Gruppenexponent

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponenten einer Gruppe die kleinste natürliche Zahl , für die (Potenz eines Gruppenelements) für alle Gruppenelemente gilt.[1] Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, habe Exponent (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).

EigenschaftenBearbeiten

BeispieleBearbeiten

  • Für die primen Restklassengruppen   erhält man den Gruppenexponenten durch die Carmichael-Funktion.
  • Der Gruppenexponent von   mit einer Primzahl   ist gleich der Gruppenordnung  .
  • Der Gruppenexponent von   ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
  • Der Körper   mit   Elementen, aufgefasst als additive Gruppe, hat Gruppenordnung   und Gruppenexponent   (vergleiche Charakteristik eines Körpers).
  • Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der Polynomring   und der algebraische Abschluss von  , jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik  ) in der additiven Verknüpfung.
  • Jedes Element   der (unendlichen) Torsionsgruppe   hat die endliche Ordnung  , wenn   gilt und   zu   teilerfremd ist. Da die Elementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist  .

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wikiversity. Abgerufen am 13. August 2012.
  2. matheplanet.com: Beitrag No. 7 von Gockel. Abgerufen am 13. August 2012.