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In der Gruppentheorie der Mathematik ist eine Untergruppe einer Gruppe eine Teilmenge von , die bezüglich der Verknüpfung selbst wieder eine Gruppe ist. Es gibt die Kurzschreibweise , zu lesen als   " ist Untergruppe von ".

Die Gruppe heißt Obergruppe der Untergruppe , in Zeichen .

Untergruppen sind die Unterstrukturen in der Gruppentheorie.

Inhaltsverzeichnis

Äquivalente DefinitionenBearbeiten

Eine nichtleere Teilmenge   von   bildet genau dann eine Untergruppe   von  ,

  1. wenn zu zwei beliebigen Elementen in   auch deren Verknüpfung in   ist, und mit jedem Element in   auch dessen Inverses.
  2. wenn für alle   gilt.
  3. wenn   eine Äquivalenzrelation auf   ist.
  4. wenn für alle   gilt.
Beweise  

Ist   Untergruppe, dann gelten alle 4 Kriterien.

Es gelte Kriterium 1.
Dann enthält   das neutrale Element   von  , welches sich auch als neutrales Element in   erweist.

Es gelte Kriterium 2.
Sei  . Dann ist mit   auch  . Wegen   ist auch  . Ist schließlich  , dann ist wegen   auch  .  ■

Es gelte Kriterium 3.
Die Reflexivität   bedeutet für   gemäß Kriterium  .
Setzt man  , dann folgt aus   wegen der Symmetrie   auch  .
Die Transitivität   bedeutet, dass aus   und   am Ende   folgt.  ■

Es gelte Kriterium 4.
Wegen   gibt es ein  .
Sei  .
Wegen   kann   nicht in   sein.
Wegen   kann   nicht in   sein.
Sei auch  .
Wegen   und   kann   nicht in   sein.  ■

Die Bezugnahme auf Elemente außerhalb von   in den Kriterien 3 und 4 ist eine scheinbare. Kriterium 3 ist  . Und der gegebene Beweis zu Kriterium 4 basiert darauf, dass der rechte Faktor nicht   sein kann, wenn das Produkt   ist. Insofern bleiben alle relevanten Verknüpfungen innerhalb  . Die Kriterien 3 und 4 sind auch völlig unabhängig von der Größe von  . So betrachtet sind sie besondere Formulierungen der Transitivität der Untergruppenrelation   (s. den § #Eigenschaften).

Je nach Art der Verknüpfung können verschiedene Kriterien zum Nachweis der Untergruppeneigenschaft von Vorteil sein. Das vierte Kriterium ist ohne Inversenbildung formuliert und kann daher ggf. in Fällen angewendet werden, bei denen die Inversenbildung Schwierigkeiten macht.

BeispieleBearbeiten

  • Die ganzen Zahlen   sind bezüglich der Addition eine Untergruppe der rationalen Zahlen  .
  • Jede Untergruppe von   hat die Form  .
  • Die Menge der geraden Permutationen   (Zyklenschreibweise) ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe  .
  • Die Gruppe der  -Matrizen mit Determinante 1 ist Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Matrizen.

Spezielle UntergruppenBearbeiten

  • Von einer Gruppe   sind stets   selbst sowie die einelementige Gruppe   Untergruppen. Diese werden die trivialen Untergruppen von   genannt. Im Fall   sind diese beiden Untergruppen gleich und stellen die einzige Untergruppe dar. Alle anderen Gruppen   haben mindestens zwei Untergruppen, nämlich die beiden voneinander verschiedenen trivialen.
  • Eine von   verschiedene Untergruppe   wird echte Untergruppe genannt, in Kurzschreibweise  .
  • Eine Untergruppe, die Kern eines Gruppenhomomorphismus der Gruppe   ist, heißt Normalteiler der Gruppe  . Mit ihr kann eine Faktorgruppe von   gebildet werden.
  • Eine Untergruppe, die unter allen Automorphismen der Gruppe in sich abgebildet wird, heißt charakteristische Untergruppe der Gruppe. Offenbar sind charakteristische Untergruppen Normalteiler.

EigenschaftenBearbeiten

Das neutrale Element einer Gruppe ist das neutrale Element jeder Untergruppe und somit ist es insbesondere in jeder Untergruppe enthalten.

Der Durchschnitt einer Familie von Untergruppen einer Gruppe   ist eine Untergruppe von  .

Die Untergruppenrelation ist transitiv. Das heißt, wenn   Untergruppe einer Gruppe   ist, die ihrerseits Untergruppe von   ist, dann ist   auch Untergruppe von  . Kurz gilt also

 

Zu beachten ist, dass die entsprechende Aussage für Normalteiler nicht gilt.

Der Satz von Lagrange liefert für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Untergruppe mit einer bestimmten Ordnung. Aus ihm folgt nämlich, dass die Ordnung einer Untergruppe   einer endlichen Gruppe   die Ordnung der Gruppe   teilt. Ist beispielsweise   eine Primzahl, so kann die Ordnung einer Untergruppe   nur 1 oder   betragen. Also sind in diesem Falle die trivialen Untergruppen die einzigen Untergruppen von  . Weitere Aussagen über die Existenz bestimmter Untergruppen mit einer bestimmten Ordnung erhält man aus den Sylow-Sätzen. Ist   eine Primzahl und   ein Teiler der Gruppenordnung, so gibt es Untergruppen der Ordnung  . Die 12-elementige alternierende Gruppe A4 hat keine Untergruppe der Ordnung 6.

Erzeugte UntergruppenBearbeiten

Da der Durchschnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge   einer Gruppe   eine bezüglich der Inklusion minimale Untergruppe von  , die   enthält. Diese Untergruppe wird mit   bezeichnet und die von   erzeugte Untergruppe   von   genannt. Abstrakt definiert man also

 

Man kann zeigen, dass die Elemente von   genau die Elemente von   sind, welche man durch Verknüpfungen von endlich vielen   erhält. Hierbei bezeichnet   die Menge der Inversen der Elemente von  . Es gilt also:

 

Gilt für eine Untergruppe  , dass  , so heißt   ein Erzeugendensystem von  . Das Erzeugendensystem einer Untergruppe ist nicht eindeutig.

Eine Untergruppe  , welche ein endliches Erzeugendensystem besitzt, wird als endlich erzeugte Gruppe bezeichnet. Besitzt   ein Erzeugendensystem aus einem Element  , so heißt   zyklisch und man schreibt  . Will man   explizit durch seine Elemente beschreiben, so erhält man:

 ,

Die Gruppenordnung   heißt die Ordnung des erzeugenden Elements  .

Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe   bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen   und   entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes. Dabei sind die Verbandsoperationen

  (Durchschnitt),
  (von der Vereinigung erzeugte Untergruppe).

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Untergruppe – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen