Hauptmenü öffnen

Quadratische Gleichung

Gleichung mit einem Polynom zweiten Grades deren Lösungsmenge ihre Nullstellen ergibt

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form

mit schreiben lässt. Hierbei sind Koeffizienten; ist die Unbekannte. Ist , spricht man von einer reinquadratischen Gleichung.

Die linke Seite dieser Gleichung ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades), ; der Funktionsgraph dieser Funktion im Kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung die Nullstellen dieser Parabel.

Inhaltsverzeichnis

Allgemeine Form und NormalformBearbeiten

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet

 

Dabei heißt   quadratisches Glied,   lineares Glied und   konstantes Glied (oder auch Absolutglied) der Gleichung.

Die Gleichung ist in Normalform, falls  , also wenn das quadratische Glied den Koeffizient 1 hat. Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform durch Äquivalenzumformungen gewinnen, indem durch   dividiert wird. Mit der Definition

    und    

lässt sich die Normalform somit schreiben als

 

Im Folgenden werden zunächst quadratische Gleichungen mit reellen Zahlen als Koeffizienten  ,   und   bzw. als   und   betrachtet.

Lösungen der quadratischen Gleichung mit reellen KoeffizientenBearbeiten

Eine Lösung der quadratischen Gleichung ist eine Zahl, die die Gleichung erfüllt, wenn sie für   eingesetzt wird. Jede quadratische Gleichung hat, wenn man komplexe Zahlen als Lösungen zulässt, genau zwei (gegebenenfalls zusammenfallende) Lösungen, auch Wurzeln der Gleichung genannt. Betrachtet man nur die reellen Zahlen, so hat eine quadratische Gleichung null bis zwei Lösungen.

Anzahl der reellen NullstellenBearbeiten

Die Anzahl der Lösungen lässt sich mit Hilfe der sog. Diskriminante   (von lateinisch „discriminare“ = „unterscheiden“) bestimmen. Im allgemeinen Fall ist  , im normierten Fall ist   (zur Herleitung siehe unten):

 
Lage der Parabeln und Auswirkungen auf die Zahl der Nullstellen

Die Grafik zeigt den Zusammenhang zwischen der Anzahl der reellen Nullstellen und der Diskriminante:

  • (A) Diskriminante positiv: Die Parabel hat zwei Schnittpunkte mit der  -Achse, es gibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen   und  .
  • (B) Diskriminante Null: Die Parabel hat genau einen Berührpunkt mit der  -Achse, nämlich ihren Scheitelpunkt. Es gibt somit genau eine (doppelte) reelle Lösung. Die quadratische Gleichung lässt sich auf die Form   bringen.
  • (C) Diskriminante negativ: Die Parabel hat keinen Schnittpunkt mit der  -Achse, es gibt keine reellen Lösungen der quadratischen Gleichung. Lässt man komplexe Zahlen als Grundmenge für die Lösungen zu, erhält man zwei verschiedene komplexe Lösungen. Diese sind zueinander konjugiert, das heißt, sie haben den gleichen Realteil und ihre Imaginärteile unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Einfache SpezialfälleBearbeiten

Ist der Koeffizient des linearen Gliedes   oder das absolute Glied  , so lässt sich die quadratische Gleichung durch einfache Äquivalenzumformungen lösen, ohne dass eine allgemeine Lösungsformel benötigt würde.

Fehlendes lineares GliedBearbeiten

Die reinquadratische Gleichung   mit   ist äquivalent zu

 

Die Lösungen lauten

 

Im reellen Fall existieren für   keine reellen Lösungen. Die komplexen Lösungen sind dann

 

Zum Beispiel hat die Gleichung   die Lösungen  . Die Gleichung   hat keine reellen Lösungen, die komplexen Lösungen lauten  .

Fehlendes konstantes GliedBearbeiten

Aus der Gleichung   ergibt sich durch Ausklammern  , d. h., es muss   oder   gelten. Die beiden Lösungen lauten also

  und  

Zum Beispiel hat die Gleichung   die Lösungen   und  .

Gleichung in ScheitelpunktformBearbeiten

Die Scheitelpunktform

 

ist eine Variation der reinquadratischen Gleichung  . Sie kann wie diese durch „Rückwärtsrechnen“ gelöst werden: Zunächst subtrahiert man   und dividiert durch  . Dies führt zu

 .

Für   ergibt sich daraus

  oder  .

Durch Addition von   erhält man die Lösungen

  und  .

Für   erhält man entsprechend die beiden komplexen Lösungen

  und  .

Beispiel:

 

Lösen mit quadratischer ErgänzungBearbeiten

Beim Lösen mit quadratischer Ergänzung werden die binomischen Formeln benutzt, um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form oder in Normalform auf die Scheitelpunktform zu bringen, die dann einfach aufgelöst werden kann.

Man verwendet die erste bzw. zweite binomische Formel in der Form  . Dazu wird die quadratische Gleichung so umgeformt, dass die linke Seite die Form   hat. Danach wird auf beiden Seiten   addiert. Dies ist die „quadratische Ergänzung“. Die linke Seite hat nun die Gestalt   und kann mit der binomischen Formel zu   umgeformt werden. Danach liegt die Gleichung in der leicht aufzulösenden Scheitelpunktform vor.

Dies wird am besten anhand eines konkreten Zahlenbeispiels erklärt. Betrachtet wird die quadratische Gleichung

 

Zunächst wird die Gleichung normiert, indem man durch den Leitkoeffizienten (hier 3) dividiert:

 

Das konstante Glied (hier 6) wird auf beiden Seiten subtrahiert:

 

Nun folgt die eigentliche quadratische Ergänzung: Die linke Seite muss so ergänzt werden, dass sich eine binomische Formel (hier die zweite) rückwärts anwenden lässt. Das   aus der obigen binomischen Formel ist dann  , also muss auf beiden Seiten der Gleichung   addiert werden:

 

Die linke Seite wird nach der binomischen Formel umgeformt, die rechte Seite vereinfacht:

 

Dies führt zu

 ,

also zu den beiden Lösungen   und  .

Allgemeine LösungsformelnBearbeiten

Man kann quadratische Gleichungen auch lösen, indem man eine der mit Hilfe der quadratischen Ergänzung hergeleiteten allgemeinen Lösungsformeln verwendet.

Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung (a-b-c-Formel)Bearbeiten

Die Lösungen der allgemeinen quadratischen Gleichung   lauten:

 

Die Formel wird in Teilen Deutschlands und der Schweiz umgangssprachlich als „Mitternachtsformel“ bezeichnet, weil Schüler sie aufsagen können sollen, selbst wenn man sie um Mitternacht weckt und nach der Formel fragt. In Österreich ist der Ausdruck große Lösungsformel gebräuchlich.

Wenn man die Gleichung in der Form

 

angibt (d. h. mit  ), erhält man die etwas einfachere Lösungsformel

 
Lösung der a-b-c-Formel bei negativer DiskriminanteBearbeiten

Ist die oben eingeführte Diskriminante   negativ, so ist für die Lösungen die Wurzel einer negativen Zahl zu berechnen. Im Zahlbereich der reellen Zahlen gibt es hierfür keine Lösungen. Im Bereich der komplexen Zahlen gilt  . Dieser Term bestimmt den Imaginärteil der beiden zueinander konjugierten Lösungen, einmal mit positivem, einmal mit negativem Vorzeichen. Der Term davor mit   wird zum konstanten Realteil der beiden Lösungen:

  (komplexer Fall bei negativer Diskriminante).
Herleitung der a-b-c-FormelBearbeiten

Aus der allgemeinen Form ergibt sich durch Umformen nach dem Verfahren der quadratischen Ergänzung:

 

Lösungsformel für die Normalform (p-q-Formel)Bearbeiten

Bei Vorliegen der Normalform   lauten die Lösungen nach der p-q-Formel

 

In Österreich ist diese Formel als kleine Lösungsformel bekannt.

Lösung der p-q-Formel bei negativer DiskriminanteBearbeiten

Wie bei der a-b-c-Formel gibt es, wenn   negativ ist, im Zahlbereich der reellen Zahlen keine Lösungen. Die komplexen Lösungen ergeben sich dann zu:

 
Herleitung der p-q-FormelBearbeiten

Die Formel ergibt sich aus der Normalform der quadratischen Gleichung durch quadratische Ergänzung:

 

Eine andere Möglichkeit, die Formel herzuleiten, besteht darin, dass man in der a-b-c-Formel  ,   und   setzt und den Nenner 2 in die Wurzel hineinzieht.

Zerlegung in LinearfaktorenBearbeiten

Mit den Lösungen lässt sich das quadratische normierte Polynom in Linearfaktoren zerlegen:

 

und das nicht normierte in

 

Satz von VietaBearbeiten

Liegt die quadratische Gleichung in Normalform vor und hat die Lösungen   und  , so gilt

 .

Durch Koeffizientenvergleich erhält man den Satz von Vieta

    und    .

Insbesondere wenn   und   ganze Zahlen sind, lassen sich so durch Ausprobieren, ob Teilerpaare von   als Summe   ergeben, mit einiger Übung oft die Lösungen rasch finden. Beispielsweise erhält man für   die Lösungen   und   durch die Zerlegung   mit  .

