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Kreisteilungskörper (auch: Zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Definition: Es sei eine natürliche Zahl. Dann ist der -te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung von , die durch Adjunktion der Menge aller -ten Einheitswurzeln entsteht.

EigenschaftenBearbeiten

  • Ist   eine primitive  -te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von   das  -te Kreisteilungspolynom  , deshalb ist
 
Insbesondere ist der Körpergrad   mit der eulerschen φ-Funktion.
  • Zwei Kreisteilungskörper   und   mit   sind genau dann gleich, wenn   ungerade ist und   gilt.
  • Die Adjunktion der  -ten Einheitswurzeln zu   ergibt   mit  
  • Die Erweiterung   ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu   ist   eine primitive  -te Einheitswurzel, so entspricht einem Element   der durch
 
definierte Automorphismus von  
  • Der Ganzheitsring von   ist   mit einer beliebigen primitiven  -ten Einheitswurzel  
  • Insbesondere ist der Ganzheitsring von   gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von   ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.
  • Eine Primzahl   ist genau dann verzweigt in   wenn   ein Teiler von   ist.   ist genau dann voll zerlegt, wenn   gilt.
  • Ist   eine Primzahlpotenz und   eine primitive  -te Einheitswurzel, so ist   in   unzerlegt und rein verzweigt. Das einzige Primideal über   ist das Hauptideal, das von   erzeugt wird:
 

Satz von Kronecker-WeberBearbeiten

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von   entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

LiteraturBearbeiten