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Körpererweiterung

erweiterter Körper in der Algebra

In der abstrakten Algebra ist ein Unterkörper eines Körpers eine Teilmenge , die 0 und 1 enthält und mit den auf eingeschränkten Verknüpfungen selbst ein Körper ist. wird dann Oberkörper von genannt. Das Paar und bezeichnet man als Körpererweiterung und schreibt es als oder , seltener als oder .

Zum Beispiel ist der Körper der komplexen Zahlen ein Oberkörper des Körpers der reellen Zahlen und daher eine Körpererweiterung.

Inhaltsverzeichnis

Definition und SchreibweisenBearbeiten

Sei   ein Körper, und sei   eine Teilmenge von  , die 0 und 1 enthält (die jeweiligen neutralen Elemente der Verknüpfungen) und mit den auf   eingeschränkten Verknüpfungen Addition und Multiplikation selbst ein Körper ist. In diesem Fall heißt   Unterkörper (oder Teilkörper) von   und   heißt Oberkörper (oder Erweiterungskörper) von  .

Eine Teilmenge   ist genau dann ein Teilkörper von  , wenn sie 0 und 1 enthält und bezüglich der vier Verknüpfungen Addition, Multiplikation, Negation (also Übergang von   zu  ) und Kehrwertbildung (also Übergang von   zu  ) abgeschlossen ist, d. h. die Verknüpfung von Elementen von   liefert wieder ein Element von  .

Die verbreitetste Schreibweise für Körpererweiterungen ist   (nicht als Bruch, sondern nebeneinander mit Schrägstrich), manchmal findet man auch  , seltener die Schreibweise  . Einige Autoren schreiben auch lediglich   und fügen in Worten an, dass es sich um eine Körpererweiterung handelt.

Die Schreibweise   entspricht am ehesten der Sprechweise "L über K", es besteht aber eine geringe Verwechslungsgefahr mit Faktorstrukturen wie Faktorgruppen oder Faktorräumen, die ebenfalls mit einem Schrägstrich geschrieben werden.

Etwas allgemeiner betrachtet man auch den folgenden Fall als Körpererweiterung: Es seien  ,   und   Körper,   Teilkörper von   und   isomorph zu  . Wenn es nicht zu Missverständnissen führt und der Isomorphismus aus dem Zusammenhang klar ist, kann man   und   identifizieren und so   selbst als Teilkörper von   auffassen.

Ein Körper   heißt Zwischenkörper der Körpererweiterung  , wenn   ein Unterkörper von   und ein Oberkörper von   ist, also   gilt.

Es sei im Folgenden stets   eine Körpererweiterung.

Erweiterungsgrad Bearbeiten

Der Oberkörper   ist ein Vektorraum über  , wobei die Vektoraddition die Körper-Addition in   ist und die Skalarmultiplikation die Körper-Multiplikation von Elementen aus   mit Elementen aus  . Die Dimension dieses Vektorraums wird Grad der Erweiterung genannt und   geschrieben. Die Erweiterung heißt endlich oder unendlich, je nachdem ob der Grad endlich oder unendlich ist.

Ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung ist die Erweiterung   der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen. Der Grad   dieser Erweiterung ist 2, da   eine  -Basis von   ist. Im Gegensatz dazu ist   (genauer gleich der Mächtigkeit   des Kontinuums), also ist diese Erweiterung unendlich.

Sind   und   Körpererweiterungen, dann ist auch   eine Körpererweiterung, und es gilt der Gradsatz

 .

Dies gilt auch im Falle unendlicher Erweiterungen (als Gleichung von Kardinalzahlen, oder alternativ mit den üblichen Rechenregeln für das Symbol unendlich).   heißt dabei eine Teilerweiterung von  .

Algebraisch und transzendentBearbeiten

Ein Element   von  , das Nullstelle eines Polynoms über   ist, das nicht das Nullpolynom ist, heißt algebraisch über  . Das normierte Polynom von kleinstem Grad mit dieser Nullstelleneigenschaft heißt Minimalpolynom von   . Ist ein Element nicht algebraisch, dann heißt es transzendent. Der Fall   =   und   =   ist dabei besonders wichtig. Siehe dazu algebraische Zahl, transzendente Zahl.

Ist jedes Element von   algebraisch über  , dann heißt   algebraische Erweiterung, andernfalls transzendente Erweiterung. Wenn jedes Element von   (also aus   ohne  ) transzendent ist, dann heißt die Erweiterung rein transzendent.

Man kann zeigen, dass eine Erweiterung genau dann algebraisch ist, wenn sie die Vereinigung aller ihrer endlichen Teilerweiterungen ist. Damit ist jede endliche Erweiterung algebraisch; zum Beispiel trifft dies für   zu. Die Körpererweiterung   ist dagegen transzendent, wenn auch nicht rein transzendent. Es gibt aber auch unendliche algebraische Erweiterungen. Beispiele sind die algebraischen Abschlüsse für den Körper der rationalen Zahlen   und für die Restklassenkörper  .

KörperadjunktionBearbeiten

Ist   eine Teilmenge von  , dann ist der Körper   ("  adjungiert  ") definiert als der kleinste Teilkörper von  , der   und   enthält, mit anderen Worten, der Durchschnitt aller   und   enthaltenden Teilkörper von  .   besteht aus allen Elementen von  , die mit endlich vielen Verknüpfungen   aus den Elementen von   und   gebildet werden können. Ist   =  , dann sagt man,   wird von   erzeugt.

PrimkörperBearbeiten

Der Primkörper eines Körpers   ist der Durchschnitt aller Unterkörper von  . Als Primkörper bezeichnet man auch einen Körper  , der keine echten Teilkörper hat, der also selbst sein eigener Primkörper ist.

Jeder Primkörper ist zum Körper   der rationalen Zahlen oder einem der Restklassenkörper   isomorph (wobei   eine Primzahl ist).

Falls der Primkörper von   isomorph zu   ist, so sagt man,   habe Charakteristik null. Ist der Primkörper von   isomorph zu  , so sagt man,   habe Charakteristik  .

Einfache ErweiterungBearbeiten

Eine Körpererweiterung  , die von einem einzelnen Element   erzeugt wird, heißt einfach. Eine einfache Erweiterung ist endlich, wenn sie von einem algebraischen Element erzeugt wird, und rein transzendent, wenn sie von einem transzendenten Element erzeugt wird. Ist   algebraisch, dann ist der Erweiterungsgrad   gleich dem Grad   des Minimalpolynoms von  . Eine  -Basis von   ist dann gegeben durch  . Ist hingegen   transzendent, so ist   isomorph zum rationalen Funktionenkörper  .

Zum Beispiel ist   eine einfache Erweiterung von  , denn   mit  . Die Erweiterung   kann nicht einfach sein, da sie weder algebraisch noch rein transzendent ist. Jede endliche Erweiterung von   ist einfach.

Allgemeiner gilt: Jede endliche Erweiterung eines Körpers mit Charakteristik 0 ist eine einfache Erweiterung. Dies folgt aus dem Satz vom primitiven Element, welcher ein hinreichendes Kriterium für einfache Erweiterungen liefert.

Erweiterung über HauptidealringenBearbeiten

Sei   ein Hauptidealring und   ein beliebiges irreduzibles Element aus  . Dann ist der Faktorring   ein Körper, wobei   das von   erzeugte Hauptideal bezeichne. Diesen Satz kann man nutzen, um aus Körpern mithilfe ihres Polynomrings neue Oberkörper zu erzeugen und deren Struktur besser zu verstehen: Ist   ein Körper und   ein irreduzibles Polynom des Polynomrings, so ist   der zugehörige Oberkörper (und Faktorring zum Ideal  ) . Dann hat   in   als Nullstelle  , also die Restklasse von  : Setzt man für   in   die Restklasse   ein, so erhält man  , damit ist   die gesuchte Nullstelle in  

BeispieleBearbeiten

Allgemein kann man jeden endlichen Körper   mit   und   prim aus dem endlichen Körper   analog zur folgenden Konstruktion von   erzeugen.

