Moivrescher Satz

mathematischer Satz

Der Moivresche Satz, auch Satz von de Moivre oder Formel von de Moivre (nach Abraham de Moivre[1]) besagt, dass für jede komplexe Zahl (und damit auch jede reelle Zahl) und jede natürliche Zahl gilt:[2]

.

Diese Formel verbindet die komplexen Zahlen mit der Trigonometrie, sodass die komplexen Zahlen trigonometrisch dargestellt werden können. Der Ausdruck kann auch verkürzt als dargestellt werden.

Geschichte

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Abraham de Moivre fand diesen Satz im ersten Jahrzehnt des 18. Jahrhunderts.[3] De Moivre selbst erhielt die Formel nach eigener Aussage von seinem Lehrer Isaac Newton[4] und verwendete sie in verschiedenen seiner Schriften, auch wenn er sie nie explizit niederschrieb (das tat erst Leonhard Euler 1748, Introductio in analysin infinitorum, wo er auch die Eulersche Formel aufstellte).

Herleitung

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Der Moivresche Satz kann mit der Eulerformel

 

der komplexen Exponentialfunktion und ihrer Funktionalgleichung

 

abgeleitet werden.

Ein alternativer Beweis ergibt sich aus der Produktdarstellung (siehe Additionstheoreme)

 

per vollständiger Induktion.

Anwendungen

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Ziehen der n-ten Wurzel aus einer komplexen Zahl

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Der Moivresche Satz führt schnell zu einer Formel für die  -ten Wurzeln einer komplexen Zahl: Jede komplexe Zahl   hat genau    -te Wurzeln, die gegeben sind durch[5]

 

Manchmal wird auch diese Formel als Formel von de Moivre bezeichnet.[6]

Verallgemeinerung

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Für   ist

 

eine mehrwertige Funktion, aber nicht

 

Dadurch gilt

 

Siehe auch

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Literatur

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  • Anton von Braunmühl: Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie. Geschichte der Trigonometrie. Enthält: Teil 1 – Von den ältesten Zeiten bis zur Erfindung der Logarithmen, Teil 2 – Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die Gegenwart. Reprografischer Nachdruck der 1. Auflage. M. Sändig, Niederwalluf bei Wiesbaden 1971, ISBN 3-500-23250-7 (Erstauflage bei Teubner, Leipzig, 1900–1903).
  • Hans Kerner, Wolf von Wahl: Mathematik für Physiker. 3. überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-37653-5.

Einzelnachweise

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  1. Braunmühl (1971), Teil 2, S. 75.
  2. Kerner und Wahl (2013), S. 70.
  3. Braunmühl (1971), Teil 2, S. 78.
  4. Nahin, An imaginary tale, Princeton University Press 1998, S. 56.
  5. Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 38.
  6. Gerhard Merziger, Thomas Wirth: Repetitorium höhere Mathematik. 6. Auflage. Binomi Verlag, Hannover 2010, ISBN 978-3-923923-34-2, S. 103.