Vier-Quadrate-Satz

mathematischer Satz der Zahlentheorie

Der Vier-Quadrate-Satz oder Satz von Lagrange ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Dieser Satz lautet:

Jede natürliche Zahl kann als Summe von vier Quadratzahlen geschrieben werden.

Beispiele:

4 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 + 0 + 0 + 0
7 = 4 + 1 + 1 + 1
31 = 25 + 4 + 1 + 1 = 9 + 9 + 9 + 4

Diese Aussage wurde 1621 von Bachet in seiner einflussreichen Diophant-Ausgabe vermutet und 1770 von Lagrange bewiesen,[1] mittels einer 1748 von Euler gefundenen Identität, die das Problem auf Primzahlen reduzierte.[2]

Natürliche Zahlen als Summe von QuadratzahlenBearbeiten

Es gibt natürliche Zahlen, die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen: So ist z. B. 20 = 16 + 4. Für 21 hingegen gibt es eine solche Darstellung nicht.

Da das Quadrat einer ungeraden Zahl immer   ist, gesprochen kongruent 1 modulo 4 oder den Rest 1 bei Division durch 4 lässt, gilt allgemein, dass eine natürliche Zahl   dann nicht als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar ist, wenn die Primfaktorzerlegung von   mindestens eine Primzahl   in ungerader Vielfachheit enthält, für die gilt:

 .

Beispiele:

14 = 2·7. Die 7 ist bezüglich 4 in der Restklasse 3. Also kann es keine Darstellung von 14 als Summe zweier Quadratzahlen geben.
98 = 2·7·7. Hier gilt zwar ebenfalls, dass 7 bezüglich 4 in der Restklasse 3 ist, aber in der Primfaktorzerlegung doppelt vorhanden, also kann es eine Darstellung von 98 als Summe zweier Quadratzahlen geben, nämlich 49+49.

Umgekehrt hat Fermat den sogenannten Zwei-Quadrate-Satz gefunden, dass jede Primzahl  , für die gilt:  , als Summe zweier Quadratzahlen darstellbar ist. Diese Erkenntnis wurde von dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi verwendet, um den Satz zu beweisen:

Eine beliebige natürliche Zahl   ist genau dann als Summe zweier Quadrate darstellbar, wenn in der Primfaktorzerlegung von   alle   in gerader Vielfachheit vorkommen.

Der deutsche Mathematiker Edmund Landau wies nach, dass die Anzahl solcher Zahlen, die sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen, verhältnismäßig klein ist.

Interessant ist nun die Fragestellung, wie viele Summanden im Höchstfall notwendig sind, um jede beliebige natürliche Zahl als Summe von Quadraten darzustellen. Diese Frage beantwortet der oben dargestellte Vier-Quadrate-Satz.

Bezug zum eulerschen Vier-Quadrate-SatzBearbeiten

Hat man mit

     und     

die Darstellungen zweier Zahlen n1 und n2 als Summe von 4 Quadraten, dann hat man über die Quaternionen

     und die Gleichung     

eine Darstellung auch des Produktes als Summe von 4 Quadraten:

 
 
 
 
 

Diese Identität hatte bereits Leonhard Euler 1748 entdeckt, sie ist als Eulerscher Vier-Quadrate Satz bekannt. Mit diesem Satz reduzierte er den Beweis des Satzes, dass jede Zahl sich als Summe von vier Quadratzahlen schreiben lässt, auf Primzahlen.[3] Sind nämlich Primzahlen als Summen von vier Quadraten darstellbar, so auch Produkte von Primzahlen; so auch alle natürlichen Zahlen, da sie Produkte von Primzahlen sind.

Verwandte Probleme und ResultateBearbeiten

Im Jahre 1798 behandelte Adrien-Marie Legendre die verwandte Frage der Summendarstellung von natürlichen Zahlen durch höchstens drei Quadratzahlen. Er fand und formulierte, dass eine natürliche Zahl immer dann aus drei oder weniger Quadratzahlen zusammengesetzt werden kann, wenn sie nicht von der Form   mit ganzzahligen   ist. Man nennt diesen Satz auch den Drei-Quadrate-Satz.[4]

Eine Lücke in Legendres Beweis wurde später von Carl Friedrich Gauß geschlossen, weshalb er auch als Satz von Gauß bekannt ist. Peter Gustav Lejeune Dirichlet und Edmund Landau fanden Vereinfachungen des Beweises.

Der Drei-Quadrate-Satz zieht nicht zuletzt den bekannten (und schon von Pierre de Fermat vermuteten) Satz nach sich, dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen darstellbar ist.[5]

In Erweiterung der dem Vier-Quadrate-Satz zugrundeliegenden Fragestellung behandelt das Waringsche Problem die Frage, ob es zu jedem Exponenten    eine Zahl   gibt, so dass jede natürliche Zahl sich als Summe von höchstens     -ten Potenzen schreiben lässt, und die daran anschließende Frage, auf welchem Wege die kleinstmögliche dieser Zahlen   zu finden sei. Dass solche   stets existieren, hat David Hilbert im Jahre 1909 bewiesen.[6]

Anzahl der DarstellungenBearbeiten

Bei der Berechnung der jeweiligen Anzahl von Darstellungen einer natürlichen Zahl   als Summe von vier Quadratzahlen kann man das Vorzeichen der quadrierten ganzen Zahlen und deren Ordnung berücksichtigen.

So ergeben sich beispielsweise für   dargestellt als Summe aus vier Quadraten
 
mit den Permutationen der Tupel   und   insgesamt   Darstellungen.

Eine Formel für die Anzahl solcher Darstellungen liefert der Satz von Jacobi.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 5. Auflage, Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-43579-4, S. 154–167.
  • Otto Forster: Algorithmische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-3-663-09240-7 (Print) 978-3-663-09239-1 (Online), S. 228–237
  • Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. Chapter XI: Represantations of Natural Numbers as Sums of Non-Negative kth Powers (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u. a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0, S. 378 ff. (MR0930670).

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. S. 421 in John Stillwell: Mathematics and its history. 3. Auflage. Springer, New York 2010, ISBN 978-1-4419-6052-8, doi:10.1007/978-1-4419-6053-5.
  2. S. 423 in John Stillwell: Mathematics and its history. 3. Auflage. Springer, New York 2010, ISBN 978-1-4419-6052-8, doi:10.1007/978-1-4419-6053-5.
  3. Vgl. Brief von Leonhard Euler an Christian Goldbach (4. Mai 1748 / 12. April 1749).
  4. Vgl. Adrien-Marie Legendre: Essai sur la Theorie des Nombres. 2. Auflage. Paris 1808, S. 293–339 (Théorie des Nombres considérés comme décomposables en trois quarrés).
  5. Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers 1988, S. 391–392
  6. David Hilbert: Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem). In: Mathematische Annalen, 67, 1909, S. 281–300. Vgl. Erhard Schmidt: Zum Hilbertschen Beweise des Waringschen Theorems. (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe.) In: Mathematische Annalen, 74, 1913, Nr. 2, S. 271–274.