Satz von Lagrange

mathematischer Satz der Gruppentheorie

Der Satz von Lagrange ist ein mathematischer Satz der Gruppentheorie. Er besagt in seiner einfachsten Form, dass die Mächtigkeit (oder Ordnung) jeder Untergruppe einer endlichen Gruppe deren Mächtigkeit teilt. Er wurde nach dem italienischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange benannt.

AussageBearbeiten

Es seien   eine endliche Gruppe,   eine Untergruppe von  ,   der Index von   in  , also die Anzahl der Nebenklassen von   in  , und die Gruppenordnung werde mit   bezeichnet.

Dann gilt

 .

Insbesondere sind für   sowohl   als auch   Teiler von  .

Beweis des SatzesBearbeiten

Betrachte für jedes   die Linksnebenklasse  .

Es ist   eine Bijektion zwischen   und  , denn die Abbildung ist aufgrund der Definition einer Linksnebenklasse surjektiv und nach der Kürzungsregel   auch injektiv. Somit haben alle Linksnebenklassen die gleiche Mächtigkeit wie die Untergruppe  .

Da die Nebenklassen als Äquivalenzklassen der Äquivalenzrelation   definiert werden können, liefern sie eine Partition von  . Da jede Nebenklasse genau   Elemente hat und die Anzahl der Nebenklassen gleich   ist, folgt

 

was zu beweisen war.

FolgerungenBearbeiten

Da die Ordnung eines Gruppenelementes gerade die Ordnung der Untergruppe ist, die von diesem Element erzeugt wird, folgt aus dem Satz von Lagrange unmittelbar, dass die Ordnung eines Gruppenelementes stets die Ordnung der Gruppe teilt.

Aus diesem Resultat erhält man direkt den kleinen fermatschen Satz aus der Zahlentheorie und als weitere Verallgemeinerung den Satz von Euler.

Endliche Gruppen, deren Gruppenordnung eine Primzahl ist, sind nach dem Satz von Lagrange zyklisch und einfach. Da die Gruppenordnung eine Primzahl ist, kann es nämlich nach dem Satz von Lagrange nur die trivialen Untergruppen geben und somit erzeugt jedes nicht neutrale Element bereits die ganze Gruppe und es gibt nur die trivialen Normalteiler.

VerallgemeinerungBearbeiten

Sei   eine Gruppe,   Untergruppen. Dann erhält man mit zweimaliger Anwendung des Satzes von Lagrange

 

Wählt man   so erhält man daraus wieder den Satz von Lagrange.

Untergruppen zu gegebener OrdnungBearbeiten

Mit dem Satz von Lagrange hat man für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Untergruppe zu einer bestimmten Ordnung. Das Kriterium ist allerdings nicht hinreichend, das heißt im Allgemeinen gibt es für endliche Gruppen nicht zu jedem Teiler der Gruppenordnung auch eine Untergruppe, welche diese Ordnung hat. Die kleinste Gruppe, welche dies verdeutlicht, ist die Gruppe  .   hat   Elemente, aber keine Untergruppe der Ordnung  .

Dennoch gibt es bestimmte Gruppen, welche zu jedem Teiler der Gruppenordnung auch eine Untergruppe dieser Ordnung besitzen. Ein Beispiel sind die zyklischen Gruppen. Es gibt auch Sätze, welche die Existenz von Untergruppen bestimmter Ordnungen garantieren. Ein Beispiel hierfür sind die Sylow-Sätze.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten