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In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine Gruppe, die von einem einzelnen Element erzeugt wird. Sie besteht nur aus Potenzen des Erzeugers :

Eine Gruppe ist also zyklisch, wenn sie ein Element enthält, sodass jedes Element von eine Potenz von ist. Gleichbedeutend damit ist, dass es ein Element gibt, sodass selbst die einzige Untergruppe von ist, die enthält. In diesem Fall wird ein erzeugendes Element oder kurz ein Erzeuger von genannt.

Zyklische Gruppen sind die einfachsten Gruppen und können vollständig klassifiziert werden: Für jede natürliche Zahl (für diese Aussage betrachten wir 0 nicht als natürliche Zahl) gibt es eine zyklische Gruppe mit genau Elementen, und es gibt die unendliche zyklische Gruppe, die additive Gruppe der ganzen Zahlen . Jede andere zyklische Gruppe ist zu einer dieser Gruppen isomorph.

Inhaltsverzeichnis

VeranschaulichungBearbeiten

DrehgruppenBearbeiten

Die endlichen zyklischen Gruppen können veranschaulicht werden als Drehgruppen regulärer Vielecke in der Ebene. Zum Beispiel besteht die Gruppe   aus den möglichen Drehungen der Ebene, die ein vorgegebenes Quadrat in sich überführen.

 

Die obenstehende Abbildung zeigt ein Quadrat A und die Stellungen B, C und D, in die es durch Drehen überführt werden kann. Darunter ist jeweils die dazu nötige Drehung angegeben. Die Elemente der zyklischen Gruppe sind hier die Bewegungen und nicht die Stellungen des Quadrats. Das heißt, die Gruppe   besteht in dieser Darstellung aus der Menge {0°, 90°, 180°, 270°}. Die Verknüpfung der Elemente ist die Hintereinanderausführung der Drehungen; das entspricht einer Addition der Winkel. Dabei stimmt die Drehung um 360° mit der Drehung um 0° überein, die Winkel werden also genau genommen modulo 360° addiert.

Lässt man nicht nur Drehungen der Ebene zu, sondern auch Spiegelungen, dann erhält man im Fall von Vielecken die so genannten Diedergruppen.

Die Drehgruppe des Kreises,  , ist nicht zyklisch.

RestklassengruppenBearbeiten

Eine andere Darstellung einer zyklischen Gruppe liefert die Addition modulo einer Zahl, die so genannte Restklassenarithmetik. In der additiven Gruppe   ist die Restklasse der 1 ein Erzeuger, das heißt, man kann jede andere Restklasse erhalten, indem man die 1 wiederholt mit sich selbst addiert. Am Beispiel   bedeutet dies, dass sich alle 4 Elemente als Summe von 1 darstellen lassen, also 1 = 1, 2 = 1+1, 3 = 1+1+1, 0 = 1+1+1+1. Die Restklassengruppe   verhält sich genauso wie die oben beschriebene Drehgruppe {0°, 90°, 180°, 270°}: 0 entspricht 0°, 1 entspricht 90° usw: Diese beiden Gruppen sind isomorph.

NotationenBearbeiten

Für die endlichen zyklischen Gruppen sind im Wesentlichen die drei Notationen verbreitet:  ,   und  . Für die nichtendliche zyklische Gruppe gibt es die Notationen   und  . Als Gruppenoperation wird in  ,   und   auf die Addition Bezug genommen. In   wird die Gruppenoperation oft auch multiplikativ geschrieben.

Die Bezeichnungen  ,   und   rühren daher, dass die additiven Gruppen der Restklassenringe   und von   selbst die bekanntesten Vertreter zyklischer Gruppen sind. Alle diese Strukturen sind sogar Ringe, die neben der hier einschlägigen Addition auch eine (hier nicht verwendete) multiplikative Verknüpfung haben.[1]

Die Bezeichnung   wird außerdem für die n-adischen Zahlen verwendet.

EigenschaftenBearbeiten

Alle zyklischen Gruppen sind abelsche Gruppen.

