931, S. 145–155.
  21. a b Karl Hunrath: Albrecht Dürers annähernde Dreiteilung eines Kreisbogens. Bibliotheca Mathematica. Zeitschrift für Geschichte der mathematischen Wissenschaften. Universität Heidelberg, 1906, S. 120, abgerufen am 12. April 2021.
  22. Christoph Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, Springer, 2010, S. 283.
  23. Jesper Lützen: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result, Historia Mathematica 36, 2009, S. 387.
  24. Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie, Springer-Verlag, Dritte Auflage, 2010, S. 405.
  25. a b Pierre Wantzel: Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas (= Journal de mathématiques pures et appliquées (Liouville’s Journal). Band 2). 1837, S. 366–372 (PDF).
  26. Craig Smorynski: History of Mathematics: A Supplement. Springer, 2007, ISBN 978-0-387-75480-2, S. 130 (google.com). Zur historischen Einordnung von Wantzels Beweis in die frühere Arbeit von Ruffini und Abel und zum zeitlichen Vergleich mit Galois.
  27. Jesper Lützen: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result, Historia Mathematica 36, 2009, S. 378–379.
  28. Jesper Lützen: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result, Historia Mathematica 36, 2009, S. 379.
  29. Jesper Lützen: Why was Wantzel overlooked for a century? The changing importance of an impossibility result, Historia Mathematica 36, 2009, S. 391.
  30. Hans Humenberger: Elementarmathematische Betrachtungen zum Delischen Problem und zur Winkeldreiteilung. In: Internat. Math. Nachrichten Nr. 219, 25–43. 2012, S. 38–40 (univie.ac.at [PDF; abgerufen am 14. November 2020]).
  31. a b Falko Lorenz: Algebra Volume I: Fields and Galois Theory, Springer, S. 52.
  32. K. Robin McLean: Trisecting angles with ruler and compasses, Mathematical Gazette. 92, S. 320–323.
  33. Underwood Dudley: What to do when the trisector comes. Missouri University of Science and Technology, 1983, abgerufen am 21. November 2020 (englisch). Siehe auch Mathematical Intelligencer, Band 5, 1983, Nr. 1, und in seinem Buch dazu.
  34. Hans Humenberger: 8 Konstruktionen mittels eines markierten Lineals und Papierfalten (Origami). Elementarmathematische Betrachtungen zum Delischen Problem und zur Winkeldreiteilung. Universität Wien, 2012, S. 41―42, abgerufen am 13. April 2021.
  35. Bodo v. Pape: 7.4 Dreiteilung mit dem Tomahawk, in: Makro-Mathematik: Jenseits von Algebra und Analysis: Algorithmen, BoD – Books on Demand, 2016, ISBN 373579419X (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)
  36. a b c Ludwig Bieberbach: Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen, Journal für die reine und angewandte Mathematik. H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167, Walter de Gruyter, Berlin 1932, S. 142–146, DigiZeitschriften, Bild auf S. 144, abgerufen am 6. Juni 2018.
  37. K. Matter: Zur Trisektion des Winkels. In: Mitteilungen der Thurgauischen Naturforschenden Gesellschaft. Band 25, 1902, S. 20 (online auf ZOBODAT [PDF; abgerufen am 27. März 2021]).
  38. K. Matter: Zur Trisektion des Winkels. In: Mitteilungen der Thurgauischen Naturforschenden Gesellschaft. Band 25, 1902, S. 21 ff. (online auf ZOBODAT [PDF; abgerufen am 24. März 2021]).
  39. K. Matter: Zur Trisektion des Winkels. → Fig.a. Dreiteilung eines Winkels mit Hilfe einer Hyperbel. In: Mitteilungen der Thurgauischen Naturforschenden Gesellschaft. Band 25, 1902 (online auf ZOBODAT [PDF; abgerufen am 29. Juli 2020]).
  40. Justin Seago: The Maclaurin Trisectrix. CR College of the Redwoods, 8. Dezember 2008, abgerufen am 1. September 2020.
  41. Matthias Sebastian Konzett: 3.5.1.Lösung mittels Origamics. Unmöglich möglich? Universität Wien, 3. September 2012, S. 46 ff., abgerufen am 23. November 2020.
  42. a b Greg Blonder: Trisecting the angle with a straightedge. + plus. magazine, abgerufen am 9. April 2021 (englisch).
  43. Albrecht Dürer: Underweysung der messung mit dem zirckel un[d] richtscheyt, in Linien ebnen unnd gantzen corporen. Bayerische StaatsBibliothek, Digitale-Sammlungen, 1525, abgerufen am 12. April 2021.
  44. Karl Hunrath: Albrecht Dürers annähernde Dreiteilung eines Kreisbogens. Bibliotheca Mathematica. Zeitschrift für Geschichte der mathematischen Wissenschaften. Universität Heidelberg, 1906, S. 121, abgerufen am 11. April 2021.
  45. Karl Hunrath: Albrecht Dürers annähernde Dreiteilung eines Kreisbogens. Bibliotheca Mathematica. Zeitschrift für Geschichte der mathematischen Wissenschaften. Universität Heidelberg, 1906, S. 122 ff., abgerufen am 11. April 2021.
  46. Jim Loy: Trisection of an Angle. An analogy: (letzter Absatz). In: jimloy.com. Archiviert vom Original am 25. Februar 2012; abgerufen am 27. März 2021 (englisch).
  47. a b c Rouben Rostamian: An angle trisection. University of Maryland, Baltimore County, 23. März 2011, abgerufen am 3. Februar 2020.
  48. Andrew M. Gleason: Angle Trisection, the Heptagon and the Triskaidecadon, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, Issue 3, S. 190.
  49. Andrew M. Gleason: Angle Trisection, the Heptagon and the Triskaidecadon, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, Issue 3, S. 191.
  50. Andrew M. Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. (PDF) The American Mathematical Monthly. Florida Atlantic University, März 1988, S. 187, abgerufen am 6. April 2021 (englisch).
  51. a b c Andrew M. Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. (PDF) The American Mathematical Monthly. Florida Atlantic University, März 1988, S. 186, abgerufen am 6. April 2021 (englisch).
  52. Horst Hischer: 1.1.2 Das Morley-Dreieck zwischen Anwendung und Spiel. Grundlegende Begriffe der Mathematik: Entstehung und Entwicklung: Struktur – Funktion – Zahl. Springer-Verlag, 13. Juni 2012, S. 2–4, abgerufen am 5. April 2021.
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