Ganzheitsring

Begriff aus der Zahlentheorie

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie ist der Ganzheitsring eines algebraischen Zahlkörpers das Analogon des Ringes der ganzen Zahlen im Fall des Körpers der rationalen Zahlen. Die Elemente eines Ganzheitsringes werden als algebraisch ganze Zahlen bezeichnet, die Menge aller algebraisch ganzen Zahlen ist der Ganzheitsring im Körper aller algebraischen Zahlen.

DefinitionBearbeiten

Es sei   ein algebraischer Zahlkörper, d. h. eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen. Dann ist der Ganzheitsring   von   definiert als der ganze Abschluss von   in  , d. h. die Teilmenge derjenigen  , die eine Gleichung der Form

 

mit   erfüllen. Man beachte, dass der Koeffizient von   (der Leitkoeffizient des Polynoms  ) gleich 1 sein muss. Man bezeichnet solche Polynome als normiert. Ohne diese Einschränkungen bekäme man den ganzen Körper  .

Eine äquivalente Definition lautet: Der Ganzheitsring von   ist die im Sinne der Inklusion maximale Ordnung, die Hauptordnung auf  .

EigenschaftenBearbeiten

  •   ist ein endlich erzeugter, freier  -Modul vom Rang  .
  •   ist ein Dedekindring.
  • Die Einheitengruppe von   wird durch den Dirichletschen Einheitensatz beschrieben.

BeispieleBearbeiten

  • Ist  , so ist   der Ring der Eisenstein-Zahlen
  mit  
Eine solche Zahl ist Nullstelle des Polynoms
 
Erfüllt umgekehrt   die Polynomgleichung
  mit  
so folgt   und  . Man kann zeigen, dass dann   und   ganzzahlig sind, also ist
 
eine Eisenstein-Zahl.
  • Ist  , so ist   der Ring der ganzen gaußschen Zahlen  .
  • Allgemein sieht für den Ganzheitsring von   (wobei   ganz und quadratfrei sei) eine Ganzheitsbasis so aus:
  falls   kongruent 2 oder 3 mod 4
  falls   kongruent 1 mod 4
  • Bezeichnet   eine primitive  -te Einheitswurzel, so ist der Ganzheitsring des  -ten Kreisteilungskörpers   gleich  .

Siehe auchBearbeiten