Konstruktion von  Bearbeiten

Betrachte den Grundkörper  . Dann ist das Polynom   irreduzibel in  , denn es ist vom Grad 2 und hat keine Nullstelle, wie sich schnell und einfach überprüfen lässt:  .   hat vier Elemente, denn Division mit Rest zeigt, dass jede Restklasse einen eindeutigen Vertreter in   vom Grad   hat. Davon gibt es vier:  . Da man aus obigem Satz weiß, dass   ein Körper ist und es nur einen Körper mit vier Elementen gibt, gilt  .

  ist keine neue Äquivalenzklasse, denn   und da dieser Körper Charakteristik 2 hat, ist jedes Element sein eigenes additives Inverse (Mit   folgt durch Subtraktion von   auf jeder Seite, dass  ), also ist  . Damit ergibt sich durch Addieren von  :  . Die Multiplikation in   wird als Multiplikation der Restklassen von   geerbt.

Beispiel:  . Damit gilt also in  : 

Konstruktion von  Bearbeiten

Man kann aber nicht nur endliche Oberkörper definieren, sondern auch unendliche. Hierbei betrachtet man den Grundkörper   der reellen Zahlen. Man benötigt wieder ein irreduzibles Polynom. Das wohl bekannteste Beispiel dafür ist  . In   haben wir jetzt unendlich viele Restklassen. Wenn man diesen Faktorring als  -Vektorraum betrachtet, so kann man eine Basis mit zwei Elementen   finden. Definiert man nun  , so erhält man einen 2-dimensionalen  -Vektorraum, nämlich  , den Körper der komplexen Zahlen.

Mit obigem Satz kommt man also zum Schluss, dass  .

Hierbei kann man auch über den Homomorphiesatz gehen: Definiere die surjektive Abbildung   (für   ist   ein Urbild). Dann ist  , da   das kleinste Polynom ist, das   als Nullstelle hat. Nach dem Homomorphiesatz gilt also auch hier, dass  .

KompositumBearbeiten

Sind   und   Teilkörper von  , dann heißt der kleinste gemeinsame Oberkörper   das Kompositum von   und  .

Sind   und   beides endlich erweiterte Oberkörper von  , dann ist auch   endlich.

ZerfällungskörperBearbeiten

Der Zerfällungskörper eines Polynoms ist eine spezielle Körpererweiterung.

  sei weiterhin ein Körper,   ein nicht konstantes Polynom über  .   ist ein Zerfällungskörper von  , wenn alle Nullstellen von   in   liegen und   diesbezüglich minimal ist. Man sagt auch, dass   durch Adjunktion aller Wurzeln von   an   entsteht. Dieser Körper heißt Zerfällungskörper, da   über   in Linearfaktoren zerfällt. Jedes nicht konstante Polynom besitzt einen bis auf Isomorphie eindeutigen Zerfällungskörper.

Zum Beispiel hat   den Zerfällungskörper  

Allgemeiner definiert man den Zerfällungskörper bezüglich einer Menge von Polynomen: Dieser enthält alle Nullstellen aller Polynome dieser Menge und entsteht durch Adjunktion aller dieser Nullstellen an  . Auch in diesem Fall kann man die Existenz eines bis auf Isomorphie eindeutigen Zerfällungskörpers beweisen. Nimmt man die Menge aller Polynome über  , so erhält man den algebraischen Abschluss.

Normale ErweiterungenBearbeiten

  heißt normale Erweiterung, wenn alle Minimalpolynome über   von Elementen aus   in   vollständig in Linearfaktoren zerfallen. Ist   in   und   sein Minimalpolynom über  , dann heißen die Nullstellen von   in   die Konjugierten von  . Sie sind genau die Bilder von   unter  -Automorphismen von  .

Eine Körpererweiterung ist genau dann normal, wenn sie Zerfällungskörper einer Familie von Polynomen mit Koeffizienten aus dem Grundkörper ist.

Ist   nicht normal über  , dann gibt es jedoch einen Oberkörper von  , der normal über   ist. Er heißt die normale Hülle von  .

Ein Beispiel für eine nicht normale Körpererweiterung ist   : Das Minimalpolynom des erzeugenden Elements ist   und hat komplexe, also nicht in   liegende, Nullstellen:  . Hierbei bezeichne   die dritte Einheitswurzel.

SeparabilitätBearbeiten

Separable PolynomeBearbeiten

Ein Polynom   über   heißt separabel, wenn es in seinem Zerfällungskörper nur einfache Nullstellen hat. Es ist genau dann separabel, wenn es teilerfremd zu seiner formalen Ableitung   ist. Ist   irreduzibel, dann ist es genau dann separabel, wenn   nicht das Nullpolynom ist.

Es gibt aber auch eine abweichende Definition, der zufolge ein Polynom separabel heißt, wenn jeder seiner irreduziblen Teiler im obigen Sinn separabel ist. Für irreduzible Polynome und damit insbesondere für Minimalpolynome stimmen beide Definitionen überein, für reduzible Polynome unterscheiden sie sich jedoch.

Separable ErweiterungenBearbeiten

Ein algebraisches Element von   heißt separabel über  , wenn sein Minimalpolynom über   separabel ist. Eine algebraische Erweiterung   heißt separable Erweiterung, wenn alle Elemente von   separabel sind.

Ein Beispiel für eine inseparable Körpererweiterung ist  , denn das Minimalpolynom   des Erzeugers   zerfällt über   in   und hat somit   als p-fache Nullstelle.

Jedoch ist jede Erweiterung eines Körpers der Charakteristik 0 separabel.

Es sei   ein algebraischer Abschluss von  . Für eine algebraische Erweiterung   ist der Separabilitätsgrad definiert als  , die Anzahl der  -Homomorphismen von   nach  . Für   und ein Minimalpolynom   von   über   ist   die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von   im algebraischen Abschluss von  . Für einen Turm algebraischer Körpererweiterungen   gilt die Produktformel  .

Vollkommene Körper Bearbeiten

Für viele Körper  , über denen Körpererweiterungen untersucht werden, sind irreduzible Polynome immer separabel und man muss sich bei diesen Körpern nicht um die Bedingung der Separabilität kümmern. Man nennt diese Körper vollkommen oder perfekt.

Etwas formaler kann ein vollkommener Körper durch eine der folgenden gleichwertigen Eigenschaften des Körpers   bzw. des Polynomrings   charakterisiert werden:

  1. Jedes irreduzible Polynom in   ist separabel.
  2. Jeder algebraische Abschluss   von   ist eine Galoiserweiterung (im weiteren Sinn, der im Artikel Galoisgruppe erläutert wird: auch unendlichdimensionale Erweiterungen können Galoiserweiterungen sein) von  .
  3. Jede algebraische Körpererweiterung von   ist separabel über   (und ist überdies auch wieder vollkommen).
  4. Der Körper   hat entweder die Charakteristik 0 oder er hat Primzahlcharakteristik   und es gilt  , d. h., der Frobeniusendomorphismus ist bijektiv.
  5. Der Körper   hat entweder die Charakteristik 0 oder er hat Primzahlcharakteristik   und jedes Element aus   hat eine  -te Wurzel.

Insbesondere sind Körper der Charakteristik 0, endliche Körper und algebraisch abgeschlossene Körper vollkommen. Ein Beispiel für einen nicht vollkommenen Körper ist   – dort hat das Körperelement   keine  -te Wurzel.

K-AutomorphismenBearbeiten

Die Gruppe   aller Automorphismen von   nennt man die Automorphismengruppe von   .

Für jeden Automorphismus   definiert man den Fixkörper   aller Elemente von  , die von   festgehalten werden. Man rechnet leicht nach, dass das ein Teilkörper von   ist. Der Fixkörper   (auch geschrieben als  ) einer ganzen Gruppe   von Automorphismen in   ist definiert durch:

 

Die Automorphismen von  , die mindestens   punktweise fest lassen, bilden eine Untergruppe von  , die Gruppe der  -Automorphismen von  , die mit   oder auch   bezeichnet wird.

Galoiserweiterung Bearbeiten

GaloisgruppenBearbeiten

Ist die Erweiterung   algebraisch, normal und separabel, dann heißt die Erweiterung galoissch ([ɡaloaːʃ], nach Évariste Galois). Eine algebraische Erweiterung ist genau dann galoissch, wenn der Fixkörper   der  -Automorphismengruppe gleich   ist.

Man nennt   in diesem Fall die Galoisgruppe der Erweiterung und schreibt sie als  , oder  . Abweichend von der im vorliegenden Artikel benutzten Sprachregelung wird im Artikel „Galoisgruppe“ die Gruppe   stets als Galoisgruppe bezeichnet, auch wenn die Erweiterung   nicht galoissch ist.

Ist die Galoisgruppe einer Galoiserweiterung abelsch, dann heißt diese abelsche Erweiterung, ist sie zyklisch, dann heißt die Erweiterung zyklisch. Zum Beispiel ist   abelsch und zyklisch, denn ihre Galoisgruppe ist zweielementig und besteht aus der Identität und der komplexen Konjugation.

Der Körper der reellen Zahlen ist – wie allgemeiner jeder reell abgeschlossene oder auch nur euklidische Körper – über keinem seiner echten Teilkörper galoissch, weil durch die dort einzig mögliche Körperanordnung die identische Abbildung der einzig mögliche Körperautomorphismus ist.

BeispieleBearbeiten

  •   ist eine Galoiserweiterung. Die Automorphismengruppe besteht genau aus der Identität und dem Automorphismus, der   konstant lässt, aber   und   vertauscht. Der Fixkörper davon ist  .
  •   ist keine Galoiserweiterung, denn die Automorphismengruppe   besteht nur aus der Identität. Ein Automorphismus auf dieser Erweiterung, der   nicht fix lässt, müsste   auf eine andere dritte Wurzel aus 2 abbilden, jedoch enthält   keine weiteren dritten Wurzeln aus 2. Da es sich um keine Galoiserweiterung handelt, heißt sie auch weder abelsch noch zyklisch, obwohl die Gruppe   (als triviale Gruppe) natürlich zyklisch und abelsch ist.
  • Ein algebraischer Abschluss   eines beliebigen Körpers   ist genau dann galoissch über  , wenn   ein vollkommener Körper ist.

KonstruierbarkeitsfragenBearbeiten

Die klassischen Probleme der antiken Mathematik, bei denen es um die Konstruierbarkeit einer bestimmten Zahl (als Streckenlänge) allein mit Zirkel und Lineal aus rationalen Zahlen geht, konnten mit der Galoistheorie in gruppentheoretische Fragen umformuliert werden. Mit dem Grundgedanken von René Descartes, dass die Punkte auf Geraden (Lineal) und Kreisen (Zirkel) durch analytische Gleichungen darstellbar sind, lässt sich zeigen, dass die konstruierbaren Zahlen (Koordinaten von endlichen Schnittmengen von zwei dieser Figuren in der rationalen Zahlenebene bzw. auf der Basis bereits konstruierter Zahlen) genau die folgenden sind:

  • Die rationalen Zahlen,
  • die Quadratwurzeln aus konstruierbaren Zahlen,
  • Summe, Differenz und Produkt von zwei konstruierbaren Zahlen,
  • der Kehrwert jeder von 0 verschiedenen konstruierbaren Zahl.

Damit kann man zeigen, dass jede konstruierbare reelle Zahl

  1. algebraisch und
  2. vom Grad einer Zweierpotenz   über dem Körper   der rationalen Zahlen ist.

Dies bedeutet, dass für eine konstruierbare Zahl   die Körpererweiterung   eine endliche, algebraische Erweiterung vom Grad   ( ) sein muss. Dies ist noch keine hinreichende Bedingung, genügt aber in den klassischen Fragen für einen Unmöglichkeitsbeweis.

  1. Quadratur des Kreises: Unmöglich, da die Kreiszahl   nicht algebraisch ist.
  2. Verdoppelung des Würfels: Unmöglich: Im Verhältnis zum konstruierten Ausgangswürfel (etwa ein Würfel mit der Kantenlänge 1) hätte der neue Würfel die Kantenlänge  . Die Körpererweiterung   hat den Grad 3 – keine Zweierpotenz.
  3. Dreiteilung des Winkels: Ein Winkel mit dem Gradmaß 60° kann mit Zirkel und Lineal nicht in drei gleiche Teile geteilt werden. Wäre dieser Winkel – also 20° – konstruierbar, dann könnte man auch die reelle Zahl   konstruieren. Für jeden Winkel   gilt das Additionstheorem  . Also löst unsere Zahl   die Gleichung   und ist daher eine Nullstelle von  . Da dieses Polynom über   irreduzibel ist, hat   über   den Grad 3.

→ Im Artikel Euklidischer Körper wird dargestellt, wie eine Körpererweiterung von   beschaffen sein muss, damit genau die mit Zirkel und Lineal konstruierbaren Zahlen im Erweiterungskörper vorhanden sind.

WeblinksBearbeiten

  Wikiversity: Vorlesung über Körper- und Galoistheorie – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

LiteraturBearbeiten