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Ein algebraischer Zahlkörper oder kurz ein Zahlkörper ist in der Mathematik eine endliche Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen . Die Untersuchung algebraischer Zahlkörper ist ein zentraler Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie, eines Teilgebiets der Zahlentheorie.

Eine wichtige Rolle spielen dabei die Ganzheitsringe algebraischer Zahlkörper, die Analoga des Rings der ganzen Zahlen im Körper darstellen.

Inhaltsverzeichnis

Definition und einfache EigenschaftenBearbeiten

Ein algebraischer Zahlkörper   ist definiert als endliche Körpererweiterung des Körpers   der rationalen Zahlen. Das bedeutet, dass   als Vektorraum über   eine endliche Dimension hat. Diese Dimension heißt Grad des Zahlkörpers.

Als endliche Erweiterungen sind Zahlkörper stets auch algebraische Erweiterungen von  ; das heißt, jedes Element eines Zahlkörpers ist Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten und ist daher eine algebraische Zahl. Umgekehrt ist allerdings nicht jede algebraische Erweiterung von   ein Zahlkörper: Beispielsweise ist der Körper   aller algebraischen Zahlen zwar eine algebraische, aber keine endliche Erweiterung von  , also kein algebraischer Zahlkörper.

Nach dem Satz vom primitiven Element sind Zahlkörper einfache Körpererweiterungen von  , lassen sich also in der Form   als Adjunktion einer algebraischen Zahl   zu   darstellen.

GanzheitBearbeiten

Ein Element   eines Zahlkörpers   wird ganz genannt, wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms (Leitkoeffizient 1) mit Koeffizienten aus   ist. Das heißt,   erfüllt eine Gleichung der Gestalt

 

mit ganzen Zahlen  . Solche Zahlen werden auch ganzalgebraische Zahlen genannt.

Die ganzen Zahlen bilden einen Unterring von  , der Ganzheitsring von   genannt wird und üblicherweise mit  ,   oder auch   bezeichnet wird.

BeispieleBearbeiten

  • Als triviales Beispiel ist   selbst ein Zahlkörper (vom Grad 1). Erwartungsgemäß gilt  , d. h., die ganzen rationalen Zahlen sind die „normalen“ ganzen Zahlen.
  • Der Körper   der komplexen Zahlen mit rationalen Real- und Imaginärteilen ist ein Zahlkörper vom Grad 2. Der zugehörige Ganzheitsring ist  , der Ring der (ganzen) gaußschen Zahlen.
  • Allgemeiner bilden die quadratischen Zahlkörper   mit quadratfreiem   genau die Zahlkörper vom Grad 2. Für die Ganzheitsringe ergibt sich
 , falls   kongruent 2 oder 3 mod 4 ist,
 , falls   kongruent 1 mod 4 ist.
  • Die Kreisteilungskörper   mit einer primitiven  -ten Einheitswurzel   sind Zahlkörper vom Grad   mit der eulerschen φ-Funktion. Der Ganzheitsring ist  .

BasenBearbeiten

Da ein Zahlkörper   vom Grad   ein  -dimensionaler  -Vektorraum ist, besteht jede Basis von   aus genau   Elementen. Ist   eine solche Basis, dann lässt sich jedes Element   schreiben in der Form

 

mit eindeutig bestimmten Koeffizienten  , die jedoch von der Wahl der Basis abhängen. Gilt  , dann besitzt   die spezielle Basis  , wobei der Grad   von   gleich dem Grad des Minimalpolynoms der algebraischen Zahl   ist.

Eine Basis von   heißt Ganzheitsbasis, wenn sich jedes ganze Element   in der Form   mit   schreiben lässt. Beispielsweise ist   eine Basis von  , aber keine Ganzheitsbasis, denn nicht alle Elemente des Ganzheitsrings   lassen sich als ganzzahlige Linearkombinationen von 1 und   schreiben. Dagegen ist   eine Ganzheitsbasis von  .

Eine andere basisabhängige Darstellung von Elementen eines Zahlkörpers   ist die Matrixdarstellung. Sei dazu   fest gewählt, dann ist durch die Multiplikation mit   eine lineare Abbildung  ,   gegeben. Dieser Endomorphismus lässt sich bezüglich einer festen Basis durch eine quadratische Matrix darstellen. Die Determinante und die Spur der Abbildung (also der darstellenden Matrix), die von der Wahl der Basis unabhängig sind, werden Norm bzw. Spur von   genannt und sind wichtige Hilfsmittel für Rechnungen und Beweise in algebraischen Zahlkörpern.

Verallgemeinerung und EinordnungBearbeiten

Die algebraischen Zahlkörper bilden zusammen mit den Funktionenkörpern   der Charakteristik   die Klasse der globalen Körper, die zusammen mit den lokalen Körpern, zu denen etwa die Körper   der p-adischen Zahlen gehören, die wichtigsten Untersuchungsobjekte der algebraischen Zahlentheorie darstellen.

VerweiseBearbeiten

LiteraturBearbeiten