Einfache Gruppe (Mathematik)

Eine einfache Gruppe ist ein mathematisches Objekt der Algebra, das insbesondere in der Gruppentheorie betrachtet wird.

Jede Gruppe hat sich selbst und die nur das neutrale Element enthaltende Menge als Normalteiler. Damit stellt sich die Frage, welche Gruppen keine weitere Normalteiler besitzen. Bei diesen handelt es sich per definitionem gerade um die einfachen Gruppen.

DefinitionBearbeiten

Eine Gruppe   heißt einfach, falls sie als Normalteiler nur   und   mit dem neutralen Element   hat. Außerdem wird zusätzlich   gefordert,[1] wonach man knapper sagen kann: Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie genau zwei Normalteiler besitzt.

Endliche einfache GruppenBearbeiten

Endliche einfache Gruppen gelten in der Gruppentheorie als „Grundbausteine“ der endlichen Gruppen, da sich jede endliche Gruppe in endlich vielen Schritten aus einfachen Gruppen konstruieren lässt. Seit 1982 sind die endlichen einfachen Gruppen vollständig klassifiziert, die Liste besteht aus

Unendliche einfache GruppenBearbeiten

Unendliche einfache Gruppen sind nicht abelsch.

BeispieleBearbeiten

  • Die unendliche alternierende Gruppe  , das heißt die Gruppe der endlichen geraden Permutationen der natürlichen Zahlen, ist einfach. Diese Gruppe kann als direkter Limes aller   unter den Standardeinbettungen   konstruiert werden.
  • Jede von der zweielementigen Gruppe   verschiedene Gruppe mit genau zwei Konjugationsklassen ist eine unendliche einfache Gruppe.

Einfache Lie-GruppenBearbeiten

Abweichend von der in der Gruppentheorie üblichen obigen Definition bezeichnet man in der Theorie der Lie-Gruppen (nicht zu verwechseln mit obigen Gruppen vom Lie-Typ) eine zusammenhängende Lie-Gruppe als einfache Lie-Gruppe, wenn ihre Lie-Algebra eine einfache Lie-Algebra ist.

Das ist äquivalent zu der Bedingung, dass alle echten Normalteiler diskrete Untergruppen sind oder dass es keine nichttrivialen zusammenhängenden Normalteiler gibt.

Beispielsweise ist SL(2,R) eine einfache Gruppe im Sinne der Lie-Gruppen-Theorie, hat aber den Normalteiler  . Der Quotient   ist eine einfache Gruppe auch im Sinne der in der Gruppentheorie üblichen Definition.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. John D. Dixon: Problems in group theory. Dover Publications, Mineola, N.Y. 2007, ISBN 978-0-486-45916-5, S. xv.