Numerische BerechnungBearbeiten

Wenn die Lösungen numerisch ermittelt werden und sich um Größenordnungen voneinander unterscheiden, kann durch folgende Variation der obigen Formeln das Problem der Auslöschung vermieden werden:

 
 

Hierbei hat   den Wert   für   und sonst den Wert  . Die zweite Formel beruht auf dem Satz von Vieta.

BeispielBearbeiten

Für die Gleichung

 

ergeben sich als Lösungen nach der a-b-c-Formel

 

also   und  .

Zur Nutzung der p-q-Formel wird die allgemeine Form zuerst in die Normalform überführt, indem die Gleichung durch 4 dividiert wird:

 

Es ergeben sich nach der p-q-Formel die Lösungen

 

also somit ebenfalls   und  .

Mit Hilfe der Zerlegungen   und   erhält man dieselben Lösungen mit dem Satz von Vieta.

Weitere Beispiele
  Für die Diskriminante   gilt:  . Es ergeben sich die beiden reellen Lösungen   und  
  Die Diskriminante ist   . Die (doppelte) reelle Lösung ist  .
  Es gibt keine reellen Lösungen, denn die Diskriminante ist negativ. Die komplexen Lösungen ergeben sich zu   und  .

VerallgemeinerungenBearbeiten

Komplexe KoeffizientenBearbeiten

Die quadratische Gleichung

 

mit komplexen Koeffizienten  ,   hat stets zwei komplexe Lösungen  , die genau dann zusammenfallen, wenn die Diskriminante   gleich null ist.

Die Lösungen lassen sich wie im reellen Fall durch quadratische Ergänzung oder mit den oben angegebenen Lösungsformeln berechnen. Dabei muss allerdings im Allgemeinen eine Quadratwurzel einer komplexen Zahl berechnet werden.

BeispielBearbeiten

Für die quadratische Gleichung

 

hat die Diskriminante den Wert  . Es ergeben sich die beiden Lösungen   und  .

Quadratische Gleichungen in allgemeinen RingenBearbeiten

Allgemein nennt man in der abstrakten Algebra eine Gleichung der Form

 

mit Elementen p, q eines Körpers oder Rings eine quadratische Gleichung. In Körpern und allgemeiner in Integritätsbereichen hat sie höchstens zwei Lösungen, in beliebigen Ringen kann sie mehr als zwei Lösungen haben.

Falls Lösungen existieren, dann erhält man sie in kommutativen Ringen ebenfalls mit der p-q-Formel, falls die Charakteristik des Ringes ungleich 2 ist. Hierbei sind allerdings alle möglichen Quadratwurzeln der Diskriminante zu berücksichtigen. Für einen endlichen Körper   der Charakteristik 2 macht man den Ansatz   und gelangt mittels   zu einem linearen Gleichungssystem für die n Koeffizienten ai aus  .

BeispielBearbeiten

Die quadratische Gleichung

 

hat im Restklassenring   die vier Lösungen 1, 3, 5 und 7.

GeschichteBearbeiten

Bereits vor 4000 Jahren im Altbabylonischen Reich wurden quadratische Gleichungen gelöst, beispielsweise auf folgende Art: Die quadratische Gleichung   ist äquivalent dem Gleichungssystem   und  . Für x wird nun der Ansatz   bzw.   gemacht. Für das Produkt   ergibt sich

 .

Auflösen der binomischen Formel liefert

 .

Mit   ist damit auch die Lösung   der quadratischen Gleichung bestimmt. Als Beispiel wird die Gleichung   besprochen. Diese ist äquivalent dem Gleichungssystem   und  . Der oben genannte Ansatz liefert

 

Für die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt sich

 .

Die Griechen kannten keine negative Zahlen und mussten für die quadratische Gleichung mehrere Fallunterscheidungen durchführen. Gleichungen der Art

 

werden bei Euklid (II 11) geometrisch gelöst; die Formen

  bzw.  

in Euklid (VI 28) bzw. (VI 29).

 
geometrische Lösung der Gleichung   nach Brahmagupta

Bei Aryabhata und Brahmagupta wird etwa um 628 n. Chr. die Lösung der Gleichung

 

mit Worten beschrieben. Wie man aus dem Bild (links) ersieht, gilt die folgende Zerlegung des Quadrats:

 .

Dies liefert sofort die Lösung in heutiger Schreibweise als

 .