Eine zyklische Gruppe kann mehrere Erzeuger haben. Die Erzeuger von   sind +1 und −1, die Erzeuger von   sind die Restklassen, die teilerfremd zu   sind; ihre Anzahl   wird von der Eulerschen φ-Funktion angegeben.

Ist allgemein   ein Teiler von  , dann ist   die Anzahl der Elemente von  , die die Ordnung   haben:

 .

Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen   und   ist genau dann zyklisch, wenn   und   teilerfremd sind; in diesem Fall ist das Produkt isomorph zu  .

Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist direktes Produkt endlich vieler (endlicher und unendlicher) zyklischer Gruppen.

Der Gruppenexponent einer endlichen zyklischen Gruppe ist gleich ihrer Ordnung. Jede endliche zyklische Gruppe ist isomorph zur additiven Gruppe des Restklassenring  , der Isomorphismus ist dabei der diskrete Logarithmus: Ist   ein Erzeuger von  , dann ist die Abbildung

  mod  

ein Isomorphismus.

Untergruppen und FaktorgruppenBearbeiten

Alle Untergruppen und Faktorgruppen von zyklischen Gruppen sind zyklisch. Insbesondere sind die Untergruppen von   von der Form   mit einer natürlichen Zahl  . Für verschiedene   sind diese Untergruppen verschieden, und für   sind sie isomorph zu  .

Der Verband der Untergruppen von   ist isomorph zum dualen Verband der natürlichen Zahlen mit der Teilbarkeit. Alle Faktorgruppen von   sind endlich, mit Ausnahme der trivialen Faktorgruppe  .

Für jeden positiven Teiler   von   hat die Gruppe   genau eine Untergruppe der Ordnung  , nämlich die von dem Element   erzeugte Untergruppe  . Andere als diese Untergruppen gibt es nicht. Der Untergruppenverband ist deshalb isomorph zum Teilerverband von  .

Eine zyklische Gruppe ist genau dann einfach, wenn ihre Ordnung eine Primzahl ist.

Endomorphismen und AutomorphismenBearbeiten

Der Endomorphismenring (siehe Gruppenhomomorphismus) der Gruppe   ist Ring-isomorph zum Restklassenring  . Unter diesem Isomorphismus entspricht die Restklasse   von   dem Endomorphismus von  , der jedes Element auf seine  -te Potenz abbildet. Daraus folgt, dass die Automorphismengruppe von   isomorph zur Gruppe  , der Einheitengruppe des Rings  , ist. Diese Gruppe besteht aus den Elementen, die teilerfremd zu   sind, und hat somit genau   Elemente.

Der Endomorphismenring der zyklischen Gruppe   ist isomorph zum Ring  , und die Automorphismengruppe ist isomorph zur Einheitengruppe   von  , und diese ist isomorph zur zyklischen Gruppe  .

Algebraische EigenschaftenBearbeiten

Ist   eine natürliche Zahl, dann ist   genau dann zyklisch, wenn   gleich   oder   ist, für eine Primzahl   und eine natürliche Zahl  . Die Erzeuger dieser zyklischen Gruppe heißen Primitivwurzeln modulo  .

Insbesondere ist für jede Primzahl   die Gruppe   zyklisch mit   Elementen. Allgemeiner ist jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch.

Die Galoisgruppe einer endlichen Körpererweiterung eines endlichen Körpers ist eine endliche zyklische Gruppe. Umgekehrt gibt es für jeden endlichen Körper   und jede endliche zyklische Gruppe   eine endliche Körpererweiterung   mit Galoisgruppe  .

AnmerkungenBearbeiten

  1. Wegen der Nicht-Invertierbarkeit der Null ist diese multiplikative Verknüpfung niemals (außer im trivialen Fall des Nullrings) eine Gruppenverknüpfung für die Grundmenge – und kann dieser auch keine zyklische Gruppenstruktur verleihen. (Etwas Anderes sind die primen Restklassengruppen, die mindestens ein Element weniger haben.)

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten