Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers, wenn sie bezüglich eines Unterkörpers dasselbe Minimalpolynom haben.

Definition

Bearbeiten

Seien   eine Körpererweiterung und   der Polynomring zu   mit der Unbestimmten  . Die Elemente   seien algebraisch über  , das heißt, es existieren   mit  .

Dann heißen   und   algebraisch konjugiert über  , wenn   und   dasselbe Minimalpolynom über   haben.

Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von „konjugiert“.

Eigenschaften

Bearbeiten
  •   und   sind genau dann konjugiert über dem Körper  , wenn für alle   gilt, dass  .
  • Sei   eine endliche Körpererweiterung mit   für ein  . Dann sind   genau dann konjugiert über dem Körper  , wenn es ein Element   in der Galoisgruppe   gibt mit  .

Beispiele

Bearbeiten
  • Die komplexen Zahlen   und   haben über   beide das Minimalpolynom   und sind daher algebraisch konjugiert über  . Über   haben sie natürlich die Minimalpolynome   bzw.   und sind nicht konjugiert.
  • Allgemeiner gilt: Zwei komplexe Zahlen   und   mit   sind genau dann algebraisch konjugiert über  , wenn sie durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen, also   gilt. Das gemeinsame Minimalpolynom ist in diesem Fall  .
  • Die Goldene Zahl   und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper  . Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms  .
  • Die zu   algebraisch Konjugierten erhält man wie folgt: Aus
 ,   und  
ergibt sich das Minimalpolynom
 .
Durch zweifaches Wurzelziehen erhält man, zusammen mit der Beziehung  , die weiteren Nullstellen:
 , , .

Literatur

Bearbeiten
  • Chr. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra. Gruppe – Ringe – Körper. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-54721-2.