Kreisteilungskörper

Kreisteilungskörper (auch: Zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine natürliche Zahl. Dann ist der  -te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung   von  , die durch Adjunktion der Menge   aller  -ten Einheitswurzeln entsteht.

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist   eine primitive  -te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von   das  -te Kreisteilungspolynom  , deshalb ist
 
Insbesondere ist der Körpergrad   mit der eulerschen φ-Funktion.
  • Zwei Kreisteilungskörper   und   mit   sind genau dann gleich, wenn   ungerade ist und   gilt.
  • Die Adjunktion der  -ten Einheitswurzeln zu   ergibt   mit  
  • Die Erweiterung   ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu   ist   eine primitive  -te Einheitswurzel, so entspricht einem Element   der durch
 
definierte Automorphismus von  [1]
  • Der Ganzheitsring von   ist   mit einer beliebigen primitiven  -ten Einheitswurzel  .[2]
  • Insbesondere ist der Ganzheitsring von   gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von   ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.

Diskriminante und VerzweigungBearbeiten

Die Diskriminante von   für   ist[3]

 

Die in   verzweigten Primzahlen sind gerade die Primteiler der Diskriminante. Insbesondere ist eine ungerade Primzahl genau dann verzweigt in  , wenn sie ein Teiler von   ist. Die   ist genau dann verzweigt, wenn  . Eine Primzahl   ist genau dann voll zerlegt, wenn   gilt.[4]

Ist   eine Primzahlpotenz, so ist   die einzige verzweigte Primzahl in  .   ist dann unzerlegt und vollständig verzweigt. Man kann zeigen, dass   ein Element mit Norm   ist. Das einzige Primideal über   ist also das Hauptideal, das von   erzeugt wird:

 

Für die Diskriminante ergibt sich  .[5]

Satz von Kronecker-WeberBearbeiten

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von   entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

IdealklassengruppeBearbeiten

Die Klassenzahl   von   besteht aus zwei ganzzahligen Faktoren   und  .[6] Hierbei ist   die Klassenzahl des maximal reellen Teilkörpers   und   die relative Klassenzahl. Die Idealklassengruppe   von   kann als Untergruppe der Idealklassengruppe   von   aufgefasst werden.[7]

Die relative Klassenzahl   kann mithilfe von Dirichlet-Charakteren und Bernoulli-Zahlen explizit bestimmt werden.[8]

Die Klassenzahl   von   zu bestimmen, ist im Allgemeinen schwierig. Aus dem Satz von Brauer-Siegel, der eine Aussage über das asymptotische Verhalten der Klassenzahl macht, lässt sich folgern, dass   für  . Insbesondere gibt es nur endlich viele Kreisteilungskörper mit Klassenzahl  .[9] Die vollständige Liste aller   mit   lautet[10]

 

In genau diesen Fällen ist   ein Hauptidealring und es gibt eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen.

Die ungelöste Vandiver-Vermutung sagt voraus, dass die Primzahl   nicht   teilt.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Washington: Theorem 2.5
  2. Neukirch: Satz I.10.2
  3. Washington: Proposition 2.7
  4. Neukirch: Korollar I.10.4
  5. Neukirch: Lemma I.10.1
  6. Nach Washington, Theorem 4.10 ist   ein Teiler von  
  7. Washington: Theorem 4.14
  8. Washington: Theorem 4.17
  9. Washington: Theorem 4.20
  10. Washington: Theorem 11.1 (Die Liste wurde durch Doppelungen im Fall   ergänzt)