Al-Chwarizmi stellte als Erster ungefähr um 825 n. Chr. in dem Buch al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-ʾl-muqābala („Das kurzgefasste Buch über die Rechenverfahren durch Ergänzen und Ausgleichen“) sechs verschiedenen Typen von quadratischen Gleichungen dar. Die Notwendigkeit von verschiedenen Typen entsteht aus der Nichtkenntnis von negativen Zahlen und der Null. Er gab zu allen Typen anhand eines Zahlenbeispiels ein geometrisches Lösungsverfahren an, wodurch nur positive Lösungen möglich waren.

Die sechs Typen stellte er als Text dar. Dabei bedeutet Wurzel die gesuchte Lösung   und Vermögen das Quadrat der Lösung  :

  • Was anlangt die Vermögen, die gleich sind den Wurzeln (heute:  ),
  • Was anlangt die Vermögen, die gleich sind der Zahl (heute:  ),
  • Was anlangt die Wurzeln, die gleich sind einer Zahl (heute:  ),
  • Was anlangt die Vermögen und die Wurzeln, die gleich sind der Zahl (heute:  ),
  • Was anlangt die Vermögen und die Zahl, die gleich sind den Wurzeln (heute:  ) und
  • Was anlangt die Wurzeln und die Zahl, die gleich sind dem Vermögen (heute:  ) .

Dabei stehen a,b und c für nichtnegative Koeffizienten und x für die gesuchte Lösung.[1][2]

 
geometrische Lösung der Gleichung   nach Euklid

Als Beispiel soll die Gleichung, wie sie bei al-Chwarizmi auftritt,

 

als Spezialfall von   mit   geometrisch gelöst werden (siehe Bild). Man fasst dazu die linke Seite der Gleichung auf als ein Quadrat EFIH der Seitenlänge   (und somit der Fläche  ) und zwei Rechtecke DEHG und BCFE mit den Seiten   und   (und somit jeweils der Fläche  ). Das Quadrat und die beiden Rechtecke werden wie im Bild gezeigt zu einem Gnomon mit den Eckpunkten BCIGDE zusammengesetzt. Dieses Gnomon hat nach Voraussetzung eine Fläche von  . Ergänzt man es mit dem Quadrat ABED der Seitenlänge   (und somit der Fläche  ) zu dem Quadrat ACIG, so besitzt dieses die Fläche  . Andererseits hat aber dieses Quadrat ACIG nach Konstruktion die Seitenlänge   und somit den Flächeninhalt  . Wegen   schließt man   und somit  . Die quadratische Gleichung wird also »quadratisch ergänzt« zu   mit der (positiven) Lösung  . Man beachte, dass man mit dieser geometrischen Methode nicht die negative Lösung   erhält.

Bei Heron von Alexandria und auch bei al-Chwarizmi wird die Lösung von

 

verbal beschrieben; in heutiger Schreibweise als

 .

Allerdings schiebt Heron den euklidischen Weg als geometrische Begründung nach.

Um 1145 übersetzte Robert von Chester und etwas später Gerhard von Cremona die Schriften von al-Chwarizmi ins Lateinische.[3]

Dadurch gelangte die Klassifizierung und die geometrischen Lösungsmethoden nach Europa.

Michael Stiefel verfasste 1544 n. Chr. das Buch "Arithmetica integra", das auf das Buch "Behend vnnd Hubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre so gemeincklich die Coss genennt werden" von Christoph Rudolff aufbaut. Es gelingt dem Autor durch Verwendung negativer Zahlen die Fallunterscheidung für quadratische Gleichungen zu vermeiden. Aber er lässt negative Zahlen noch nicht als Lösungen zu, da er sie als absurd empfindet.[4]

Einen neuen Ansatz zur Lösung einer quadratischen Gleichung bot der Wurzelsatz von Vieta, der posthum 1615 in seinem Werk De Aequationem Recognitione et Emendatione Tractatus duo publiziert wurde.

Im Jahr 1637 beschrieb René Descartes in seiner Schrift La Géométrie eine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen mit Zirkel und Lineal. Er zeigte weiter, dass Gleichungen höheren Grades im Allgemeinen nicht ausschließlich mit Zirkel und Lineal gelöst werden können.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik – Band 1 Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 237–241, doi:10.1007/978-3-540-77192-0
  2. Helmuth Gericke: Mathematik in Antike, Orient und Abendland Fourier Verlag, 7. Auflage 2003, ISBN 3-925037-64-0, S. 198.
  3. Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik – Band 1 Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 278, doi:10.1007/978-3-540-77192-0
  4. Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik – Band 1 Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77189-0, S. 341–342, doi:10.1007/978-3-540-77192-0

LiteraturBearbeiten

  • Bartel Leendert van der Waerden: Erwachende Wissenschaft Bd. 1 („Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik“), 2. Aufl., Birkhäuser 1966.

WeblinksBearbeiten

  Commons: Quadratische Gleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien