Goldener Schnitt

Verhältnis zwischen zwei Größen, deren Summe im gleichen Verhältnis zur größeren steht

Der Goldene Schnitt (lateinisch sectio aurea, proportio divina, Bedeutung: Goldener Schnitt bzw. göttliche Proportion), gelegentlich auch stetige Teilung, einer Strecke bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken, sodass sich die längere Teilstrecke zur kürzeren Teilstrecke verhält wie die Gesamtstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf.

Proportionen beim Goldenen Schnitt einer Strecke:

Durch mathematische Formeln ausgedrückt gilt für den Goldenen Schnitt zweier Teilstrecken und (siehe Bild):

oder

Das mittels Division dieser Größen als Zahl berechnete Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes ist eine dimensionslose irrationale Zahl, das heißt eine Zahl, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt. Die Folge ihrer Nachkommastellen zeigt daher auch kein periodisches Muster. Diese Zahl wird ebenfalls als Goldener Schnitt bezeichnet. Als mathematisches Symbol für den Goldenen Schnitt wird meist der griechische Buchstabe Phi (, oder , heutige Aussprache [fi:]), seltener auch Tau (, ) oder verwendet. Es gilt

wobei die Quadratwurzel aus 5 bezeichnet. Seit 2021 sind 10 Billionen Dezimalstellen des Goldenen Schnittes bekannt.

Aus Sicht der Mathematik besitzt der goldene Schnitt zahlreiche besondere Eigenschaften. Neben der geometrischen Auffassung kann er auch als die positive Lösung der quadratischen Gleichung definiert werden. Er ist damit eine algebraische Zahl vom Grade 2. Bemerkenswert ist seine enge Verbindung zu der Fibonacci-Folge, die sich durch die explizite Binet-Formel ausdrückt, obgleich die Fibonacci-Folge zunächst nur rekursiv, also implizit, erklärt ist. Darüber hinaus konnte gezeigt werden, dass der Goldene Schnitt unter den irrationalen Zahlen (bis auf eine gewisse Form der Äquivalenz) am schlechtesten durch Brüche angenähert werden kann. Zentrales Argument für diese Tatsache ist seine Kettenbruchentwicklung, die nur aus der Zahl 1 besteht, ergo unter allen Kettenbrüchen am langsamsten konvergiert.

Die Kenntnis des Goldenen Schnittes ist in der mathematischen Literatur seit der Zeit der griechischen Antike (Euklid von Alexandria) nachgewiesen, war jedoch vor mehr als 2300 Jahren – vom Grundsatz her – nur wenigen bekannt. Vereinzelt schon im Spätmittelalter und besonders dann in der Renaissance, etwa durch Luca Pacioli und Johannes Kepler, wurde er auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt. Der Überlieferung nach erhielt er mit diesem Namen erst ab der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts größeren Bekanntheitsgrad. Die heute gebräuchliche Bezeichnung bzw. für den Zahlenwert geht auf den amerikanischen Mathematiker Mark Barr zurück, der sie um das Jahr 1909 herum einführte. Einigen bedeutenden Künstlern, wie Leonardo da Vinci, Friedrich Hölderlin oder Béla Bartók, wurde nachgesagt, den Goldenen Schnitt gezielt bei manchen ihrer Werke eingesetzt zu haben, jedoch gelten solche Aussagen bis heute als umstritten. Der Goldene Schnitt ist nicht nur in Mathematik, Kunst oder Architektur von Bedeutung, sondern findet sich auch in der Natur, beispielsweise bei der Anordnung von Blättern und in Blütenständen mancher Pflanzen wieder.

DefinitionBearbeiten

 
Veranschaulichung auf dem Zahlenstrahl
 

Eine Strecke   wird durch einen inneren Punkt   so geteilt, dass das Verhältnis der Länge   des größeren Teilabschnitts   zur Länge   des kleineren Teilabschnitts   dem Verhältnis der Gesamtstrecke   mit Länge   zur Länge   des größeren Teilabschnitts   gleich ist. Es gilt somit   beziehungsweise  . Diese Teilung heißt Goldener Schnitt der Strecke  . Man spricht dann davon, dass der Punkt   die Strecke   im Goldenen Schnitt teilt, oder auch von der stetigen Teilung[1] der Strecke   durch den Punkt  .

Eine einfache Rechnung zeigt:

 .
Für die detaillierte Herleitung  

Die in der Einleitung angegebene Definition

 

lautet mit aufgelöster rechter Seite und nach Umstellung

 

beziehungsweise mit   wie folgt:

 

Multiplikation mit   ergibt die quadratische Gleichung

 

mit den beiden Lösungen   und  , die zum Beispiel durch Anwendung der Mitternachtsformel erhalten werden können.

Da von diesen beiden Werten nur der positive für die Goldene Zahl in Frage kommt, folgt[2]

 

Wird eine Strecke   im Goldenen Schnitt geteilt, so gilt für den längeren Abschnitt

 

und für den kürzeren

 

GeschichteBearbeiten

AntikeBearbeiten

Die erste erhalten gebliebene genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes findet sich im zweiten Buch der Elemente des Euklid (um 300 v. Chr., siehe Innere Teilung nach Euklid), der darauf über seine Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem Fünfeck beziehungsweise dem Pentagramm stieß. Seine Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde später ins Lateinische als „proportio habens medium et duo extrema“ übersetzt, was als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bezeichnet wird.[3][4][5]

MittelalterBearbeiten

 
Liber abbaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124r: Fibonacci-Zahlen am Rand der „Kaninchenaufgabe“

In seinem Rechenbuch Liber abbaci (nicht erhaltene Erstfassung 1202, erhaltene 2. Fassung nicht vor 1220), einem umfangreichen arithmetischen und algebraischen Lehrwerk über das Rechnen mit den indo-arabischen Ziffern, kommt der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa, genannt „Fibonacci“, kurz auf die später nach ihm benannte Fibonacci-Folge zu sprechen. Dies geschah im Zusammenhang mit der Kaninchen-Aufgabe. Hierbei war zu errechnen, wie viele Kaninchenpaare bei einer Fortpflanzungsrate von einem Paar Jungkaninchen pro Elternpaar und Monat nach Ablauf eines Jahres insgesamt vorhanden sind, vorausgesetzt, dass ein erstes Paar bereits im ersten Monat und dessen Nachwuchs jeweils ab seinem zweiten Lebensmonat Junge wirft.[6] Leonardo führt die Zahlenfolge für jeden Monat vor (2, 3, 5, 8 … bis 377) und weist darauf hin, dass sich jedes Glied der Reihe (ab dem dritten) durch Summierung der beiden vorhergehenden Reihenglieder errechnen lässt. Eine weitere Beschäftigung mit dieser Folge findet sich bei ihm nicht, d. h., der Zusammenhang zum Goldenen Schnitt wird von ihm nicht dargestellt. Dass ihm allerdings der (erst später so genannte) Goldene Schnitt bekannt und in der Tradition Euklids ein Begriff war, zeigt sich gegen Ende seines Werks bei einer algebraischen Aufgabe, in der es darum geht (in moderner Formulierung wiedergegeben)[7],   und   zu finden mit   und  . Hierzu weist Leonardo darauf hin, dass im Fall von   die Proportion   gilt, 10 also von   und   im Verhältnis des Goldenen Schnittes (ohne diesen Begriff zu gebrauchen) geteilt wird („et scis, secundum hanc diuisionem, 10 diuisa esse media et extrema proportione; quia est sicut 10 ad maiorem partem, ita maior pars ad minorem“).[8]

RenaissanceBearbeiten

 
Der vitruvianische Mensch, Leonardo da Vinci, 1492, Proportionsstudie nach Vitruv

Einen Zusammenhang zwischen Fibonacci-Folge und Goldenem Schnitt stellte Leonardo jedoch noch nicht her: Die Entdeckung, dass sich bei Teilung eines Gliedes der Fibonacci-Folge durch das vorhergehende Reihenglied als Näherungswert   ergibt, wurde lange Zeit Johannes Kepler zugeschrieben, konnte jedoch in jüngerer Zeit schon in einer handschriftlichen Anmerkung nachgewiesen werden, mit der ein mutmaßlich aus Italien stammender Leser in der ersten Hälfte des 16. Jahrhunderts Euklids Theorem II.11 in der Euklid-Ausgabe Paciolis von 1509 kommentierte:

“Sit linea ab 233 pedum, divisa ut docet 11 huius in duo inaequalia in puncto h et sit bh portio eius maior 144 et ha portio eius minor 89. ducatur ab in ha et perveniunt 20737 et bh in se et perveniunt 20736. et sic cognosces quod in mutationibus non est laborandum quid impossibile est numerum ita dividi ut ista 11 proponit. similiter accidit si linea 13 pedum dividatur in lineam 8 pedum, et lineam 5.”

„Eine Gerade ab von 233 Fuß sei so, wie es Theorem 11 hier vorführt, an einem Punkt h in zwei ungleiche Teile geteilt, und dabei sei bh sein größerer Teil mit 144 und ha sein kleinerer Teil mit 89. ab sei multipliziert mit ha, und es ergeben sich 20737, und bh multipliziert mit sich selbst, so ergeben sich 20736. Und daran magst du erkennen, dass man sich nicht mit Ersetzungen abzumühen braucht, um zu zeigen, dass es unmöglich ist, die Zahl so zu teilen, wie es hier Theorem 11 vorführt. Das gleiche ergibt sich, wenn eine Gerade von 13 Fuß in eine Gerade von 8 und eine von 5 Fuß geteilt wird.“[9]

Der Herausgeber dieser Euklid-Ausgabe, der Franziskaner Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der an der Universität Perugia Mathematik lehrte, hatte sich intensiv mit dem Goldenen Schnitt befasst. Er nannte diese Streckenteilung „vermutlich als erster […] divina proportio (göttliches Verhältnis)“,[10] was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Werk De divina proportione von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie von Leonardo da Vinci (1452–1519) über den vitruvianischen Menschen. Das Verhältnis der Seitenlänge des den Menschen umgebenden Quadrats zum Radius des umgebenden Kreises – nicht das Verhältnis der Proportionen des Menschen selbst – in diesem berühmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7 % dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus würde diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht zu erwarten sein.

 
Ein Kepler-Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, das durch drei Quadrate gebildet werden kann, deren Flächeninhalte sich in geometrischer Progression  , wie der Goldene Schnitt verhalten.

Im Oktober 1597 stellte Johannes Kepler in einem Brief an seinen früheren Tübinger Professor Michael Maestlin die Frage, warum es nur eine einzige mögliche Lösung für die Aufgabe gebe, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, bei dem das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite dem der längeren zur Hypotenuse entspricht (Kepler-Dreieck). Auf das Original dieses Briefes notierte Maestlin eine Berechnung, die die Hypotenuse einmal mit 10 und einmal mit 10.000.000, und für den letzteren Fall dann die längere Seite mit 7.861.514 und die kürzeste Seite mit 6.180.340 beziffert. Das entspricht einer bis auf die sechste Nachkommastelle genauen (und bis zur fünften korrekten) Angabe des Goldenen Schnittes und ist nach den älteren sexagesimalen Berechnungen der Antike die erste bekannte dezimale Angabe dieser Art.[11]

18. und 19. JahrhundertBearbeiten

Populär wurde der Begriff Goldener Schnitt erst in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts, obwohl die mathematischen Prinzipien schon seit der Antike bekannt waren. Der Begriff Goldene Zahl stammt aus dieser Zeit, noch 1819 wird dieser Begriff mit dem Meton-Zyklus in einem der griechischen Kalendersysteme in Verbindung gebracht.[12] In der deutschen Literatur sind bereits anfangs des 18. Jahrhunderts vereinzelt Hinweise auf eine sinngemäße bzw. wortwörtliche Form des Begriffes „Goldener Schnitt“ zu finden. Erst ab dem zweiten Viertel des 19. Jahrhunderts war er weiterverbreitet.[13][14] Die folgenden Beispiele aus der deutschen Literatur verweisen auf den Begriff in ähnlicher Art und Weise.

1717 wurde der Begriff Goldener Schnitt sinngemäß von M. Johann Wentzel Kaschuben in seinem Werk Cvrsvs mathematicvs …[15] verwendet. Er beschreibt darin eine geometrische Aufgabe (Näheres im Abschnitt Als Konstruktionselement), deren Lösung dieses besondere Teilungsverhältnis verlangt. Am Schluss der Aufgabe §.35. ist zu lesen: „Die Alten hissen diesen Schnitt den Goldenen.“[16] Zu jener Zeit fand das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes auch in der Akustik im Zusammenhang mit Verhältnissen der Saitenlänge Anwendung. Diese Form der Saitenteilung – so Ernst Florens Friedrich Chladni 1802 in Die Akustik unter Die geometrische Theilung – wollte auch Gottfried Wilhelm Leibniz.[17][18] Zwar lassen sich damit nicht Tonhöhenabstände sprich Intervalle finden, „desto brauchbarer ist sie aber, wie im folgenden Abschnitte wird gezeigt werden, zu gewissen nothwendigen Abänderungen derselben.“[17] Chladni leitete die Tonverhältnisse also nicht aus den Saitenlängen ab, sondern aus den Verhältnissen der Schwingungszahlen.[17] Bezüglich des Goldenen Schnitts merkt Chladni an: „Es ist diese Theilung eben dasselbe, was von einigen ältern Mathematikern, die besondere Eigenschaften darin finden wollten, sectio aurea, oder sectio divina [der Goldene Schnitt oder göttliche Schnitt] genennt worden ist.“

Etwas mehr als fünfzig Jahre später wurden die Proportionen des menschlichen Körpers wissenschaftlich mit denen des Goldenen Schnittes verglichen. Adolf Zeising benennt 1854 in Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers … das Ergebnis der „Maassbestimmungen […] kurzweg, das Proportionalgesetz“. Er beschreibt es als einen geometrischen Weg zur proportionalen Teilung einer Linie  [19] und stellt fest:

„Die Mathematiker nennen die hier erörterte Theilung einer gegebenen Linie die ‚Theilung im äussern und mittlern Verhältnisse‘ oder ‚den goldnen Schnitt‘. Der Grund der letztern Benennung ist mir nicht bekannt; doch rührt sie wahrscheinlich daher, weil man die ausserordentlichen Vorzüge des Verhältnisses, welches man durch diese Theilung gewinnt, und die Vollkommenheit der durch dieses Verhältniss gebildeten Proportion mit richtigem Blicke erkannt hat.“

Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, […][20]

Gustav Theodor Fechner, ein Begründer der experimentellen Psychologie, stellte 1876 bei Untersuchungen mit Versuchspersonen anhand von Rechtecken in der Tat eine Präferenz für den Goldenen Schnitt fest.[21] Die Ergebnisse bei der Streckenteilung und bei Ellipsen fielen jedoch anders aus. Neuzeitliche Untersuchungen zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhängt. Fechner fand ferner bei Vermessungen von Bildern in verschiedenen Museen Europas, dass die Seitenverhältnisse im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 betragen und sich damit deutlich vom Goldenen Schnitt unterscheiden.[22][23]

Algebraische und analytische EigenschaftenBearbeiten

Irrationalität und AlgebraizitätBearbeiten

Der Goldene Schnitt ist eine irrationale Zahl, das heißt, er lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen.[24] Weiter bedeutet es, dass die Dezimalentwicklung kein periodisches Muster aufzeigt. Die ersten 50 Nachkommastellen des Goldenen Schnittes sind gegeben durch

 [25]

Seit dem 14. Februar 2021 sind 10 Billionen (10 × 1012) Nachkommastellen von   berechnet und verifiziert worden. Zudem gelten bereits 20 Billionen Stellen als berechnet, jedoch noch nicht als verifiziert.[26]

Der Grund, warum   irrational ist, verbirgt sich hinter der Irrationalität von  . Um wiederum zu sehen, dass   irrational sein muss, ist es nützlich, das Gesetz der bis auf die Reihenfolge eindeutigen Zerlegbarkeit natürlicher Zahlen in Primzahlen zu kennen. Nimmt man an, es sei   mit einem vollständig gekürzten Bruch   mit positiven ganzen Zahlen  , so gilt bereits

 

Es ist also   und ergo auch   durch   teilbar, da   eine Primzahl ist. Damit besitzt   also den Primteiler  , und dieser taucht bei   in gerader Anzahl auf, da sich beim Quadrieren alle Primfaktoren verdoppeln. Da   und   teilerfremd sind – es ist   nach Annahme vollständig gekürzt – taucht der Primfaktor   nirgends in   auf. Ergo taucht er nur einmal in   auf. Dies ist ein Widerspruch zur eindeutigen Primfaktorzerlegung, die besagt, dass auf beiden Seiten gleich viele Fünfen auftauchen müssen, aber   ist keine gerade Zahl.[27] Zu guter Letzt muss dann auch   irrational sein, da irrationale Zahlen im Produkt mit rationalen Zahlen (außer 0) und in Summe mit rationalen Zahlen wieder irrational sind.

Die Goldene Zahl ist ferner eine algebraische Zahl vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Damit grenzt sie sich von anderen berühmten Konstanten, wie der Kreiszahl   oder der Eulerschen Zahl  , ab, die transzendent, und damit niemals Nullstelle eines nicht-konstanten Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind.

Zusammenhang mit den Fibonacci- und Lucas-ZahlenBearbeiten

Verhältnisse aufeinanderfolgender
Fibonacci-Zahlen
      Abweichung
zu   in %
01 01 = 1,0000 −38,0000
01 02 = 2,0000 +23,0000
02 03 = 1,5000 −7,300
03 05 ≈ 1,6667 +3,000
05 08 = 1,6000 −1,100
08 13 = 1,6250 +0,430
13 21 ≈ 1,6154 −0,160
21 34 ≈ 1,6190 +0,063
34 55 ≈ 1,6176 −0,024
55 89 ≈ 1,6182 0+0,0091
89 144 ≈ 1,6180 0−0,0035
144 233 ≈ 1,6181 0+0,0013

In einem engen Zusammenhang zum Goldenen Schnitt steht die unendliche Zahlenfolge der Fibonacci-Zahlen (siehe unten die Abschnitte Mittelalter und Renaissance):

 

Die jeweils nächste Zahl in dieser Folge wird als Summe der beiden vorangehenden erhalten. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Folge strebt gegen den Goldenen Schnitt (siehe Tabelle). Das rekursive Bildungsgesetz   bedeutet nämlich

 .

Sofern dieses Verhältnis gegen einen Grenzwert   konvergiert, muss für diesen gelten

 .

In der Tat lässt sich daraus

 

folgern.[28] Die Glieder der Fibonacci-Folge   lassen sich für alle   über die Formel von Binet berechnen:[29]

 .

Diese Formel liefert die für die Fibonacci-Folge veranschlagten Anfangswerte   und   und erfüllt die rekursive Gleichung   für alle   mit  .[30]

Ähnlich gilt

 

für die  -te Lucas-Zahl.[31] Allgemeiner ist jede komplexe Folge   mit   von der Form  , wobei   komplexe Zahlen sind, und umgekehrt.[32]

KettenbruchentwicklungBearbeiten

Da der Goldene Schnitt irrational ist, stellt sich die Frage, wie gut er sich durch rationale Zahlen annähern lässt. Grundsätzlich konnte gezeigt werden, dass es für eine beliebige irrationale Zahl   stets unendlich viele rationale Zahlen   gibt, so dass

 

Dieses Resultat ist fundamental im Gebiet der diophantischen Approximation.[33] Erhöht sich der Nenner  , sind grundsätzlich auch bessere Annäherungen möglich, wie das sogar quadratische Abklingen der rechten Seite zeigt. Bemerkenswert ist die Konstante  , die optimal gewählt ist, also nicht weiter vergrößert werden kann. Grund dafür ist der Goldene Schnitt, der (zusammen mit zu ihm äquivalenten Zahlen) die Eigenschaft hat, dass für alle   nur endlich viele rationale Annäherungen mit

 

existieren.[34] Für irrationale Zahlen, die nicht zu   äquivalent sind, lässt sich die Konstante   größer als   wählen (nämlich mit Wert   (Satz von Hurwitz)). Der Goldene Schnitt gehört also unter den irrationalen Zahlen zu den am schlechtesten durch rationale Zahlen approximierbaren. Da seine Kettenbruchentwicklung überdies nur Einsen enthält, ist er in diesem Sinn die „irrationalste aller Zahlen“.[35][36][37]

Der mathematische Beweis der oberen Aussage fußt auf sogenannten Kettenbrüchen. Jede reelle Zahl lässt sich (im Wesentlichen eindeutig) durch einen Kettenbruch darstellen. Bricht man diesen nach endlich vielen Schritten ab, ergibt sich eine „besonders gute“ rationale Annäherung an diese Zahl. Für die Goldene Zahl gilt nun aber  , woraus sich durch wiederholte Anwendung ergibt

 

Bricht man die Kettenbruchentwicklung ab, erhält man stets einen Bruch aus zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen.[38] Weil im Kettenbruch lediglich Einsen auftauchen – die kleinste natürlich Zahl –, nähert sich dieser Kettenbruch mit der „minimal möglichen Geschwindigkeit“ der Goldenen Zahl an. Im Vergleich ist der Kettenbruch zur Kreiszahl   – ebenfalls irrational – deutlich schneller konvergent.

In der Theorie der dynamischen Systeme werden Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab einer Stelle nur noch Einsen enthält, als „noble Zahlen“ bezeichnet. In diesem Kontext wird der Goldene Schnitt als „nobelste“ aller noblen Zahlen bezeichnet.[39]

Geometrische AussagenBearbeiten

KonstruktionsverfahrenBearbeiten

Als Konstruktionsverfahren werden nach den Postulaten des Euklid nur diejenigen Verfahren akzeptiert, die sich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal (ohne Skala) beschränken. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren, von denen im Folgenden exemplarisch nur einige erwähnt werden. Unterschieden wird dabei eine innere und äußere Teilung. Bei der äußeren Teilung wird der in der Verlängerung der Ausgangsstrecke außen liegende Punkt gesucht, der die vorhandene Strecke zum (größeren) Teil des Goldenen Schnittes macht. Der Goldene Schnitt stellt dabei einen Spezialfall der harmonischen Teilung dar. Aufgeführt werden im Folgenden auch zwei moderne, von Künstlern gefundene Konstruktionen.

Innere TeilungBearbeiten

Klassisches Verfahren mit innerer Teilung nach Heron von Alexandria, das wegen seiner Einfachheit beliebt ist:[40][1]
  1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
  2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verbindung AC im Punkt D.
  3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
  Innere Teilung nach Euklid:

Johann Friedrich Lorenz beschrieb im Jahr 1781 in seinem Buch Euklids Elemente folgende Aufgabenstellung von Euklid: „Eine gegebne gerade Linie, AB, so zu schneiden, daß das Rectangel aus der Ganzen und Einem der Abschnitte, dem Quadrat des anderen Abschnitts gleich sey.[41]

Das Ergebnis der nebenstehenden Animation zeigt, die Strecke AB ist in einem Verhältnis geteilt, das als Goldener Schnitt mit innerer Teilung bezeichnet wird.

Als Darstellung dieses Verfahrens hat sich eine vereinfachte Konstruktion, siehe linkes Bild, bewährt:

  1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
  2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D.
  3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
  Konstruktion nach dem österreichischen Künstler Kurt Hofstetter, die dieser 2005 im Forum Geometricorum[42] publizierte:
  1. Halbiere die Strecke AB in M durch Streckensymmetrale mit Radius AB und konstruiere dabei ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge AB und C unterhalb von AB.
  2. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck MBD mit Schenkellänge AB über der Grundlinie MB
  3. Die Strecke CD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Äußere TeilungBearbeiten

  Klassisches Verfahren mit äußerer Teilung, stammt im Prinzip von Euklid:

Dieter Hermann bezieht sich auf Euklids Elemente, Buch XIII[43] und interpretiert darin die Proposition 10 folgendermaßen:

„Schreibt man demselben Kreis ein reguläres Fünf-, Sechs- und Zehneck ein, so bilden die drei Seiten ein rechtwinkliges Dreieck“[44]

Hermanns Zeichnung hat die gleichen konstruktiven Merkmale, wie die im nebenstehenden Bild. Eine ähnliche Konstruktion beschreibt auch Detlef Gronau.[45]

Die Darstellung im nebenstehenden Bild hat sich als vereinfachte Konstruktion bewährt:

  1. Errichte auf der Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der Länge AS mit dem Endpunkt C.
  2. Konstruiere die Mitte M der Strecke AS.
  3. Der Kreis um M mit dem Radius MC schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Dieses Verfahren wird für die Konstruktion des Fünfecks bei gegebener Seitenlänge verwendet.

  Konstruktion nach dem amerikanischen Künstler George Odom, die dieser 1982 entdeckte:[46][Anm 1]
  1. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck.
  2. Konstruiere den Umkreis, also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft.
  3. Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und S.
  4. Die Verlängerung von AS schneidet den Kreis im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Im Fünfeck und im PentagrammBearbeiten

 
Goldener Schnitt im Fünfeck und Pentagramm

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden jeweils eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite eines regelmäßigen Fünfecks befindet sich im Goldenen Schnitt zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander wiederum teilen sich ebenfalls im Goldenen Verhältnis, d. h.,   verhält sich zu   wie   zu  . Der Beweis dazu nutzt die Ähnlichkeit geeignet gewählter Dreiecke.[47][48]

Das Pentagramm, eines der ältesten magischen Symbole der Kulturgeschichte, steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt.[49] Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Sie lassen sich über das oben beschriebene Verfahren der stetigen Teilung nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es damit in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das in das innere Fünfeck gezeichnet werden könnte, und damit in alle weiteren. Stünden die beiden Strecken in einem Verhältnis ganzer Zahlen, müsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist. Eine Weiterentwicklung dieser Geometrie findet sich bei der Penrose-Parkettierung.[50]

Für den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen Symmetriegründen gleich lang sind, auch   gilt. Ursache ist, dass das Dreieck   zwei gleiche Winkel besitzt, wie durch Parallelverschiebung der Strecke   erkannt werden kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem Strahlensatz gilt:

 

Wird   ersetzt und die Gleichheit der auftretenden Teilstücke beachtet, so wird genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt erhalten.

Im IkosaederBearbeiten

 
Die 3 Goldenen Rechtecke (hellgrün, grün, lila) bilden mit ihren jeweils 4 Ecken die 12 Ecken (9 hier sichtbar) eines Ikosaeders

Die 12 Ecken des Ikosaeders bilden die Ecken von 3 gleich großen, senkrecht aufeinanderstehenden Rechtecken mit gemeinsamem Mittelpunkt und mit den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnittes. Die zwölf Ecken eines Ikosaeders sind also die zwölf Ecken dreier goldener Rechtecke, die paarweise aufeinander senkrecht stehen.[51] Diese Anordnung der 3 Rechtecke wird auch Goldener-Schnitt-Stuhl genannt. Weil der Ikosaeder zum Pentagondodekaeder dual ist, bilden die 12 Mittelpunkte der Fünfecke ebenfalls die Ecken eines Goldener-Schnitt-Stuhls.

Ferner kann in ein gegebenes Oktaeder ein Ikosaeder so einbeschrieben werden, dass dessen Ecken die Kanten des Oktaeders im goldenen Schnitt teilen.[52]

Goldenes Rechteck und Goldenes DreieckBearbeiten

Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, wird als Goldenes Rechteck benannt; ebenso heißt ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, Goldenes Dreieck.

Goldener WinkelBearbeiten

 
Der Goldene Winkel ist der kleinere Kreiswinkel   dessen Verhältnis zum größeren Winkel ( ) dem Goldenen Schnitt entspricht.

Der Goldene Winkel wird erhalten, wenn der Vollwinkel im Goldenen Schnitt geteilt wird. Dies führt auf den überstumpfen Winkel   Gewöhnlich wird aber seine Ergänzung zum Vollwinkel,   als Goldener Winkel bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass Drehungen um   keine Rolle spielen und das Vorzeichen nur den Drehsinn des Winkels bezeichnet.[53]

Durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel entstehen immer wieder neue Positionen, etwa – wie im Bild – für die Blattansätze (Näheres im Abschnitt Biologie).

Dabei zerlegen die ersten   Positionen den Kreis in   Ausschnitte. Diese   Ausschnitte haben höchstens drei verschiedene Winkel. Im Fall einer Fibonacci-Zahl   treten nur zwei Winkel   auf. Für   tritt der Winkel   hinzu.[54]

Betrachtet man für wachsendes   fortfolgend die sich verfeinernden Zerlegungen des Kreises, so teilt die  -te Position stets einen der verbliebenen größten Ausschnitte, und zwar immer den im Verlauf der Teilungen zuerst entstandenen, d. h. den „ältesten“ Ausschnitt. Diese Teilung erfolgt im Goldenen Verhältnis, sodass, im Uhrzeigersinn gesehen, ein Winkel   mit geradem   vor einem Winkel   mit ungeradem   liegt.[55]

Wenn wir den Ausschnitt mit dem Winkel   mit   bezeichnen, so erhalten wir nacheinander die Kreiszerlegungen
                    usw.

Goldene SpiraleBearbeiten

Die Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale. Diese Spirale lässt sich mittels rekursiver Teilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck konstruieren (siehe nebenstehendes Bild). Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor  .[56]

Goldene Spiralen lassen sich unter Verwendung von Polarkoordinaten durch

 

parametrisieren.[57] Die Idee von Polarkoordinaten ist hierbei, einen Punkt   in der Ebene durch seinen Abstand   zum Ursprung und den mit der  -Achse eingeschlossen Winkel   festzulegen. Dessen Polarkoordinaten sind dann  , und durch Wahl des Radius in Abhängigkeit vom sch verändernden Winkel   lassen sich manche geometrische Figuren durch eine entsprechende Funktion   einfacher beschreiben als in klassischen kartesischen Koordinaten. Zu beachten ist, dass mehrfache Umdrehungen um den Ursprung, etwa in den Fällen   (Ausgangslage),   (eine Volldrehung),   (zwei Volldrehungen) usw. unterschiedliche Radii hervorrufen können, was auch an der nicht-periodischen Figur der Spirale zu erkennen ist.

Eine brauchbare Näherung für die Goldene Spirale findet sich bereits bei Kepler. Man erhält diese Approximation, wenn man in die Quadrate Viertelkreise mit dem Radius der Seitenlänge des Quadrats einzeichnet. Dies ist im mittleren Bild illustriert. Im linken Bild wird die Güte dieser Approximation veranschaulicht.

 
Geometrisches Mittel:
  teilt die Strecke   im Verhältnis des Goldenen Schnittes:
   

Die Goldene Spirale ist unter den logarithmischen Spiralen durch die folgende Eigenschaft ausgezeichnet. Seien   vier auf der Spirale aufeinanderfolgende Schnittpunkte mit einer Geraden durch das Zentrum. Dann sind die beiden Punktepaare   und   harmonisch konjugiert, d. h., für ihr Doppelverhältnis gilt:[58]

 

Geometrisches MittelBearbeiten

Wird die Strecke   mit Länge   durch den Punkt   im Verhältnis des Goldenen Schnitts in zwei Teilstrecken   und   mit Längen   und   geteilt, so ist   bereits das geometrische Mittel der Zahlen   und  . Das folgt aus der allgemeinen Definition des geometrischen Mittels  , hier:  . In der Tat folgt mit   bereits

 

Des Weiteren folgt daraus unmittelbar, dass   wiederum das geometrische Mittel von   und   ist.[59] Man hat in diesem Fall

 

Vorkommen in der NaturBearbeiten

BiologieBearbeiten

 
Anordnung von Blättern im Abstand des Goldenen Winkels von oben betrachtet.

Das spektakulärste Beispiel für Verhältnisse des Goldenen Schnittes in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen.[60] Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn die beiden Blattansätze durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung gebracht werden. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.

Die daraus entstehenden Strukturen werden auch als selbstähnlich bezeichnet: Auf diese Weise findet sich ein Muster einer tieferen Strukturebene in höheren Ebenen wieder. Beispiele sind die Sonnenblume,[61] Kohlarten, Kiefernnadeln an jungen Ästen, Zapfen,[62] Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten sowie die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.

Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen, ihre Blätter auf Abstand zu halten. Es wird vermutet, dass sie dazu an jedem Blattansatz einen besonderen Wachstumshemmer (Inhibitor) erzeugen, der im Pflanzenstamm – vor allem nach oben, in geringerem Umfang in seitlicher Richtung – diffundiert. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte Konzentrationsgefälle aus. Das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, wo die Konzentration minimal ist. Dabei stellt sich ein bestimmter Winkel zum Vorgänger ein. Würde dieser Winkel den Vollkreis im Verhältnis einer rationalen Zahl   teilen, dann würde dieses Blatt genau in die gleiche Richtung wachsen wie dasjenige   Blätter zuvor. Der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors ist aber an dieser Stelle gerade maximal. Daher stellt sich ein Winkel mit einem Verhältnis ein, das alle rationalen Zahlen meidet. Die Zahl ist nun aber gerade die Goldene Zahl (siehe oben). Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.

Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht (bzw. Wasser und Luft) optimal genutzt wird,[63] eine Vermutung, die bereits Leonardo da Vinci äußerte, oder im effizienteren Transport der durch Photosynthese entstandenen Kohlenhydrate im Phloemteil der Leitbündel nach unten. Die Wurzeln von Pflanzen weisen den Goldenen Winkel weniger deutlich auf. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln zutage. So wird bei manchen Kakteenarten ein Winkel von 99,5° beobachtet, der mit der Variante der Fibonacci-Folge 1, 3, 4, 7, 11, … korrespondiert. In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschiedenen Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren.

 
Fichtenzapfen mit 5, 8 und 13 Fibonacci-Spiralen

Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte Fibonacci-Spiralen aus. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang der Pflanzenachse besonders klein ist. Sie werden nicht von aufeinanderfolgenden Blättern gebildet, sondern von solchen im Abstand  , wobei   eine Fibonacci-Zahl ist. Solche Blätter befinden sich in enger Nachbarschaft, denn das  -Fache des Goldenen Winkels   ist ungefähr ein Vielfaches von 360° wegen

 

wobei   die nächstkleinere Fibonacci-Zahl zu   und   die nächstkleinere Fibonacci-Zahl zu   ist. Da jedes der Blätter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind   Spiralen zu sehen. Ist   größer als  , so ist das Verhältnis der beiden nächsten Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt. Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.

 
Berechneter Blütenstand mit 1000 Früchten im Goldenen Winkel – Es stellen sich 13, 21, 34 und 55 Fibonacci-Spiralen ein.
 
Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen

Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen (die damit wiederum dem Goldenen Schnitt zugeordnet sind) in Blütenständen, wie bei Sonnenblumen.[61] Dort sitzen Blüten, aus denen später Früchte entstehen, auf der stark gestauchten, scheibenförmigen Blütenstandsachse dicht nebeneinander, wobei jede einzelne Blüte einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des Blütenstandes zugeordnet werden kann. Wachstumstechnisch aufeinander folgende Früchte liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im äußeren Bereich von Sonnenblumen werden 34 und 55 Spiralen gezählt, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, beträgt weniger als 0,01 %.

Der Goldene Schnitt ist außerdem in radiärsymmetrischen fünfzähligen Blüten erkennbar wie bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Hecken-Rose. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich in seinem Verhältnis. Das betrifft ebenso Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.[62]

 
Goldener Schnitt im Efeublatt

Darüber hinaus wird der Goldene Schnitt im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie bei der Pappel. Im Efeublatt stehen die Blattachsen a und b (siehe Abbildung) ungefähr im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Diese Beispiele sind jedoch umstritten.

Noch im 19. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, dass der Goldene Schnitt ein göttliches Naturgesetz sei und in vielfacher Weise in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert wäre. So nahm Adolf Zeising in seinem Buch über die Proportionen des menschlichen Körpers[20] an, dass der Nabel die Körpergröße im Verhältnis des Goldenen Schnittes teile, und der untere Abschnitt werde durch das Knie wiederum so geteilt. Ferner scheinen die Verhältnisse benachbarter Teile der Gliedmaßen wie bei Ober- und Unterarm sowie bei den Fingerknochen ungefähr in diesem Verhältnis zu stehen. Eine genaue Überprüfung ergibt jedoch Streuungen der Verhältnisse im 20-%-Bereich. Oft enthält auch die Definition, wie die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür. Ferner fehlt dieser These eine wissenschaftliche Grundlage. Es dominiert daher weitgehend die Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich die Folge gezielter Selektion von benachbarten Paaren aus einer Menge von beliebigen Größen sind.[64]

BahnresonanzenBearbeiten

Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie Jupiter und Saturn mit   oder die Jupitermonde Io, Ganymed und Europa mit  . Derartige Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen. Erst 1964 wurde entdeckt, dass noble Verhältnisse, wie sie im Fall   vorliegen würden, stabilisierend wirken können. Derartige Bahnen werden KAM-Bahnen genannt, wobei die drei Buchstaben für die Namen der Entdecker Andrei Kolmogorow, V. I. Arnold und Jürgen Moser stehen.[65][66]

Die Cassini-Teilungen in den Saturnringen zeigen, was passiert, wenn statt nobler Zahlen einfache rationale Zahlen vorherrschen: Die Gesteins- und Eisteilchen, aus denen die Ringe bestehen und deren Umlaufperioden in einem einfachen rationalen Verhältnis zu den Perioden der Saturnmonde stehen, werden durch die Resonanzeffekte zwischen den entsprechenden Umlaufperioden einfach aus ihrer Bahn geworfen. In der Tat hängt die Stabilität des Sonnensystems davon, dass zumindest einige der Bahnperiodenverhältnisse nobel sind, ab.[67]

Schwarze LöcherBearbeiten

Kontrahierbare kosmische Objekte ohne feste Oberfläche, wie Schwarze Löcher oder die Sonne, haben aufgrund ihrer Eigengravitation die paradoxe Eigenschaft, heißer zu werden, wenn sie Wärme abstrahlen (negative Wärmekapazität). Bei rotierenden Schwarzen Löchern findet ab einem kritischen Drehimpuls ein Umschlag von negativer zu positiver Wärmekapazität statt, wobei dieser Tipping-Point von der Masse des Schwarzen Loches abhängt. In einer  -dimensionalen Raumzeit kommt dabei eine Metrik   ins Spiel, deren Eigenwerte   für   sich als Nullstellen des charakteristischen Polynoms

 

ergeben.[68][69]

KristallstrukturenBearbeiten

Der Goldene Schnitt tritt bei den Quasikristallen der Festkörperphysik in Erscheinung, die 1984 von Dan Shechtman und seinen Kollegen entdeckt wurden.[70] Dabei handelt es sich um Strukturen mit fünfzähliger Symmetrie, aus denen sich aber, wie bereits Kepler erkannte, keine streng periodischen Kristallgitter aufbauen lassen, wie dies bei Kristallen üblich ist. Entsprechend groß war die Überraschung, als bei Röntgenstrukturanalysen Beugungsbilder mit fünfzähliger Symmetrie gefunden wurden. Diese Quasikristalle bestehen strukturell aus zwei verschiedenen rhomboedrischen Grundbausteinen, mit denen der Raum zwar lückenlos, jedoch ohne globale Periodizität gefüllt werden kann (Penrose-Parkettierung). Beide Rhomboeder setzten sich aus den gleichen rautenförmigen Seitenflächen zusammen, die jedoch unterschiedlich orientiert sind. Die Form dieser Rauten lässt sich nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.[71] Für die Entdeckung von Quasikristallen wurde Shechtman 2011 der Nobelpreis für Chemie verliehen.[72]

Vergleich mit anderen prominenten SeitenverhältnissenBearbeiten

Die folgende Abbildung zeigt im Vergleich verschiedene Rechtecke mit prominenten Seitenverhältnissen in der Umgebung von   Angegeben ist jeweils das Verhältnis von Höhe zu Breite und der entsprechende Zahlenfaktor:

 

  • Φ0√4 : 30 – Traditionelles Fernsehformat und Ballenformat für Packpapier. Auch bei älteren Computermonitoren verwendet (z. B.: 1024 × 768 Pixel). Dieses Format geht zurück auf Thomas Alva Edison, der 1889 das Format des klassischen Filmbildes (35-mm-Film) auf 24 mm × 18 mm festlegte.[73]
  • Φ02 : 10 – Das Seitenverhältnis beim DIN-A4-Blatt und verwandten DIN-/EN-/ISO-Maßen. Bei einer Halbierung durch einen Schnitt, der die längeren Seiten des Rechtecks halbiert, entstehen wiederum Rechtecke mit demselben Seitenverhältnis.
  • Φ0√3 : 20 – Seitenverhältnis beim Kleinbildfilm (36 mm × 24 mm).
  • Φ√16 : 10 – Manche Computerbildschirme. Diese passen mit 1,6 : 1 fast zum Goldenen Schnitt.
  • √00Φ : 10 – Seitenverhältnis im Goldenen Schnitt. Im Bild approximiert mit 144 × 89 Pixel (theoretischer Fehler nur 5 · 10−5). Die beiden benachbarten Rechtecke 3:2 und 5:3 haben – wie auch das dargestellte Rechteck mit 144:89 – Seitenverhältnisse von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen und approximieren daher ebenfalls den Goldenen Schnitt vergleichsweise gut.
  • Φ√05 : 30 – Findet neben vielen anderen als Kinofilmformat Verwendung.
  • Φ√16 : 90Breitbildfernsehen.

Anwendung und WirkungsgeschichteBearbeiten

Seit dem 19. Jahrhundert wurde der Goldene Schnitt zunächst in der ästhetischen Theorie (Adolf Zeising) und dann auch in künstlerischer, architektonischer und kunsthandwerklicher Praxis als ein ideales Prinzip ästhetischer Proportionierung bewertet. Es gibt allerdings keinen empirischen Beleg für eine besondere ästhetische Wirkung, die von Proportionen des Goldenen Schnittes ausgeht.[74] Schon der Begründer der empirischen Ästhetik, Gustav Theodor Fechner, stellte aufgrund eigener Experimente fest: „Hiernach kann ich nicht umhin, den ästhetischen Wert des Goldenen Schnittes … überschätzt zu finden.“[75]

Der Goldene Zirkel (Reduktionszirkel)Bearbeiten

Anstatt stets neu konstruieren zu müssen, wurde im 19. Jahrhundert von Künstlern und Handwerkern ein Goldener Zirkel – ein auf das Goldene Verhältnis eingestellter Reduktionszirkel – benutzt. Zirkel, wie im nebenstehenden Foto als Beispiel gezeigt, werden auch heute noch hergestellt. Insbesondere im Schreinerhandwerk wurde ein ähnliches Instrument in Form eines Storchschnabels benutzt.[76][77]

Bereits in der Antike fand der Reduktionszirkel Verwendung, dies zeigt z. B. der Fund eines Vorläufers bei den Ausgrabungen in Pompeji.[78][79] Jost Bürgi (1552–1632), ein Uhrmacher aus der Schweiz, ist der Erfinder der noch heute gebräuchlichen einfachsten Ausführung. Er besteht nur aus zwei Stäben, deren Drehpunkt sie im Goldenen Schnitt teilt. Eine Seite des Werkzeugs entspricht der zu teilenden Strecke   und die gegenüberliegende der Strecke  .[80] Der von Adalbert Göringer im Jahre 1893 erfundene Reduktions- bzw. Proportionalzirkel – dargestellt in den nebenstehenden Bildern – ist eine Weiterentwicklung.[77]

Um als Werkzeug dienen zu können, müssen die Bauteile des Reduktionszirkels ebenfalls die Teilung nach dem Goldenen Schnitt beinhalten.[78]

Wenn

 

dann gilt:

 

Als KonstruktionselementBearbeiten

Von M. Johann Wentzel Kaschuben stammt die im Folgenden beschriebene und im Anschluss konstruktiv dargestellte geometrische Aufgabe aus dem Jahr 1717.

„§.34. Einen gleichschencklichten   in welchem der auf einem Schenckel stehende perpendicul   gegeben, so den Schenckel   selbst in   auf solche Arth schneidet, wie er von den übrigen perpend. Linien in   geschnitten wird, kan auf folgende Weise gefunden werden. […]“

M. Johann Wentzel Kaschuben: Cvrsvs mathematicvs, oder Deutlicher Begrief der Mathematischen Wissenschaften[81]
 
Kaschuben nutzte 1717 das geometrische Mittel
(  von   und  ) sowie „diesen Schnitt den goldenen[16] als Konstruktionselement.
 

Gesucht ist also ein gleichschenkliges Dreieck, in dem eine gegebene Strecke   sowie ein Schenkel des Dreiecks zueinander orthogonal sind und der Punkt   diesen Schenkel im Verhältnis des Goldenen Schnitts teilt.

Konstruktionsbeschreibung
(Angelehnt an die Beschreibung des Originals, die darin erwähnte Fig. 7 ist auf Tab. I Alg. Fig. 8)[82]

Zuerst wird die Strecke   mit der frei wählbaren Länge   senkrecht auf die Gerade   errichtet. Es folgt das rechtwinklige Dreieck   in dem die Seite   mit Länge   auf der Geraden   liegt. Der Kreisbogen um   mit Radius   ergibt Schnittpunkt  , der Kreisbogen um   mit Radius   teilt in   die Seite   im Goldenen Schnitt. Ziehe einen Kreis um   mit Radius   ergibt Schnittpunkt   und einen Kreisbogen um   mit Radius  . Nun errichte eine Senkrechte auf   ab   bis sie den Kreisbogen in   schneidet. Mit   ist das geometrische Mittel der beiden Streckenlängen   und   bestimmt. Ein Kreisbogen um   mit Radius   schneidet den Kreis um   in  , und dabei ergibt sich das rechtwinklige Dreieck  . Abschließend wird die Strecke   bis auf die Gerade   verlängert und um den soeben entstandenen Schnittpunkt   ein Kreisbogen mit Radius   gezogen, bis er die Gerade   in   schneidet.

Im somit gefundenen gleichschenkligen Dreieck   teilt der Punkt   der Senkrechten   den Schenkel   im Goldenen Schnitt.

 

DreiecksfraktalBearbeiten

 
Dreiecksfraktal, Animation am Ende mit 15 s Pause

Ab 1975 sind in der Mathematik die unterschiedlichsten Fraktale entwickelt worden.

Das folgende Fraktal – mit sieben Iterationsschritten – verwendet ein gleichseitiges Dreieck als Ausgangsform. An seinen Ecken wird ein Dreieck mit einem bestimmten Verkleinerungsfaktor  [83] Spitze an Spitze angehängt. Der Verkleinerungsfaktor   wird so gewählt, dass das Verhältnis der Seitenlängen zueinander dem Teilungsverhältnis   des Goldenen Schnittes entspricht.

Fraktale werden meist mithilfe eines Computers erstellt. Dieses zweidimensionale Dreiecksfraktal ist – mit entsprechendem Aufwand – auch als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar.

SkizzeBearbeiten

 
Skizze zur Festlegung der Kriterien

Anhand der nebenstehenden Skizze wird der Verkleinerungsfaktor  , die gewünschte Anzahl der Äste (Dreiecke) und somit auch der Abstand der letzten Äste zueinander grafisch bestimmt.[83]

Es beginnt mit der Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge gleich   Halbiert man nun dessen beide Schenkel und zieht die Gerade   durch die soeben erhaltenen Mittelpunkte, ergibt sich das gleichseitige (grüne) Ausgangsdreieck des Fraktals mit Seitenlänge gleich   Es folgen zwei Verbindungslinien, jeweils ab dem Mittelpunkt der Schenkel bis zur gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks. Sie schneiden sich im Mittelpunkt des Umkreises des großen Dreiecks. Beim Ziehen des Umkreises ergibt sich, mittels der Schnittpunkte auf der Geraden  , der gesuchte Verkleinerungsfaktor   links und rechts vom Ausgangsdreieck.

Nachweis des Verkleinerungsfaktors fBearbeiten

 
Graph der Gleichung

Die oben beschriebenen Konstruktionsschritte gleichen denen der Konstruktion nach Odom.[46]

Somit gilt in diesem Fall:

 

daraus folgt

 

Die in der Skizze mit gepunkteten Linien angedeutete Konstruktion zeigt: Die Seitenlängen (Kreisradien) für die nachfolgenden, noch gut im Fraktal erkennbaren Dreiecke, ergeben sich, indem man für das nächste Dreieck den Exponent des Verkleinerungsfaktors   um   erhöht:

 

Beutelspacher ermittelte in Der Goldene Schnitt den Wert des Abstandes, bei dem sich die entgegenkommenden Äste im Grenzfall berühren, letztendlich aus der kubischen Gleichung

 

deren einzige positiven Lösung ist

 

Somit ist aufgezeigt:   ist nicht nur der Wert des Verkleinerungsfaktors, sondern auch der Wert des Abstandes, bei dem sich im Grenzfall die einzelnen Äste berühren, sprich gerade noch nicht überlappen.[83]

Papier- und BildformateBearbeiten

Im Buchdruck wurde gelegentlich die Nutzfläche einer Seite, der sogenannte Satzspiegel, so positioniert, dass das Verhältnis von Bundsteg zu Kopfsteg zu Außensteg zu Fußsteg sich wie   verhielt. Diese Wahl von Fibonacci-Zahlen approximiert den Goldenen Schnitt. Eine solche Gestaltung wird auch weiterhin in Teilen der Fachliteratur zum Buchdruck empfohlen.[84]

ArchitekturBearbeiten

 
Goldenes Dreieck und Goldenes Rechteck in der Fassade der Kathedrale Notre-Dame de Paris
 
Altes Leipziger Rathaus nach dem Umbau 1909
Die Mitte des Haupttores schneidet die Gehäusefront im Goldenen Schnitt.

Frühe Hinweise auf eine Verwendung des Goldenen Schnittes stammen aus der Architektur. Die Schriften des griechischen Geschichtsschreibers Herodot zur Cheops-Pyramide werden gelegentlich dahingehend ausgelegt, dass die Höhe der Seitenfläche zur Hälfte der Basiskante im Verhältnis des Goldenen Schnittes stünde.[85] Die entsprechende Textstelle ist allerdings interpretierbar. Andererseits wird die These vertreten, dass das Verhältnis   für Pyramidenhöhe zu Basiskante die tatsächlichen Maße noch besser widerspiegele. Der Unterschied zwischen beiden vertretenen Thesen beträgt zwar lediglich 3,0 %, ein absoluter Beweis zugunsten der einen oder anderen These ist demzufolge damit aber nicht verbunden.

Viele Werke der griechischen Antike werden als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen wie die Vorderfront des 447–432 v. Chr. unter Perikles erbauten Parthenon-Tempels auf der Athener Akropolis.[86] Da zu diesen Werken keine Pläne überliefert sind, ist nicht bekannt, ob diese Proportionen bewusst oder intuitiv gewählt wurden. In späteren Epochen sind mögliche Beispiele für den Goldenen Schnitt, wie der Dom von Florenz,[87] Notre Dame in Paris[88][89] oder die Torhalle in Lorsch (770 n. Chr.)[86] zu finden. Auch in diesen Fällen ist die bewusste Anwendung des Goldenen Schnittes anhand der historischen Quellen nicht nachweisbar.

Es gibt demzufolge keinen empirisch gesicherten Nachweis für eine signifikant größere Häufigkeit des Goldenen Schnittes in diesen Epochen im Vergleich zu anderen Teilungsverhältnissen. Ebenso fehlen historische Belege für eine absichtliche Verwendung des Goldenen Schnittes.

Als ein Beispiel für eine Umsetzung des Goldenen Schnittes wird immer wieder das Alte Rathaus in Leipzig, ein Renaissancebau aus den Jahren 1556/57, genannt.[90] Wobei nicht die Mitte des Rathausturmes die Gehäusefront im Goldenen Schnitt teilt, sondern die dazu etwas versetzte Mitte des Haupttores. Gleichwohl gibt es bei genauer historischer Quellenforschung keinen Beleg dafür. Insbesondere gibt es keinen Beleg dafür, dass Hieronymus Lotter als der damalige Baumeister den Goldenen Schnitt bewusst als Konstruktionsprinzip verwendet hat: Alle originären Quellen verweisen lediglich auf einen gotischen Vorgängerbau, auf dessen Grundmauern Lotter das Rathaus errichtet hat. Dass der Goldene Schnitt hier eine Rolle gespielt habe, ist quellenhistorisch nicht belegbar.

Die erste quellenhistorisch gesicherte Verwendung des Goldenen Schnittes in der Architektur stammt aus dem 20. Jahrhundert: Der Architekt und Maler Le Corbusier (1887–1965) entwickelte ab 1940 ein Längen-Maßsystem, dessen Maßeinheiten zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Die Werte der darin enthaltenen kleineren Maßeinheiten sind Durchschnitts-Maße am menschlichen Körper. Er veröffentlichte dieses 1949 in seiner Schrift Der Modulor, die zu den bedeutendsten Schriften der Architekturgeschichte und -theorie gezählt wird. Bereits 1934 wurde ihm für die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien von der Universität Zürich der Titel doctor honoris causa der mathematischen Wissenschaften verliehen.[91] Für eine frühere Verwendung des Modulor ist dies jedoch aus den aufgezeigten Gründen kein Beleg.

Bildende KunstBearbeiten

BildkompositionBearbeiten

Abbildung 1
Abbildung 2


Merkmale des Goldenen Schnitts

Inwieweit die Verwendung des Goldenen Schnittes in der Kunst zu besonders ästhetischen Ergebnissen führt, ist letztlich eine Frage der jeweils herrschenden Kunstauffassung. Für die generelle These, dass diese Proportion als besonders ansprechend und harmonisch empfunden wird, gibt es keine gesicherten Belege. Viele Künstler setzten den Goldenen Schnitt bewusst ein, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fündig. Diese Befunde sind jedoch angesichts der Fülle von möglichen Strukturen, wie sie in einem reich strukturierten Gemälde zu finden sind, oft umstritten.[92]

So werden zahlreichen Skulpturen griechischer Bildhauer, wie der Apollo von Belvedere, der Leochares (um 325 v. Chr.) zugeschrieben wird, oder Werke von Phidias (5. Jahrhundert v. Chr.) als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen. Auf letzteren bezieht sich die oft übliche Bezeichnung   für den Goldenen Schnitt, die ungefähr 1909 von dem amerikanischen Mathematiker Mark Barr eingeführt wurde.[93] Die ebenfalls gelegentlich verwendete Bezeichnung   bezieht sich dagegen auf das griechische Wort τομή für „Schnitt“.[94]

Der Goldene Schnitt wird in vielen Werken der Renaissance-Künstler vermutet, unter anderem bei Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, bei Dürers Werken insbesondere in seinem Selbstbildnis von 1500 und seinem Kupferstich Melencolia I von 1514.[95]

Ein berühmtes Beispiel ist das Gemälde Mona Lisa von Leonardo da Vinci. Es weist Merkmale des Goldenen Schnitts auf und lässt mehrere Goldene Dreiecke sowie die Goldene Spirale erkennen. In Abbildung 1 teilt der Punkt   (Mona Lisas linkes Auge) die Strecken   und   im Goldenen Schnitt. Die Dreiecke  ,  ,  ,  ,   und   sind Goldene Dreiecke, da bei jedem dieser sechs Dreiecke Grundseite und Schenkel im Verhältnis des Goldenen Schnitts zueinander stehen.[96][97] In Abbildung 2 ist die Goldene Spirale eingezeichnet. Sie ist so positioniert, dass sie am linken Handgelenk beginnt und den oberen Rand des Kopfes berührt. Die Nasenspitze bildet dann den Punkt, auf den die Spirale zuläuft.[98][99]

 
Parade de cirque, 1887/88, Metropolitan Museum of Art, New York

Bekanntlich stellte auch Albrecht Dürer zahlreiche theoretische Untersuchungen an und beschäftigte sich mit mathematischen Fragestellungen. Im Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt ist besonders interessant, dass er in seiner Underweysung der messung 1525 ein in einen Kreis einbeschriebenes Fünfeck konstruiert. Daher gilt es nicht als ausgeschlossen, dass Dürer in seinen Bildern den Goldenen Schnitt verwendet hat. Allerdings hat Dürer in seinen theoretischen Arbeiten den Goldenen Schnitt an keiner Stelle erwähnt.[100] Auch im 19. und 20. Jahrhundert spielte der Goldene Schnitt bei manchen Vertretern der bildenden Kunst eine Rolle. Georges Seurat (1859–1891), der Begründer des Neoimpressionismus, strebte einen streng geometrischen Bildaufbau an. Bei seinem Bild Parade de cirque fallen vor allem zwei strukturierende Linien ins Auge: Die Oberkante der Balustrade etwas unterhalb der Mitte und die vertikale Linie rechts in der Bildmitte. Es existieren eine ganze Reihe von Interpretationen dieses Bildes, die den Goldenen Schnitt in Betracht ziehen.[101]

In der Fotografie wird der Goldene Schnitt zur Bildgestaltung eingesetzt. Als Faustformel wird die Drittel-Regel verwendet.[102][103]

Zeitgenössische bildende KunstBearbeiten

 
Goldener Schnitt von Martina Schettina (2009)

In der zeitgenössischen bildenden Kunst wird der Goldene Schnitt nicht nur als Gestaltungsmerkmal verwendet, sondern ist in manchen Arbeiten selbst Thema oder zentraler Bildinhalt. Der Künstler Jo Niemeyer verwendet den Goldenen Schnitt als grundlegendes Gestaltungsprinzip in seinen Werken, die der konkreten Kunst zugeordnet werden. Der Künstler Ivo Ringe, der ebenso ein Vertreter der konkreten Kunst ist, nutzt den Goldenen Schnitt in vielen seiner Werke.[104] Die Künstlerin Martina Schettina thematisiert den Goldenen Schnitt in ihren Arbeiten zum Fünfeck, bei dem die Diagonalen einander im Goldenen Schnitt teilen.[105] Sie visualisiert auch die Konstruktionsmethode und Formeln zum Goldenen Schnitt.[106]

Literarische WerkeBearbeiten

Der Goldene Schnitt wurde auch zur Gestaltung literarischer Werke herangezogen.

Das älteste literarische Werk, das mit Hilfe des Goldenen Schnitts erschaffen worden sein soll, ist das Epos Äneis des römischen Dichters Vergil (70–19 v. Chr.). In einer detaillierten Studie versuchte G. Duckworth nachzuweisen, dass der Goldene Schnitt das durchgängige Gestaltungsschema der Äneis ist. Zu diesem Zweck zählte er die Zeilen in verschiedenen Abschnitten; das Verhältnis dieser Zahlen kommt dem Goldenen Schnitt in der Regel sehr nahe. Jedoch legte Duckworth den Begriff „sehr nahe“ sehr weit aus, und so wurden alle Werte zwischen 0,6 und 0,636 als Approximation für 0,618… akzeptiert. In der Äneis finden sich jedoch merkwürdigerweise häufig Halbverse, also unvollständige Zeilen, die in der Regel auf mangelnde redaktionelle Überarbeitung von Seiten Vergils zurückgeführt werden. Duckworth zeigt jedoch, dass sich, wenn man diese Zeilen entsprechend ihrer tatsächlichen Länge in die Rechnungen eingehen lässt, in etwa drei Viertel aller Fälle eine bessere Annäherung an den Goldenen Schnitt ergibt. Duckworths Studie wurde jedoch auch kritisch rezipiert.[107]

Vor dem Hintergrund der verbreiteten Zahlensymbolik im Mittelalter untersuchte M. Langosch das Liber ymnorum des Notker Balbulus (um 885). Viele Segmente dieses Hymnus sind gemäß des Goldenen Schnittes aufgebaut. Genauer gilt, dass die Anzahl der Silben im ersten Teil und die im zweiten Teil sich annähernd im Goldenen Verhältnis befinden. Ein schlagendes Beispiel ist der Laurentiushymnus: In den ersten 144 Silben wird Laurentius angerufen und sein Martyrium gerühmt. Anschließend wird er 89 Silben lang um Fürbitte gebeten. Es ist jedoch nicht bekannt, ob das Auftreten dieser (großen) Fibonacci-Zahlen 89 und 144, ca. 300 Jahre vor Fibonacci, ein Zufall ist.[108]

Es existieren auch Hinweise auf den Goldenen Schnitt in Grimms Märchen. Nach den Charaktereigenschaften gut – böse, stark – schwach und aktiv – passiv, wurden die Charaktere in die 8 möglichen Gruppen eingeteilt. Dabei wurden die Gruppen „gut, stark, aktiv“, „gut, stark, passiv“, „gut, schwach, aktiv“ und „böse, stark, aktiv“ als „positiv“ bezeichnet, die anderen 4 als „negativ“. Es stellt sich nach dieser Gruppierung heraus, dass zwischen 60 und 62 Prozent der Märchencharaktere „positiv“ sind. Als Erklärung dieses „Zusammenhangs“ wird darauf verwiesen, dass der Goldene Schnitt in der Natur sehr häufig auftritt und daher vom Menschen unbewusst als ästhetischer Maßstab bei der Bewertung von Kunstwerken herangezogen werde. Dieser unbewusste Prozess gewinne umso mehr Bedeutung, je „naturnaher“, „unverbildeter“, und „volkstümlicher“ die Kunstwerke seien. Da Grimms Märchen bekanntlich direkt aus dem Munde des Volkes „abgelauscht sind“, sei es kein Wunder, dass hier der Goldene Schnitt als „natürliches Spannungsverhältnis“ in Erscheinung trete.[109] J. Benjafield und C. Davis schreiben dazu:

„Although the characters and situations depicted in fairy tales are often unrealistic, in the sense of being unlikely to be encountered in everyday life, the connotative structure of the characters is like that found in our impersonal environment. Since the stories are, in part, vehicles for teaching children about the general features of human nature, this correspondence makes perfectly good sense.“

„Obwohl die in den Märchen dargestellten Figuren und Situationen oft unrealistisch sind, d. h. im Alltag nicht vorkommen, entspricht die Bedeutungsstruktur der Figuren der unserer unpersönlichen Umwelt. Da die Märchen zum Teil dazu dienen, Kinder über die allgemeinen Merkmale der menschlichen Natur zu unterrichten, ist diese Entsprechung durchaus sinnvoll.“

J. Benjafield und C. Davis[110]

Nach Meinung Benjafields und Davis erkläre dies auch das Auftreten des Goldenen Schnitts in der Musik Béla Bartóks – ein Beleg dafür, dass Bartóks Musik sich in vielerlei Hinsicht aus der Volksmusik speise.

Der Goldene Schnitt wurde auch in einem späten Gedicht Friedrich Hölderlins nachgewiesen. ln seinen letzten Lebenstagen, entweder im Mai oder Juni des Jahres 1843, schrieb Hölderlin in Tübingen Die Aussicht:

Wenn in die Ferne geht der Menschen wohnend Leben,
Wo in die Ferne sich erglänzt die Zeit der Reben,
Ist auch dabei des Sommers leer Gefilde,
Der Wald erscheint mit seinem dunklen Bilde;
Daß die Natur erganzt das Bild der Zeiten,
Daß die verweilt, sie schnell vorübergleiten,
Ist aus Vollkommenheit, des Himmels Höhe glänzet
Den Menschen dann, wie Baume Blüth' umkränzet.
-- Die Aussicht, Friedrich Hölderlin

Roman Jakobson und Grete Lübbe-Grothues entdeckten, dass dieses Gedicht mit Hilfe des Goldenen Schnitts, genauer gesagt aus den Verhältnissen 8: 5, 5 : 3 und 3 : 2, aufgebaut wurde.[111] Hierzu schreiben sie:

„Der goldene Schnitt (8:5 = 5:3) stellt zwei ungleiche Teile eines achtzeiligen Ganzen einander gegenüber und zerlegt Die Aussicht in zwei syntaktisch gleichmäßige Gruppen von fünf Verbafinita bzw. fünf Elementarsätzen (clauses), mit einer spiegelsymmetrischen Verteilung der Verben in den Halbversen des fünfzeiligen Major (3:2) und des dreizeiligen Minor (2:3).“

Roman Jakobson und Grete Lübbe-Grothues[112]

Die Frage, ob Hölderlin die Ästhetik des Goldenen Schnitts bewusst einsetzte, sei hier jedoch besonders schwierig zu beantworten, da Hölderlin bekanntlich in seinen letzten Lebensjahren stark an einer seelischen Krankheit litt. Immerhin gibt es nach Jakobson auffallende Anzeigen einer komplexen und zielbewussten Gestaltung und Vieles deute auf eine bewusste Verwendung der Verhältnisse 8 : 5, 5 : 3 und 3 : 2 hin.

Akustik und MusikBearbeiten

Der Goldene Schnitt tritt innerhalb der Musik in zwei Rollen auf. Zum einen können die Frequenzen zweier Töne ein Goldenes Verhältnis haben. Andererseits kann die Komposition eines Stückes aus Teilen bestehen, deren Längen sich verhalten wie der Goldene Schnitt.

FrequenzverhältnisseBearbeiten

Stehen die Frequenzen zweier Tone im Verhältnis der Fibonacci-Zahlen 8 : 5 (bzw. 5 : 8), so bildet sich als Klang eine kleine Sexte. Die Differenz des Verhältnisses 8 : 5 (= 1,6) zum Goldenen Schnitt (= 1,618…) sei so gering, dass, wie Rudolf Haase behauptet, der Goldene Schnitt selbstverständlich in den Zurechthörbereich der kleinen Sexte fällt. Haases Vorstellung ist also die, dass der Reiz der kleinen Sexte darin begründet ist, dass die Frequenzen ihrer Einzeltöne im Goldenen Verhältnis stehen, und dass das einfache Verhältnis 8 : 5 nur eine Annäherung daran ist.[113]

KompositionBearbeiten

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich in Strukturkonzepten von Musikstücken vermutet. So hat der ungarische Musikwissenschaftler Ernő Lendvai versucht, den Goldenen Schnitt als wesentliches Gestaltungsprinzip der Werke Béla Bartóks nachzuweisen. Seiner Ansicht nach hat Bartók den Aufbau seiner Kompositionen so gestaltet, dass die Anzahl der Takte in einzelnen Formabschnitten Verhältnisse bilden, die den Goldenen Schnitt approximieren würden. Allerdings sind seine Berechnungen umstritten.[114]

In der Musik nach 1945 finden sich Beispiele für die bewusste Proportionierung nach den Zahlen der Fibonacci-Folge, etwa im Klavierstück IX von Karlheinz Stockhausen oder in der Spektralmusik von Gérard Grisey.[115]

InstrumentenbauBearbeiten

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich im Musikinstrumentenbau verwendet. Insbesondere beim Geigenbau soll er für besonders klangschöne Instrumente bürgen. So wird behauptet, dass der berühmte Geigenbauer Stradivari den Goldenen Schnitt verwendete, um die klanglich optimale Position der F-Löcher für seine Violinen zu berechnen. Diese Behauptungen basieren jedoch lediglich auf nachträglichen numerischen Analysen von Stradivaris Instrumenten. Ein Nachweis, dass Stradivari bewusst den Goldenen Schnitt zur Bestimmung ihrer Proportionen angewandt habe, existiert jedoch nicht.[116][117]

Informatik und NumerikBearbeiten

DatenstrukturenBearbeiten

In der Informatik werden Daten in Hashtabellen gespeichert, um darauf schnell zuzugreifen. Die Position  , an der ein Datensatz   in der Tabelle gespeichert wird, berechnet sich durch eine Hashfunktion  . Für einen effizienten Zugriff müssen die Datensätze möglichst gleichmäßig verteilt in die Tabelle geschrieben werden. Eine Variante für die Hashfunktion ist die multiplikative Methode, bei der die Hashwerte für eine Tabelle der Größe   nach der folgenden Formel berechnet werden:

 

Dabei stellen   Gaußklammern dar, die den Klammerinhalt auf die nächste ganze Zahl abrunden. Der Informatiker Donald E. Knuth schlägt für die frei wählbare Konstante   vor, um eine gute Verteilung der Datensätze zu erhalten.[118]

Verfahren des Goldenen SchnittesBearbeiten

Das Verfahren des Goldenen Schnittes (auch: Goldener-Schnitt-Verfahren,[119] Methode des Goldenen Schnittes oder Suchverfahren Goldener Schnitt) ist ein Verfahren der mathematischen nichtlinearen Optimierung, genauer berechnet es algorithmisch eine numerische Näherung für eine Extremstelle (Minimum oder Maximum) einer reellen Funktion einer Variablen in einem Suchintervall  . Es basiert auf der analytischen Anwendung der ursprünglich geometrisch definierten stetigen Teilung. Im Gegensatz zum Intervallhalbierungsverfahren wird dabei das Suchintervall nicht bei jedem Schritt halbiert, sondern nach dem Prinzip des Goldenen Schnittes verkleinert. Der verwendete Parameter   (tau) hat dabei nicht, wie bei dem allgemeineren Bisektionsverfahren, den Wert  , sondern es wird   gewählt, sodass sich zwei Punkte   und   für das Optimierungsverfahren ergeben, die das Suchintervall im Goldenen Schnitt teilen.[120]

Wird angenommen, dass jeder Punkt in jedem Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit Extrempunkt sein kann, führt dies bei Unbestimmtheitsintervallen dazu, dass das Verfahren des Goldenen Schnittes um 14 % effektiver ist als die Intervallhalbierungsmethode. Im Vergleich zu diesem und weiteren sequentiellen Verfahren ist es – mathematisch gesehen – das für allgemeine Funktionen effektivste Verfahren; nur im Fall differenzierbarer Funktionen ist es der direkten mathematischen Lösung unterlegen.[121] Dass sich dieses Verfahren in der manuellen Rechnung nicht durchgesetzt hat, liegt vor allem an den notwendigen Wurzelberechnungen für die einzelnen Zwischenschritte.

Anzahl benötigter Divisionen im euklidischen AlgorithmusBearbeiten

Der klassische euklidische Algorithmus berechnet den größten gemeinsamen Teiler   zweier natürlicher Zahlen   und  . Dabei müssen einige Divisionen durchgeführt werden. Ja nach Beschaffenheit dieser Zahlen können aber mal mehr oder mal weniger Schritte erforderlich sein. Ist etwa  , so endet der Algorithmus nach nur einem Schritt, egal wie groß diese Zahlen sind. Der Goldene Schnitt taucht in der anderen Richtung auf, nämlich beschreibt er die Anzahl der Schritte für die Fälle, in denen ganz besonders viele Divisionen gebraucht werden (worst case analysis). Bezeichnet   die Anzahl der benötigten Divisionen, und  , wobei   zufällig ausgewählt werden, so gilt

 

Dies zeigt, dass der euklidische Algorithmus selbst in der schlechtest möglichen Situation immer noch (nur) logarithmische Laufzeit besitzt.[122]

AuffälligkeitBearbeiten

Eine weitere Verbindung zwischen der Informationstheorie und dem Goldenen Schnitt wurde durch Helmar Frank mit der Definition der Auffälligkeit hergestellt. Er konnte zeigen, dass der mathematische Wert des Maximums der Auffälligkeit sehr nah an das Verhältnis des Goldenen Schnitts herankommt.[123]

Weitere mathematische EigenschaftenBearbeiten

Algebraische ZahlentheorieBearbeiten

Der Goldene Schnitt ist als Nullstelle des Polynoms   eine algebraische Zahl. Weil das Polynom normiert ist und alle Koeffizienten ganzzahlig sind, ist der Goldene Schnitt sogar ganz. Es sei  , dann ist   eine Körpererweiterung von Grad 2. Damit ist   ein quadratischer Zahlkörper. Es ist der reell-quadratische Zahlkörper kleinster Diskriminante, nämlich 5 (der reell-quadratische Zahlkörper mit nächstgrößerer Diskriminante ist   mit Diskriminante 8).[124] Es sei   der zugehörige Ganzheitsring. Weil   ganz ist, gilt  , aber mehr als das: Wegen

 

ist der Goldene Schnitt sogar Einheit des Ganzheitsrings  . Sein multiplikativ Inverses ist  . Dies lässt sich algebraisch allein durch Kenntnis des Minimalpolynoms   zeigen:

 

Jedoch ist der Goldene Schnitt nicht nur eine Einheit des Ganzheitsrings  , sondern sogar Fundamentaleinheit des Ganzheitsrings. Das bedeutet, jedes Element aus   ist von der Form   mit  . Darüber hinaus bilden   eine  -Basis von  .[125] Das heißt, jedes Element aus   lässt sich eindeutig als   mit   schreiben. Es bildet auch   eine  -Basis von  . Dabei ist  .

KettenwurzelBearbeiten

Aus   lässt sich folgende unendliche Kettenwurzel herleiten:[126]

 

Setzt man also   und   mit  , so gilt

 

Hinsichtlich der Konvergenzgeschwindigkeit gilt

 

wobei  . Es gilt die exakte Formel

 

Sie kann auch implizit charakterisiert werden. Es bezeichne   die für   analytische Funktion, so dass die Differentialgleichung

 

sowie   und   erfüllt ist. Dann gilt  .[127]

Trigonometrische und Hyperbolische FunktionenBearbeiten

Aus der Trigonometrie folgt unter anderem[126]

 

und

 

sowie

 

Es ist   der volle Spitzwinkel und   die Hälfte des stumpfen Außenwinkels des Pentagramms. Gelegentlich wird die Rolle des Goldenen Schnitts für das Fünfeck als vergleichbar bedeutend bezeichnet wie die der Kreiszahl   für den Kreis. Ein weiterer Zusammenhang zur Kreiszahl   ergibt sich über den Arkustangens, der Umkehrfunktion des Tangens aus der Trigonometrie. Es gilt[128]

 

Der Goldene Schnitt lässt sich mit Hilfe der Eulerschen Zahl und der hyperbolischen Areasinus-Funktion ausdrücken:

 

Unendliche ReihenBearbeiten

Einsetzen von   in die für   gültige geometrische Reihenformel   ergibt:

 .

Es gilt zudem[126]

 

Eine weitere Reihe, die den logarithmierten Goldenen Schnitt enthält, beinhaltet die mittleren Binomialkoeffizienten:

 

Da gleichzeitig auch die Identität

 

für die nicht alternierende Variante gilt, wird hier eine „Verbindung“ zwischen der Kreiszahl   und dem Goldenen Schnitt gesehen.[129]

Eine schnell konvergente Reihe beinhaltet die Fibonacci-Folge:

 

Rogers-Ramanujan KettenbrücheBearbeiten

Es gilt[130]

 
 

Dabei bezeichnet   die Eulersche Zahl und   die Kreiszahl. Setzt man für  

 

so hat man allgemeiner für   mit  

 

sowie

 

Diese Entdeckungen gehen auf Srinivasa Ramanujan zurück. Die Funktion   wird auch als Rogers-Ramanujan-Kettenbruch bezeichnet und hat Verbindungen zur Theorie der Modulformen.[131]

Zusammenhang zur Chintschin-Levy-KonstanteBearbeiten

Definiert man den nächstgelegenen ganzzahligen Kettenbruch (englisch: nearest integer continued fraction) für reelle Zahlen   via

 

über die Rekursion

 

so können die   eventuell negative Zahlen sein. Für die Chintschin-Levy-Konstante gilt in diesem Falle

 

für alle betroffenen reellen Zahlen bis auf eine Lebesgue-Nullmenge.[132] Das bedeutet, dass alle Zahlen  , „bis auf 0 %“ in einem asymptotischen Sinne, diese Gesetzmäßigkeit erfüllen. Ist zudem   der (vollständig gekürzte)  -te Näherungsbruch dieser Konstruktion, so gilt wieder bis auf Nullmenge[133]

 

Alternierende Bit-MengenBearbeiten

Jede natürliche Zahl lässt sich eindeutig über das Binärsystem durch Nullen und Einsen ausdrücken. Innerhalb einer solchen Darstellung lassen sich nun sog. alternierende Bit-Mengen abzählen, die wie folgt erklärt sind:

  • Von links nach rechts wechseln sich in den ausgewählten Positionen die Zahlen 1 und 0 ab.
  • Die Zahl ganz zur Linken der ausgewählten Positionen ist 1.
  • Die Zahl ganz zur Rechten der ausgewählten Positionen ist 0.

Man bezeichnet die Anzahl der alternierenden Bit-Mengen einer Zahl   mit  . Es ist zum Beispiel  , denn im Binärsystem gilt  , und daher sind die möglichen alternierenden Bit-Mengen (aus formalen Gründen inkl. der leeren Menge):

 

Es bezieht sich z. B.   auf  . Es entspricht   gleichzeitig der Anzahl der Möglichkeiten,   als Summe von Zweierpotenzen zu schreiben, ohne dabei eine Potenz mehr als zweimal zu benutzen.[134] Diese zahlentheoretische Funktion   hat eine Verbindung zum Goldenen Schnitt, denn es konnte

 

gezeigt werden. Dabei ist   der Limes superior. Ob der innere Wert sogar 1 beträgt, konnte bisher nicht gezeigt werden.[135]

Verbindung zu speziellen FunktionenBearbeiten

Über die Formel

 

wird eine direkte Verbindung zur Gammafunktion hergestellt.[136] Dabei ist wie üblich   die Kreiszahl. Die Gammafunktion stellt eine Fortsetzung der Fakultätsfunktion auf komplexe Zahlen dar.

Für den Trilogarithmus   gilt die Identität

 

Dabei bezeichnet   den Wert der Riemannschen Zeta-Funktion an der Stelle  , der auch unter Apéry-Konstante bekannt ist.[137]

Varianten und VerallgemeinerungenBearbeiten

Silberner SchnittBearbeiten

 
Silberner Schnitt im regelmäßigen Achteck, Größenverhältnisse der Streckenteile:
 

Der Silberne Schnitt beschreibt das definierte Größenverhältnis zweier Abschnitte mit unterschiedlicher Größe (oder Länge) einer Strecke (oder eines Bereichs).

Ist etwas „nach dem Silbernen Schnitt geteilt“, so versteht man darunter:

Das Verhältnis der Summe des verdoppelten größeren und des kleineren Teils zum größeren Teil ist gleich dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil.

Es gilt also:

 

Er hat den Wert[138]

 

Ebenso wie der Goldene Schnitt ist er also eine quadratisch-irrationale Zahl. Wegen   gilt[139]

 

Variante über RechteckflächenBearbeiten

Es soll eine gegebene Strecke   mit der Länge   um eine Länge   verlängert werden, sodass ein Rechteck mit der Verlängerung   als Breite und   als Länge, gleich ist, einem vorab bestimmten Rechteck mit der Länge   und der Breite   Es soll also [140]

 

gelten, was sich auf die quadratische Gleichung   reduziert. Daraus ergibt sich über die Mitternachtsformel sogleich

 

da   gelten soll. Ergeben Konstruktion oder Abmessungen des vorab bestimmten Rechtecks speziell

 

so ergibt sich zusätzlich

 

nach dem Umformen erhält man mit

 [140]

das Teilungsverhältnis des Goldene Schnittes. Die Verlängerung   ist in diesem Falle die mittlere Proportionale, sprich das geometrische Mittel, zwischen   und  

Ephraim Salomon Unger zeigt seinen Weg, der zur Verlängerung   führt:

„Man findet also die gesuchte Verlängerung, wenn man die mittlere Proportionale zwischen   und   als die eine Kathete und   als die andere Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks annimmt; und von der Hypotenuse desselben     abschneidet.“

Ephraim Salomon Unger: Praktische Übungen für angehende Mathematiker[141]
 
Die beiden Rechtecke   (blau) und   (grün) haben den gleichen Flächeninhalt. Der Punkt   teilt   im Goldenen Schnitt, sofern   gilt.

Konstruktion

(Die Konstruktion wurde, wegen nicht einsehbarer Skizze, der obigen Beschreibung von Unger nachempfunden.)

Es beginnt mit der Halbgeraden   und dem Abtragen der gegebenen Strecke   mit Länge   auf  . Der Punkt  , für die Länge   des (grünen) Rechtecks, wird rechts von   beliebig auf   gesetzt. Im allgemeinen Fall darf die Breite   frei gewählt werden.

Soll hingegen zum Schluss der Punkt   die gesuchte Strecke   mit Länge   im Goldenen Schnitt teilen, muss   aus   erst noch bestimmt werden. Hierfür wird die Breite   des Rechtecks in Abhängigkeit des Quadrates   mit Fläche   durch die Verbindung der Punkte   mit   und deren Parallele   festgelegt. Anschließend kann man das Rechteck   einzeichnen, das die gleiche Fläche   wie   besitzt. Diese Vorgehensweise ist in der nebenstehenden Skizze dargestellt. Falls keine stetige Teilung erzielt werden soll, wird dieser erste Schritt weggelassen.

Es folgt der Kreisbogen mit Radius   um   bis er die Halbgerade   in   schneidet. Nach dem Bestimmen des Mittelpunktes   der Strecke   und dem Ziehen des Kreisbogens mit Radius   um  , wird die Senkrechte zu   in   errichtet, bis sie den Kreisbogen in   schneidet. Die Strecke   entspricht dem geometrischen Mittel der Längen   und   Nach dem Halbieren der Strecke   in   wird   mit Länge   ab   auf die Halbgerade   übertragen, der Schnittpunkt ist  . Der sich anschließende Kreisbogen mit Radius   um   liefert mit   die gesuchte Länge   Die Übertragung der Länge   auf   ab   erzeugt die Gesamtstrecke   mit Länge  .

Der Punkt   teilt somit die Streckenlänge   im Goldenen Schnitt, sofern   gilt.

Das abschließend errichtete blaue Rechteck   über   mit der Breite   hat ganz allgemein den gleichen Flächeninhalt wie das grüne Rechteck  .

Kubische VariantenBearbeiten

Man definiert die Perrin-Folge rekursiv durch  ,  ,  , und   für alle  . Ähnlich wie sich die Quotienten nacheinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt nähern, folgt für die Perrin-Zahlen

 

wobei   die charakteristische Gleichung   erfüllt. Durch Radikale ausgedrückt ergibt sich

 

Ähnlich wie beim Goldenen Schnitt besitzt auch   eine Entwicklung als Kettenwurzel, dieses Mal jedoch kubisch:

 

In Anlehnung an Goldene Konstante wird   gelegentlich auch als „Plastik-Konstante“ bezeichnet.[142]

Im Falle der „Tribonacci-Folge ,   und   für   gilt

 

Es erfüllt   die Gleichung  .[143]

Verallgemeinerte KettenbrücheBearbeiten

Das Konzept der Kettenbruchentwicklung lässt sch für ganze positive Zahlen   verallgemeinern durch

 

Dies entspricht einer fraktalen Konstruktion durch die iterative Anwendung der Ersetzungsregeln

 

Dieser verallgemeinerte Kettenbruch konvergiert stets gegen die positive Lösung der Gleichung[144]

 

Setzt man in diesem Beispiel also insbesondere  , so ergibt sich als Grenzwert die Zahl  , die eine kubische Verallgemeinerung des Goldenen Schnittes darstellt.[145]

Asymptotik zufälliger Fibonacci-FolgenBearbeiten

Setzt man  , sowie

 

für  , wobei die Vorzeichen durch unabhängige Zufallsvariablen mit gleichen Wahrscheinlichkeiten für   gegeben sind, zeigte D. Viswanadt[146]

 

mit Wahrscheinlichkeit 1. Die gewöhnliche Fibonacci-Folge, die sich in dieser Art Limes dem Goldenen Schnitt annähert, entspricht dem Extremfall, dass die Zufallsgrößen stets den Wert   annehmen, was aber mit einer (asymptotischen) Wahrscheinlichkeit von 0 Prozent eintritt.[147]

Siehe auchBearbeiten