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In der Algebra werden Zahlen, deren -te Potenz die Zahl 1 ergibt, -te Einheitswurzeln genannt.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein kommutativer Ring mit Einselement und   eine natürliche Zahl. Ein Element   heißt eine  -te Einheitswurzel, wenn es eine der beiden gleichwertigen Bedingungen erfüllt:

  •  
  •   ist Nullstelle des Polynoms  

Die  -ten Einheitswurzeln in   bilden eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe  , die oft mit   bezeichnet wird.

Eine  -te Einheitswurzel   heißt primitiv, falls   für   gilt.

Einheitswurzeln in den komplexen ZahlenBearbeiten

Im Körper   der komplexen Zahlen sind

 

die  -ten Einheitswurzeln, wobei   die imaginäre Einheit ist. Setzt man

 ,

so ist   primitiv, und diese Zahlen bekommen (in der gleichen Reihenfolge) die einfache Gestalt

 .

Ist klar, um welches   es sich handelt, lässt man den unteren Index häufig fallen.

Gruppe der EinheitswurzelnBearbeiten

Da   und mit   und   auch   Einheitswurzeln sind, ist die Menge   aller Einheitswurzeln eine Gruppe. Die Abbildung

 

ist surjektiv. Der Kern dieser Abbildung ist  . Die Gruppe der komplexen Einheitswurzeln ist daher isomorph zu der Faktorgruppe  .

Geometrischer BezugBearbeiten

Die  -ten Einheitswurzeln lassen sich in der komplexen Zahlenebene geometrisch anschaulich interpretieren: Sie sind die auf dem Einheitskreis (mit Mittelpunkt 0 und Radius 1) liegenden Ecken eines regelmäßigen  -Ecks, wobei eine der Ecken die Zahl   ist, denn diese ist für jedes   eine  -te Einheitswurzel.

Realteil und Imaginärteil der Einheitswurzeln   sind damit die Koordinaten der Ecken des  -Ecks auf dem Kreis, d. h. für   ist

     und    .

Mehr siehe unter Radizieren komplexer Zahlen.

Summe der EinheitswurzelnBearbeiten

Ist   eine  -te Einheitswurzel, so gilt

 

Diese Aussage folgt unmittelbar aus der geometrischen Summenformel und ist ein Spezialfall der analogen Aussage für Charaktere von Gruppen.

BeispieleBearbeiten

Die zweiten, dritten und vierten EinheitswurzelnBearbeiten

 
Die Funktion  
 
Die dritten Einheitswurzeln

Die zweiten Einheitswurzeln sind

 ;

die dritten Einheitswurzeln sind

 ;

die vierten Einheitswurzeln sind wieder von einfacherer Form:

 .

Die fünften EinheitswurzelnBearbeiten

 
Die Funktion  
 
Die fünften Einheitswurzeln

Aus   folgt

 

für  . Lösen dieser quadratischen Gleichung liefert  . Da der Winkel   im 1. Quadranten liegt, ist   positiv, und damit ist   der Realteil von  . Der Imaginärteil ist nach dem Satz des Pythagoras  .

Eigenschaften der EinheitswurzelnBearbeiten

Einheitswurzeln in (kommutativen) KörpernBearbeiten

Ist   die Charakteristik des Körpers  , dann ist   eine  -fache Nullstelle des Polynoms  . Ist   nicht Teiler der Ordnung  , dann gelten die folgenden Aussagen auch für Körper mit Primzahlcharakteristik  . Für zusätzliche Eigenschaften der Einheitswurzeln in solchen Körpern siehe Endlicher Körper#Multiplikative Gruppe und diskreter Logarithmus.

  • Ist   ein (kommutativer) Körper und  , dann bilden die Elemente   mit   eine zyklische Untergruppe   der multiplikativen Gruppe  .
  • Die Gruppenordnung von   ist stets ein Teiler von  .
  • Ist sie gleich  , so sagt man,   „enthält die  -ten Einheitswurzeln“ und nennt   „die Gruppe der  -ten Einheitswurzeln“.
  • Eine  -te Einheitswurzel ist genau dann primitiv, wenn sie die Gruppe der  -ten Einheitswurzeln erzeugt. Die Ordnung einer primitiven  -ten Einheitswurzel   ist  . Die primitiven  -ten Einheitswurzeln sind genau die Nullstellen des  -ten Kreisteilungspolynoms.
  • Ist   eine primitive  -te Einheitswurzel, dann ist   eine primitive  -te Einheitswurzel (größter gemeinsamer Teiler).
  • Die Anzahl der primitiven  -ten Einheitswurzeln ist   (Eulersche Phi-Funktion).
  • Erweiterungen von  , die durch Adjunktion von Einheitswurzeln entstehen, heißen Kreisteilungskörper.
  • Eine endliche multiplikative Untergruppe   eines (kommutativen) Körpers   ist zyklisch.

Beweis der letzten Aussage:   ist eine abelsche Torsionsgruppe. Sie ist also zu einem direkten Produkt

    mit    

isomorph (  := Menge der positiven Primzahlen). Und die   sind zyklisch, weil die Gruppenelemente der Ordnung   allesamt Nullstellen von   sind und damit Potenzen voneinander. Schließlich ist wegen der Teilerfremdheit von Potenzen verschiedener Primzahlen das direkte Produkt zyklisch.

Beispiel für Einheitswurzeln in nicht-kommutativen (Schief)körpernBearbeiten

Im nicht-kommutativen Schiefkörper der Quaternionen   hat das Polynom   die unendlich vielen Nullstellen

 

mit

 .

Die Quaternionengruppe ist eine endliche nicht-kommutative Untergruppe der multiplikativen Gruppe  . Sie hat die Ordnung 8 und den Exponenten 4. Für weitere endliche Untergruppen von   siehe Quaternion#Die endlichen Untergruppen.

Einheitswurzeln in RestklassenringenBearbeiten

  • Im Ring   der ganzen Zahlen modulo   ist die Zahl   eine primitive  -te Einheitswurzel, denn in diesem Ring gilt  .
  • Im Ring   der ganzen Zahlen modulo   ist die Zahl   eine primitive  -te Einheitswurzel.

Diese beiden speziellen Restklassenringe sind für die Computeralgebra höchst bedeutsam, denn sie ermöglichen eine nochmals drastisch beschleunigte Variante der schnellen diskreten Fouriertransformation. Dies liegt darin begründet, dass Addition und Multiplikation dieser Restklassenringe durch entsprechende zyklische Addition und Multiplikation in einem unwesentlich größeren Restklassenring ersetzt werden können, und damit in binärer Zahlendarstellung die Multiplikation mit Potenzen der Zahl   eine zyklische binäre Shift-Operation bedeutet, was wesentlich schneller durchführbar ist als eine allgemeine Multiplikation zweier Zahlen. Die erhebliche Zeitersparnis für die diskrete Fourier-Transformation ergibt sich aus der Tatsache, dass während der schnellen Fouriertransformation viele Multiplikationen mit der gewählten Einheitswurzel durchzuführen sind.

LiteraturBearbeiten